椭圆方程求法例题

1、椭圆的方程的求法、定义法【例1】已知aabc的周长是18, a(t0),b(4,0),求点c的轨迹方程。【变式】：在周长为定值的4abc中，已知|ab|=6,且当顶点c位于定点p时,cosc有最小值为-7.建立适当白坐标系，求顶点c的轨迹方程. 25【解】：以ab所在直线为x轴，线段ab的中垂线为y轴建立直角坐标系,设|ca|+|cb|=2 a(a3)为定值，所以c点的轨迹是以a、b为焦点的椭圆，所以焦距2c=|ab|=6因为 cosc 二 |ca|2 |cb|2 -62 二(|ca| |cb|)2 -2|ca|cb| -36 = 2a2-18 _ 12| ca|cb |2|ca |cb |c

2、a|cb |2a18又 |ca| |cb |m(-a)2 =a2,所以 cosc 之 1-| ,2a由题意得1 -1| =工,a2 =25a225此时,|pa|=|pb|,p点坐标为p(0,切).22所以c点的轨迹方程为二十匕=1 (y0)2516【例2】已知椭圆c以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为(1,0 )，点m |三3,也 在椭圆上，求椭圆c的方程；122；精品资料【解法1】:有定义可得fi(1,0), f2(1,0),点m堂卜椭圆上。所以 2a =|mfi| 十|mf2 =2瓜,又 c=122故椭圆方程为：土=13222【解2】设椭圆方程r+r=1(ab0) a

3、b.c =1, a2 =b2 136二点d3,盘在椭圆上，冬+冬=122a2 b242 一2 一.4b -5b -6=0. b =2,a222xy=3.=13222【例3】已知圆f1：(x+1) +y =16,定点f2(1,0) .动圆m过点f2,且与圆f1相内切.求点m的轨迹c的方程.【解析】设圆m的半径为r.因为圆m与圆f1相内切，所以mf1 = 4r.因为圆m过点f2,所以mf2=r.所以 mf1=4 mf2,即 mf1 + mf2 = 4.所以点m的轨迹c是以f1, f2为焦点的椭圆.x2 y2且此椭圆的方程形式为7 + b；=1(ab0).其中 2a = 4, c=1,所以 a =

4、2, b =x2 y2所以曲线c的方程l【例4】设x,ywr,i,j为直角坐标系内x , y轴正方向的单位向量，a = xi + (y + 2)j , b=x；+(y -2)j ,且向+|b |=8 .求点m (x , y )的轨迹c的方程；【解析】由已知可得 二=/，y+2)b=(x, y-2 )又|二| 十 |7|=8知，x2 (y 2)2, x2 (y -2)2 =8即点m(x,y)到两定点fi(0,-2),f2(0,2)的距离之和为定值8,又84所以m (x, y)的轨迹为以fi (0,-2),f2 (0,2)为焦点椭圆,故方程为2匕=11216,若点a,b的坐标分别为【例5】已知aa

5、bc的三边长|cb |,| ab |,|ca|成等差数列(-1,0),(1,0).求顶点c的轨迹w的方程;【解析】：因为|cb |,| ab |,|ca|成等差数列，点a,b的坐标分别为(-1,0),(1,0)所以 |cb| +|ca|=2| ab |=4且 4a|ab|由椭圆的定义可知点c的轨迹是以a, b为焦点长轴为4的椭圆(去掉长轴的端点),所以 a = 2, c = 1,b - 3.22故顶点c的轨迹w方程为+= 1(y 0)43【例6】一束光线从点 印-1,0)出发,经直线l :2x-y + 3 = 0上一点d反射后，恰好穿过点f2(1,0) .求以fi、f2为焦点且过点d的椭圆c的

6、方程;【解析】设点fi关于直线l :2x-y+3 = 0的对称点f；(m,n),n19=一m = 一则 m+12，解得5,-. f/(-9,2)c m-1 n25 523=0 n=22.5 | pf/|=| pfi |,根据椭圆的定义，得2a = |pfvl pf?l = |fif2l = j(-9-1)2+(1-0)2=2， 55. . a = 2, , c = 1, b = 22. 1 = 1 ,2椭圆c的方程为土+ y2=1.2【例71已知圆m :(x-5；2 +y2 =36,定点n(v5,0),点p为圆m上的动点，点q在 t tnp上，点g在mp上，且满足np=2nq,gq ,np=0

