漆安慎力学第二版课后习题解答

1、第2章质点运动学习题解答102第2章质点运动学习题解答第二章基本知识小结l基本概念r =r(t) vdr adtdvdt dtr(t)：= v(t)：=a(t)（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：t = to ,r = ro, v = vo)2.直角坐标系r = xi? y? z?,r = x2 y2z2, r 与 x,y,z轴夹角的余弦分别为x/r, y/r, z/r .v =vxi? + vy ?+vz?,v =a；vx2 +vy2 +vz2, v 与 x,y,z 轴夹角的余弦分别为 vx/v, vy /v, vz/v.a = ax? ay? azk,a2 .

2、 2 ayaz2a与x,y,z轴夹角的余弦分别为a*/a, av /a, a7 xyz/ a.dxdtvydzvzdvxa = a#+an?, 2 =、凡2s(t)：= v (t)= a (t)4.极坐标系drvrdt5.相对运动r = rrov = v v0a = a a0r = r?, v =an2dv do - 1：- a. 一anvr? v#, v = v； v/dfvr -dt对于两个相对平动的参考系t = t（时空变换）（速度变换）（加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有:y1a x =dt2 , dtaydt dvyd2ydt dt2dvz

3、d2z(x, y, z) = (vx,vy,vz)=(ax,ay,az)dtdt23.自然坐标系 r = r （s）；dsdtx= x - vt, y= y, z= z,t= t vx = vx -v,vy= vy,vz= vzax =ax, ay =ay, az = az2.1.1质点运动学方程为： f = (3+2t)i? + 5? r =(2 -3t)? (4t -1)?,求质点轨迹并用图表示.解：x =3+2t, y =5,轨迹方程为y=5的直线.x =2 3t,y =4t 1 ,消去参数t得轨迹方程4x+3y5=02.1.3质点运动学方程为 f = 4t2i?+ (2t + 3) ?

4、.求质点轨迹;求质点自t=0至t=1的位移.解： x=4t2,y = 2t + 3,消去参数 t得：x=(y 3)2.：r = r (1) -r (0) = 4? 5?- 3?= 4i? 2?x2.1.2质点运动学方程为 r = e?ti?十e2t?十2k?.求质点轨迹；与x轴夹角与y轴夹角与z轴夹角)-135求自t= -1到t=1质点的位移。解：由运动学方程可知：x = et, y =e2t,z = 2,xy =1 ,所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。.：r 二r(1) r(-1)二侔 e2)? (e2 -e)?= 7.2537i? +7.2537?。所以，位移大小:|

5、 r |= ,( x)2 ( y)2 = . (-7.2537)2 7.25372 = 7.2537.2,x，=arccos = arccos(|y； 2、-=arccos2- = arccos(-) = 45| r |2z“u arccos = arccos0 =90|r |2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为r = 4100m户1=33.7+0.75s 后测得 r2 = 4240m,6 2 = 29.3 r1,r2 均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方卜向(口角)簿解：v-v = r2 r1 = 9r,在图示的矢量tat: 7 吵三角形中，应用余弦定理，可求得：2r2 r =

6、f r2 + r2 2 -2r1r2 cos(91 -62)0 1二.4100 2 42402 - 2 4100 4200 cos4.4=349.58mv v = r/ t = 349.58/0.75 465.8m/s据正弦定理：. ：r/sin( -矗)=r2 /sin(180 -1 - ：-)sin(180 -二一二)二r2sin。- %)/ ：r = 4240sin4.4 /349.580.931, 180 -玛-:111.41 , 二=34.892.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h速率行驶，3min后以70km/h速率向北偏西 0方向行驶，求列车的平均加速度。解

7、：=且:t.:t对矢量三角形应用余弦定理：2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道 为y=x2/200（长度：毫米）。第一次观察到圆柱体在 x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱体移到x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。r解：由于at很小，所以，v zv =，：t其中，t = 2ms, r =次i?y?, x = x2 -x1 = 234 -249 = -15. ：v-；v12 v22 - 2v1v2 cos30, = 1 902 702 - 90 70. 3=45.69km/h =12.69m/sy = y2 -y1 =(x22 -x12)/200 =(2342 -249

8、2)/200 = -36.2.v ： ( ：x/ ：t)i? ( ：y/ ：t)?=7.5i?-18.1?。其大小|v|=t；(7.5)2 +(18.1)2 = 19.6mm/ms；与 x 轴夹角, v 12.69,2,v2va = = 0.07m/s ,由正弦te理： =:t 3 60sin 二sin 30sin： =v2sin30 / ：v = 70 0.5/45.69 0.766, ：50vx-7.5= arccos =arccos v19.6=arccos(-0.38265) - -112.52.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m；另一人在广 州听同一演奏的转播，广州离

