常微分方程第三版答案

1、1. dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dx解：dy =2xdx两边积分有：In |y|=x 2 +cy2y=ex +ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2 ,x=0 y=1时c=1特解为y= e x .2. y 2 dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解: y2 dx=-(x+1)dy卑 dy=dxyx 11In | c(x 1)|两边积分：-一 =-In|x+1|+ln|c| y=y另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 时c=e3. dy= 1 y2 dx3xy x y解:原方程为

2、:dy =1 y21dx y x x3一 dy= ydxx x两边积分：x(1+x2)(1+y 2)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：1一y dy=-冬dxy x两边积分：ln| xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5. (y+x) dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dy = x ydx x y令 =u 贝U=u+xdu 代入有:xdx dx-udu=-dxu21 x22ln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y 2 +x2 )=c-2arctg g x6. x 矽-y+ . x2y2 =0dx解：原方程为:史二丫 +凶dx x x1

3、 O2则令=ux=u+ X 史 dxdx1 1du=sgnx dx彳2x.1uxyarcs in=sg nx ln| x|+cx7. tgydx-ctgxdy=O解：原方程为:dy = dxtgy ctgx两边积分:In |si ny|=-l n|cosx|-l n|c|1siny=ccosx cosx另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为siny cosx=c.2小y 3x8 或+ =0dy _ey解：原方程为:dx y3x e dx y2 e 3x-3ey =c.9.x(l nx-l ny)dy-ydx=O解：原方程为：=ylndx x x令$=u ,则=u+ X

4、屯 xdxdxu+ x du =ulnu dxIn(ln u-1)=-l n|cx|1+ln =cy.x10- dx=exy解：原方程为:dX=exedxye =ce11抄=(x+y) dx解：令 x+y=u,贝U dy =du -1 dx dxdu -1=u dx11 u2du=dxarctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12业=dx (x y)解：令x+y=u,贝U史=屯-1dx dxdu ,1-1=-2dx uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13.dy = 2x y 1dx x 2y 1+3解：原方程为：(x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dxxdy

5、+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y -y)-dx +x=cxy-y du 12 - =u 4 dx 4 +y-x 2 -x=c14:dy = x y 5dx x y 2解：原方程为：(x-y-2 ) dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=01 21 2dxy-d(- y2 +2y)-d(一 x2 +5x)=02 222y +4y+x +10x-2xy=c.15:=(x+1)2+(4y+1) 2 +8xy 1dx解：原方程为：3= (x+4y) 2+3 dx令x+4y=u贝U业=丄屯-丄dx 4 dx 4du=4 u 2+13dx3u

6、=3tg(6x+c)-12tg(6x+c)=(x+4y+1).316:证明方程dy =f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程: y dx1)y(1+x y )dx=xdy. o 2 2)X dy = 2 x y y dx 2-x y证明：令 xy=u,贝U x d +y=dudx dx则史=1屯-耳，有: dx x dx xxdU=f(u)+i u dx- du=-dx u( f(u) 1) x所以原方程可化为变量分离方程。1)令xy=u则吐=丄理-耳(1)dx x dx x原方程可化为：业二1+ (xy) 2dx x将1代入2式有：丄虫-=u(1+u2)x dx x

7、xu= u2 2+cx17. 求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y （x- x ）+ y则与x轴，y轴交点分别为：yo,x= x o - y= y o - x o yy贝U x=2 x 0 = x 0 -西 所以 xy=cy18. 求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 =-4解：由题意得：y:=yx11dy=- dx yxIn |y|=l n|xc| y=cx.=贝 U y=tgx所以c=1 y=x419. 证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线 证明：设（x,y）为所求曲线

8、上的任意一点，则 y二kx贝U: y=kx2 +c即为所求。常微分方程习题2.11. dy 2xy ,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.dx解：对原式进行变量分离得22. ydx (x 1)dy 0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：23 dx丄占dx xy x y解：原式可化为：12. dy dx (x y)解dy (x 1)2(4y 1)2 8xy 115. dx216.dydx6y2xy52x2-22x y解:dydx/ 3、2(y )x2 y2(2xy3 x2dy3dx3 22，令y3 u，则原方程化为du3u26x2dx2xu x3u26厂6xu

9、2 1x这 是 齐 次 方ududzz,则 z x ，所以dxdx60,得z 3或zx当z2当z260时，变量分离3z262z2是2z1(1)1dzdzz x , , x dxdx方程的解。即y3z2 z 62z 13x或y32x是方程的解。(1)7/3353x) (y 2x) x332x)即(的解为(y3 3x)7(yz2zdc,又因为15x cdz-dx，两边积分的(z 3)7(z x3x或y32x包含在通解中当c352) x c,0时。故原方程2x23y213x22y21x(2x23y2 1)dy2y(3x22y2 1)；dP17 dy 2x3 3xy x dx 3x2 y 2y3 y解

10、：原方程化为烹令y2v;则虫* J J J J J J ，八 Jdv2v 3u 13v 2u 12v 3u 1方程组3v 2u 10的解为(1, 1);令 Z v 1, Y u 1,02 3#则有2z 3y 0,从而方程(1)化为鱼乙3z 2y 0dz 3 21z2令t，则有业t z世，所以t z空 g , , z虫乙旦,zdzdzdz 3 2t dz 3 2t当 2 2t2 0时，即t1,是方程(2)的解。得y2 x2 2或y2x2是原方程的解当3 2t12 2t2 0时，分离变量得 dt dz两边积分的y2 x2 (y2 x2 2)5c2 2tz另外x19. 已知f(x) f (x)dt