7、,求点g的轨迹方程。【解析】由题意可得：gq垂直平分np,所以gp = gn,所以 gm gn =gp =6二、待定系数法高考试题整理中的试题1. ( 2009广东)已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为,且 222g上一点到g的两个焦点的距离之和为12,椭圆g的方程.上+玉=136922y x3. (2009浙江理)已知椭圆c 今+方=1( a b 0)的右顶点为a(1,0),过c1的焦 a b2点且垂直长轴的弦长为1.求椭圆c1的方程.+x2=1416. (2009宁海理)已知椭圆c的中心为直角坐标系xoy的原点，焦点在x轴上，22它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7和1.求

8、椭圆c的方程.人+上=1167227. (2009 山东理)设椭圆 e: +斗=1 (a,b0)过 m(2,v2) , n(v6,1)两点，o a b22为坐标原点，求椭圆e的方程。二十上=1849. (2009全国h)已知椭圆c:3+e=1(a：ba0)的离心率为y3,直线l过右焦点a b32f,当l的斜率为1时，坐标原点。到l的距离为修，求a , b的值.a = ,、3, b = . 222310. (2009安徽文)已知椭圆 勺+)=1(a b0)的离心率为二，以原点为圆心， a b3以椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y=x+2相切.求a与b.a = t3b = 2.14. (2009湖南

9、文)已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为 q).求椭圆c的方程.、转化已知条件【例11已知点a, b的坐标分别是(0,-1), (0,1)，直线am , bm相交于点m，且它们的斜一一，1率之积为-.求点m轨迹c的万程;2【解析】：设点m的坐标为(x,y),kam kbm 二 一二2y 1 y -11111= x x 2整理，得x +y2 =1(x #0),这就是动点m的轨迹方程【例2】设q、g分别为aabc的外心和重心，已知a(-1,0) , b(1,0) ,qg/ab ?求点c的轨迹e【解析】：设c(x,y),a(-1,

10、0),b(1,0). g)3 3又.q是外心，且qg/ab:q(0() 3: |qa|二|qc |2a 22 . 1 + 匕=x2 +”-，即 x2 +匕=1(y 0) 993【例3】已知动点p到直线x =-4v3的距离是到定点(-j3,0)的距离的空倍.求动 33点p的轨迹方程；【解析】：设动点p(x, y),由题意知x+f j3 = 23 j(x + v3)2 + y2 . 3322y.二+y2 =1.即动点p的轨迹方程是 二+ y2 = 1. 44p-x【例4】在平面直角坐标系中，长度为6的线段pq的一个 、q端点p在射线y=0(xo)上滑动，另一端点q在射线x=0(y磷),pm 1上滑

11、动，点m在线段pq上，且=-求点m的轨迹方程；mq 2【解】：设点p、q、m的坐标分别是p(x1,0)、q(0,y1)、m(x, y)其中x14,y1磅,依条件可得 x2 y12 = 36(*)vpm=-. .-.pq =3pm 可得：/xmq 221y1 =3y22代入(*)式，得工+乙=1(x,y 0) 16422即点m的轨迹方程为+-=1(x0,y 0)164【例5】已知m (4, 0)、n (1, 0),若动点p满足mn wp = 6| pn |。求动点p的 轨迹方程;【解】设动点p (x, y),则 mp =(x -4, y),mn =(-3,0),pn = (1 -x,-y) 由已

12、知得3(x4) =6j(1x)2 +(y)2 ,22化简得3x2 +4y2 =12,即7 +匕=14322点p的轨迹是椭圆土十工=1 43【例7】已知点f(0,1),直线l: y = -1, p为平面上的动点，过点p作直线l的垂线, 垂足为q,且qpqf = f?jfq.求动点p的轨迹c的方程；【解析】设 p(x, y ),则 q(x, -1 1qplqf = fpjfq ,(0,y+1 fi-x,2 )=(x,y -1日x, -2 %即2(y + 1 )=x2 -2(y-1 ),即x2 =4y ,所以动点p的轨迹c的方程x2 = 4y .【例8】已知平面上一个定点 c (-1, 0)和一条定直线l: x=-4, p为该平面上 一动点，作 pqxl,垂足