9、北京2320km,收听者离收音机 2m,问谁先听到声音？声速为340m/s,电磁波传播的速率为 3.0x108m/s.解：声音传播情况如图所示,北京人听到演奏声音所需时间:t1 =17/340 = 0.05s广州人听到演奏声音所需时间:为7 17m.340m/s2320km,3 乂 108m/st232320 1023.0 1083400.0136s2.2.6 r = rcost ?+rsin t?+2tp, r为正常数，求 t=0,兀/2时的速度和加速度。 r = 3t?-4.5t2?+6t3l?,求t=0,1时的速度和加速度(写出正交分解式)。解： v = dr /dt = - rsin

10、t ? rcost? 21?a = dv / dt = -rcosti?- rsin t?二.v |t=0= r ?+ 2k? a 1th= - ri?v|y/2 = -ri? 2k, a |t二二/2三一r? v = dr / dt = 3?- 9t?+18t2k? a = dv/dt = -9?+ 36tl?;丫匕=3?, a|y二-9? v|u=3i?-9? 181? a|-=-9? 36k2.3.1图中a、b和c表示质 点沿直线运动三种不同情况下 的x-t图像，试说明每种运动的 特点（即速度，计时起点时质 点的位置坐标，质点位于坐标 原点的时刻）解：质点直线运动的速度 v =dx/dt

11、,在x-t图像中为曲 线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动,1 p-qtpi - e .-z7 , v铅直向下， 3 ,q为1 e正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t 一 8）速度、加速度的变化趋势。解：dva 二 一dt设直线与x轴正向夹角为a ,则速度v=tga =ax/at对于a种运动：v=tg120 - - 3m/s,x|t =20m,t|x斗= 20tg30 = 11.55s对于b种运动：v =tg30 = 3/3msj,x|tz0 = 10m,t |x = -10/tg30 ： -17.32s对于c种运动：v =tg45 =1ms,t |x；0 = 25

12、s,x |tz0 - -25tg45 - -25m一:（1 eqet （塞卜qe） _ 2 一： qe（1 e）2一（1 e）2因为v0, a0,所以，跳伞员做加速直线运动，但当t-8时,v- 3 , a-0,说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。2.3.4直线运行的局速列车在电 子计算机控制下减速进站。列车原运 行速率为vo=18okm/h ,其速率变化规 律如图所示。求列车行至x=1.5km时 的加速度。解：v = vo cos（二 x/5）, dv/dx - - 5vo sin 5 x2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点

13、（有无周期性，运动范围，速度变 化情况等）解：x=acost,vx =dx/dt = asint,ax =dvx/dt = acost显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：-ax 4a, -a 4 vx 三 a, -a ax a_ dv dx dv 1 -22 一a = -dx 无=丫不=-t0n v0 sin飞nx,将 vo=18okm/h,x=1.5km 代入a - -吉 3.14 1802 sin108 - -9676km/h2 - -0.75m/s22.3.5在水平桌面上放置 a、b两 物体，用一根不可伸长的绳索按图示 的装置把它们连接起来，c点与桌面0x固定，已知物体 a

14、的加速度aa=0.5g,求物体b的加速度。解：设整个绳长为l,取图示坐标o-x,则3xa+(-4xb) = l对时间求两次导数，3aa=4ab,所以 ab = 3aa/4=3 x 0.5g/4 = 3g/82.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2.将坐标原点沿o-x正方向移动2m,运动学方程如何？初速度有无变化？将计时起点前移1s,运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？解：x=10t+3t2, v=dx/dt=10+6t , a=dv/dt=6 , t=0 时，x=0,v=10将坐标原点向 x轴正向移动2m,即令x=x-2 , x=x+2 ,则运动学方程为：

15、x=10t+3t2-2, . v=dx/dt=10+6t , v=v将计时起点前移1s,即令t=t+l , t=t-l ,则运动学方程变为：x = 10(t-1) + 3(t-1) 2 = 10t - 10 + 3t2 - 6t + 3 = 4t + 3t 2 - 7v=dx/dt=4+6t , t=0 时，x= -7 , v=4 ,加速度 a 不变。2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿 x轴运动，其加速度ax = 2t (cms-2),求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后 6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。初速度v0=0;初速度v0的大小为9cm/s,方向与加速度方

16、向相反。vxt解：dvx =axdt =2tdt,dvx =2 tdt, vx =v0 t2%0xttdx=vxdt= (v0t2)dt,dx= v0dt -it2dt,x =v0t1t3000 v0=0 时，vx =t2, x = 3t3; x(6) =m62 =72cm&x = x(6)-x(0) =72m 路程 s = 4x = 72cmx = x(6) - x(0) = 18cm令vx=0,由速度表达式可求出对应时刻t=3,由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：s =| x(3) 一 x(0) | | x(6) 一 x(3) |二 x(6) 一 2x(3)=

17、 18-2(1 33 -9 3) = 18 36 = 54cm2.4.2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx = -3 sint,求t1=3至t2=5时间内的位移。x55解：dx = vxdt - -3sintdt, dx - -3. sin tdtx33x = x5 - x3 = 3(cos5 - cos3) = 3.82m2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为ax= -a w 2cosco t.在t=0时，vx=0,x=a ,其中a, w均为正常数。求此质 点的运动学方程。解：ax = dvx / dt = - a - 2 cos t, dvx = - a -2 cos

18、 tdt ,xx7x2vx2 ttdvx - - a cos tdt - - a cos td ( t)0 x00vx - - a sin t = dx/ dt, dx - - a sin tdtxttdx = - a sin tdt = - a sin td ( t)a0- 0 v0=-9 时，vx =t2 -9, x=t39tx - a = acos 1 t|0 = a(cos t -1), x = a cos t2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为vo,且坐标x=0,假设其加速度为 ax = - bvx2, b=常量，求 飞机速度和坐标随时间的变化规律。

19、vxt解：dvx = axdt = -bvx2dt, vxdvx = b dt, -vx j 1vx = -btx xxx xx vnv0011-11-1 v0btv0二一 bt,=bt, , vx =v0vxvx v0v01 v0btdx = vxdtvdt1v0btxdx0v0dt01 v0bt1t d(1 vbt) b 0 1 v0bt1x ln(1v0bt)bxi = v10t 1 a1t2 = 5t - 0.1t2x2 =195 v20t 4a2t2 = 195-1.5t- 0.1t2令 x1=x2,可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s对于上坡者，在相

20、遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式： v1=5-0.2t,令vi=0,求得对应时刻t=25s,所 以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。因此，上坡者在 30s内走过的路程： = | xi(25) - xi(0) | | xi (30) - xi (25)卜 2x1(25) - x1(30)= 2(5 25-0.1 252)-(5 30-0.1 302) = 65m对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：s2 =| x2(30) - x2 (0) |= x2 (0) - x2(30) = 195- 60 = 135m2.4.5在195m长的坡道上

21、，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：经多长时间两人相遇？两人相遇时 各走过多长的路程？解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x,用脚标1表示上坡者，用脚标 2表示下坡者。两人的加速度实际上是相同的：a1 = a2 =-0.2m/s2初始条件：t=0时，x1=x10=0, x2=x20=195v1 = v10 =18km/h =5m/s, v = v20 = - 5.4km/h = - 1.5m/s2.4.6 站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面， 火车开动后经过 a t

22、=24s,火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过， 问第七节车厢驶过他面前需要多长时间 ？火车做匀加速运动。解：设每节车厢长为l,以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标 o-x,以第一a x节车厢的前端点为研究对象，t=0时，前端点的坐标 x=0 ,速度v=0 ,据匀加速运动公式：x = 3at2,令 x=l,求得：2=7 =白，. x= lt2/242 (t)224 2根据匀变速直线运动公式:a1令x=6l ,可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间6l = lt 2 /242, t2 = 6 242, t = t6 = 24 6令x=7l,可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t7：7l =l

23、t2 /242, t2 =7 242, t=t7=24.7因此，第7节车厢通过人所需时间：t =t7 -t6 =24( .7 - 6) = 4.71s地板所需时间：t = q2g/h = j2m 9.8/0.5定0.32s ,所以小孩做竖直上抛所需时间为 0.64s,在此时间内电梯对地下落距离：l = 1.0 x 0.64 = 0.64 m2.4.7 在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率 v0.上抛二石子，但在高处的石子早to秒被抛出，求此二石ly_ 子何时何处相遇？l解：以地为参考系，建立图示坐标o-y。据题意，h设t=0时，上面石子坐标 yi=h ,速度vi=vo； t=to时，下 0 p

24、 面石子坐标丫2=0 , v2=v0解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知yi =h+votgt2 y2 =vo(tto)g g(tto)2 令必=丫2,有h+vot 9gt2 =v0(t -to) -2g(t - to)2求得相遇时间t =上+包+ s,代入或中，可求 得 gto g 2 1 v2 h21 c相遇时石子坐标y hgto 2 g gto24解法2:可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到、，然后求解。2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板 0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运

25、动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：h =4gt2,可求得从最高出落到2.5.1 质点在o-xy平面内运动，其加速度为3 = cost ?- sin t ?,位置和速度的初始条件为：t=o时，v = ?f = ?,求质点的运动学方程并画出轨迹。解：vttdv = adt = (一 costi?- sin t?)dt, dv - - i? costdt 一 ? sin tdt?00v = ?- sin ti? (cost - 1) ? - - sin ti? cost?rttdr = vdt = (-sin ti? cost?)dt,

26、 , dr = -i? sin tdt?. costdti?00r = i? (cost - 1)i? sin t? = costi? sint?x = cost, y = sint22x y = 12.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上a、b两点分别以30。、60o为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最 高点，求a、b两点间的距离。已知小球在a点的发射速度 va=9.8米/秒。解：以a点为原点建立 图示坐标系，取发射时刻为 计时起点，两点间距离为 s, 初始条件如图所示。据斜抛规律有:xa = vao cos30 t(1)xb = vbo cos60 t + svay =

27、vao sin30-gt vby =vbo sin60-gt满足题中条件，在最高点相遇，必有vay=v by=0,xa=xb令，=0,t = vao sin30/g ，vbo = vao sin30/sin606)令=，得 s = (vaocos30vbo cos60 戈 2把，代入中得：s = (cos30。0.5ctg60 = 2.83m2 g2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53俯冲时，在763m的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s时击中目标，不计空气阻力：轰炸机的速率是多少？炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？炸弹击 中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少?解：以投放点为原点，建

28、立图示坐标o-xy,设炸弹初速度（即轰炸机速度）为v0.由于炸弹在飞行过程中的加速度 a -g?,所以炸弹在x方向做匀速直线运动，在 y方向做竖直下抛 运动，有2.5.3迫击炮的发射角为 60发射速率150m/s,炮弹击中倾角为30。的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离oa.解：以发射点为原点，建立图示坐标 斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：,g 2y 二 xtg 1-22- x2v0 cos o-x,本题，a =60 , v0=150m/s, a点坐标xa,ya应满足轨迹方程，所以:一g2_ 2g 2ya =xatg60 -22xa =43xa-号xa 2v0 cos 60v

29、0vx = v0 sin 53。cl x = v0sin53t vy = v0 cos 535 + gt y = v0 cos530t+t gt2 s令t=5.0s, y=763m,由可求得轰炸机的速率:22y -0.5gt2763- 0.5 9.8 52v0 =上-= 212.86m/ scos53 t 0.6081 5将v0代入中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：vx = 212.86sin 53 = 170m/s令t=5,由可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量:vy = 212.86cos539.8 5= 177.1m/s另外，根据图中几何关系，可知：xa =oacos30 =oava

30、 =oasin30o = 12oa,代入中，有:22：oa=3oa-四oa, oa = 9=2 150 ： 1531m222v023g 3 9.82.5.5 雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻， 他给出这样的信息：抛射体达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动；观测员到抛射体的直线距离是i;观测员观测抛体的视线与水平方向成。角。问：抛射体命中点到观测者的距离d等于多少？何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？何种 情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？解：以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点，建立图示坐 标o-xy,抛体以速度v做平抛运动 设命中时间为 3由自由落体公式

31、：2l sin 二-2 gti ,ti = . 2l sin / g)(2观测者命中点命中点x坐标为：x1 =vt1 = v、:2l sinh/g ,由图中几何关系,观测者的x坐标：x2 =l cos6 。所以，观测者与命中点间的距离：d =| x2 - x1 |=| l cos【-v 2l sin 1 /g |g当 x1x2,即 v2l sin 6 / g l cosb,v x2,即v alcosol：g-时，则抛体在飞越观察员后2lsin才命中目标。将t=60代入中，v=-40,不合题意，舍去；将t=20代入中， v=40m/s,此即列车前进到 1200m处的速率。22_2.2a = dv

32、/dt = -2m/s2, an = v2 / r = 402/1500= 1.067m/s2a =；a 2 an2 = j(-2)2 1.0672 = 2.267m/s2a与 v所成夹角：a = arctg 电=arctg (1.067)定 152口a- 22.6.2 火车以200米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为 2g。求火车在何处 的加速度最大？最大加速度是多少？解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s , t=0时， s=0,v=v0=200km/h=55.56m/s。据题意 a= -2g, v=v0+a 4=vo -2g t, an=

33、v2/r=(v0 ngt)2/r。：a=(a/+an2)1/2=4g 2+(vo wgt)4/r21/2,显然，. 一.一 24 . _ 2 一 .2t=0 时，a 最大，amax=y 4g +v0 /r = 22.1m/s2.6.3 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达 到图中所示位置时，轨道曲率半径为150m,斗车速率为50km/h,切2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为s=80t-t2 (m,s), t=0时，列车在图中 o点，此圆弧形轨道的半径r=1500m,求列车驶过 o点以后前进至解：a = 0.4g = 0.4 9.8

34、 = 3.92m/s21200m处的速率及加速度。解：s=80t-t2 v=ds/dt=80-2t 令s=1200,由可求得对应时间：t2 -80t +1200 =0,求得 t = 60s,20s250 103、22an = v 八=(-600-) /150 = 1.286msaa 二a ? an?-3.92? 1.286n?a 二 ja 2 an2 =二3.922 1.2862 =4.126m/s2加速度a与切向单位矢量 ？夹角:向加速度a.=0.4g,求斗车的加速度。a - arctg an = arctg 13286 = 18.16 .2.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是

35、自东北向西南，与正西夹15o角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来， 与正南夹45o角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度 及相对于地面的速度。可知v机地v机风v风地苴sin30 -sin135 -sin15八中，v 风地=100km/h=27.78m/s , .可求得：sin135v机风=；v风地上 75.89m/s,v机地sin15解：v机地=v机风+v风地，由矢量图sin30v风地sin15:53.67m/s2.8.3 一卡车在平直路面上以恒速度30米/秒行驶，在此车上射出一个抛体，要求在车前进60米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和

36、方向，空气阻力不计。解：以卡车为参考系，设抛体初速为vo,由于要落回原抛出点，故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度v = v0 - g t 由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s),落到车上时的速 度v = - vo ,把数值代入中，可求得 vo = 9.8 m/s.2.8.4 河的两岸互相平行，一船由a点朝与岸垂直的方向匀速驶 去，经10min到达对岸c点。若船从a点出发仍按第一次渡河速率 不变但垂直地到达彼岸的b点，需要12.5min。已知bc=120m.求:河宽l;第二次渡河时船的速度u;水流速度v.解：以船为运

37、动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式v船岸=v船水+v水岸，在这里，v水岸=v, v船水=u,令v船岸=0 则上式可改写为：. = u v由第一次渡河矢量图可知：v=bc/t 1=120/600=0.2m/s,u = l / t 1，l = u t1.由第二次渡河矢量图可知：3 2 = l / t2 (4), cos a = co 2/ u ， v = u sin a (6).把、(4) 代入，求得 cos a =t1/t2=600/750=4/5, sin a =(1-cos2 a )1/2=3/5 把、代入，求得 u = 0.2 x 5/3 = 1/3 (m/s).再把u的数值 代入

38、，求得 l = 600/3 = 200(m).答：？r宽200米，水流速度0.2米/秒；第二次渡河时，船对水 的速度是1/3米，与河岸垂直方向所成角度a =arccos(4/5)=36o52.2.8.5 圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬 时汽车甲向东以 20km/h的速率行驶，汽车乙在0 =30的位置向东北方向以速率20km/h行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。解：由相对运动公式：vi = vi2 + v2 ,52 =% - v2 ,显然矢量三角形为等边三角形, 所以，w2=20km/h ,方向向东偏南 60第三章基本知识小结l牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。

39、矢量式:,2- dv drf =ma = m 二m -亍dtdt2分量式:fx = max, fy =may, fz = maz （直角坐标）dvv2f = ma = m , fn = man = m （弧坐标）*o*1在转动参考系中：f = m r, fk = 2mv - ck5.质心和质心运动定理 mrc = mm mvc = mw mac = miai “ f = mac（注意分量式的运用）2 .动量定理适用于惯性系、质点、质点系。导数形式：f =型dt微分形式：fdt=dp积分形式：i（= fdt）=二p（注意分量式的运用）3 .动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。若作用于质点或质

40、点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质 点系的动量保持不变。即若z f外=0,则p =恒矢量。（注意分量式的运用）4 .在非惯性系中， 考虑相应的惯性力， 也可应用以上规律解题。 . * 在直线加速参考系中：f = - ma03.4.4题图f2f1 n2fa2a1ni小1 =明f-ln m1go-xy对 m1,m2解方程3.4.1 质量为2kg的质点的运动学方程为r =(6t2 -l)? + (3t2 +3t +1)?(单位：米，秒)，求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。解：= a = d2f/dt2 =12?+6?, f = ma = 24i? + 12?为- 与时间无关的恒矢量，质点

41、受恒力而运动。f=(242+122)1/2=12 j5n,力与x轴之间夹角为:二二arctgf y / fx = arctg 0.5 = 26 343.4.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程 为：r = a cosco t ?+ bsince t ?, a,b,co为正常数，证明作用于质点 的合力总指向原点。证明：: a = d2r /dt2 - - 2(acos t? bsin - tj?) - - 2r2，乙e b 一,八，、一f =ma = m8 r ,，作用于质点的合力总指向原点。3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷 粒，一方面逐出秸杆，筛

42、面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆 逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才 可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4,问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？解：以地为参考系，设谷物的质量为m,所受到的最大静摩擦力为f = n mg ,谷物能获得的最大加速度为a = f /m = r0 g =0.4父9.8 =3.92 m/s2 ，筛面水平方向的加速3.4.3题图3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为 m1 ,m2,如图所示，m2 和桌面间的摩擦系数为 科2, m1和m2间的摩擦系数为 科1,问沿水平 方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。解

43、：以地为参考系，隔离m1、m2,其受力与运动情况如图所示， f1nim2g其中，n1=n1,f1=f1=1n1,f2=2n2,选图本坐标系 分别应用牛顿二定律,ni - m1g =02n2 = m2a2n2 - ni - m2g组，得 a1二1ga2 二 f。勺eg-l 2m1igf l 2m2g /m2要把木板从下面抽出来，必须满足a2 a1,即f-匕 19一 勺 2m1g 一匕 2m2g m2j 1gf 飞 1- 1 2 m1 m2 g3.4.5质量为m2的斜面可在光滑的水平面上 滑动，斜面倾角为“，质量为mi的运动员与斜面之 间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对 斜面的压力。加速

44、度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。a2m2g解：以地为参考系，隔离 m1,m2, 受力及运动情况如图示，其中：f1 =n1=m1g, f2=n2=f2 f1t，*-，n丁2g（n1+m2g尸（m1+m2）g.在水平方向对两个质点应用牛二定律:t - m(g = ma f - n mgn(mi + m2)gt = m2a (2以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a2）,取mi为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中ni为斜面对人的支撑力，f为惯性力，a即人对 斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系 o-xy, 应用牛

45、顿第二定律建立方程：n1 -m1gcosa+m1a2 sin =0 （1） 20s为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标y=y2.第二阶段的动力学方程为：f- mg = m dv/dtdv= f/mdt- gdt = 4.9/2tdt -9.8dt ；dv = 4.9/2：tdt -9.8：dt t 20_2_ _ _v-4.9/4 t -9.8t 4 4.9 t 20vmax = v(20) = 314m/s中，得 y2-yi=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)3.4.13 抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=

46、ax2, a为正常数，小环套于弯管上。弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？若为圆形光滑弯管, 情况如何？解：以固定底座为参考系， 设弯管的角速度为3，小环受力及运动情况如图示：“为小环处切线与x轴夹角，压力 n与切线垂直，加速度 大小a=co2x,方向垂直指向 y轴。在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：n cos(90 -口)= n sin 口 = mco 2x n sin(90 -叼=n cos = mg /得：tg a = w 2x/g ；由数学知识：tg a =dy/dx=2 ax;2,2所以，2ax - x/g, - 2ag, - 2ag若弯管为半径为r的圆形，圆方程为：

47、x2 + (r-y) 2 = r2,即222221/2221/2(r-y) =r-x,r-y=(r-x) ,y = r-(r-x) tg： =dy/dx - -2(r2-x2),/2 (-2x) = x/, r2 - x2代入中，得：x/ . r2 - x2 = 2x / g,.二 g / r2 - x23.4.14 北京设有供实验用的高速列车环形铁 路，回转半径为9km ,将要建设的京沪列车时速 250km/h ,若在环路上作此项列车实验且欲使铁 轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m.解：以地为参考系， 把车厢视为质点，受力设轨矩为l,外轨比内轨高 h,有cosa = 5 2 h2 /1, sinot = h /1 选图示坐标o-xy ,对车箱应用牛顿第二定律：n cosa = n7 l2 h2 / l