11、1,x0,试求函数f(x)的一般表达式解：设 f(x)=y.x则原方程化为f(x)dt01-两边求导得yy20. 求具有性质x(t+s)= 型 血的函数x(t),已知x (0)存在1 x(t)x(s)解：令 t=s=0 x(0)=x(0) x(0) =2x(0)若x(0)0得x=c e x- - ( sinx cosx)是原方程的解。 =-1矛盾。1x(0)1x(0)x(0)所以 x(0)=0. x (t)=.x(tt)limx(t)lim2x( t)(1 x (t)x(0)(1 x2(t)tt1 x(t)x( t)dx(t) x(0)(1 x2(t)dx(t)x(0)dt两边积分得arctg

12、 x(t)=x (0)t+c 所以dt1 x2(t)x(t)=tgx (0)t+c 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以x(t)=tgx (0)t习题2.2求下列方程的解dx解：y=edxdx(sinxe dx c)sin x2.空 +3x=e2tdt=ex- 1 e x(sinx cosx)+c2解：原方程可化为：dx =-3x+e21dt所以：x=e3dt(2t3dte e dt c)=e3t1 5t(_e +c)5=c e3t+le52t是原方程的解。3.詈=-s costsin 2t解:s=e costdt ( din 2t e23dtdt c )=e sin t ( sin

13、 tcostesintdt c)sintsi nt=e ( sintesinte c )=ce sint sint 是原方程的解。4.dy exxndx nn为常数.解：原方程可化为:dydxn xx (eC)是原方程的解.dy 1 2x5.说+ Ty1 =0解：原方程可化为：辭宁y2x 1y eh(e1 2x dxx dx c)= x2(1ce)是原方程的解.6.dy43x xdx2xy解：dy43x xdx2xy3x +y2y x令yxu则y因此:udu x=dx iuxx udx=udux -dxu33x x(*)u带入(*得:y3 3x4cx3是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方

14、程。两边同除以-,y令 y2 z dZ 2y史 dx dx2P(x)= 2Q(x)=-1x由一阶线性方程的求解公式x x2cy14 dy e 3x dx x2两边同乘以eyey dydx(ey)2x3xey2令eyzdzdxey少dxdz z2 3xz3zz2这是n=2时的伯努利方程。dx2xx2x两边同除以z21 dzz2 dx3xz丄令1 TxzP（ x）=3xQ(x)= 1=x由一阶线性方程的求解公式3/x (c)3 cx15dydx133xy x y这是n=3时的伯努利方程。两边同除以x31 dx y 3丽7 ydzdy2x3 dxdydzdy2y 332y = 2yz 2yxP(y)

15、=-2yQ(y)=2y由一阶线性方程的求解公式=e y ( 2y3ey dy c)ceX16y= ex+ 0 y(t)dtP(x)=1 Q(x)=ex由一阶线性方程的求解公式=ex( exe xdx c)=ex(x c)c=1y=ex(x c)(s)17设函数(t)于gtdy0是恰当方程解：这里 M xcos x ysin x y , N xcos x y故方程的通解为:x2 2xy dxx2 一 x2 2xy dx dy c y14、 xcos x y即：x3 3x2y csin x y dx x cos x y dy 0因为MyNcos x y xsin x yx故方程的通解为:故通解为:

16、 ey ycosx xsinxdx 即：ey sinxy 1 ey cosx c16、x 4ydx 2xdy y3 3ydx 5xdy解：两边同乘以x2y得：N 一 ey ycosx xsinxdxdy c yx cos x ysin x y dxxcosx y xcosxysin x y dx dy cy即：xsin x yc15、 y cosxxsin x dx ysin xxcosx dy o解：这里Mycosx xsin x, Ny si nx x cosxMNyxMNy x 1方程有积分因子：dyyee两边乘以得：M方程ey ycosx xsinxdx ey ysinx xcosx

17、dy0为恰当方程故方程的通解为：x4y2 x3y5 c17、试导出方程M(X,Y)dx N(X,Y)dy 0具有形为(xy)和(x y)的积分因子的充要条件解：若方程具有（xy）为积分因子,JM)( N)yd dzd dz(Xy）是连续可导）ddz-JM Ndzd dzM)，(M方程有积分因子(X此时，积分因子为dz(x y)dzy）的充要条件是:是x y的函数,（Xy)(z)dze dx dzd dzddzXX此时的积分因子为(xy)N MdzMx Nye18. 设f(x,y)及丄连续,试证方程dy f(x,y)dx 0为线性方程的充要条件是它有仅依赖 y于x的积分因子.证：必要性 若该方程

18、为线性方程,则有巴 P(x)y Q(x),dx此方程有积分因子(x) e , (x)只与x有关.充分性 若该方程有只与x有关的积分因子(x).则(x)dy (x)f(x,y)dx 0为恰当方程,从而 (x)f(x,y) d (x) f(x)ydx y (x)Q(x)里丫 Q(x) P(x)y Q(x)(x)其中P(x) 凶.于是方程可化为dy (P(x)y Q(x)dx 0 (x)即方程为一阶线性方程20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy)1，试证方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=O证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=O

19、两边同乘以u得:uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=Off gyx(f g) xy xy-uy- =uf+uy 一 +yf =-+ y -yf2 2 y 2-yy y xy(f g) xy( f g)x y (f g)gxyf gxyxy yxyyx(fg)2f g f yf gy y y =xy(f g)2gxy(一g)而竺=ug+ux gxu g x+xg=;yf+x-xgg) xy(f g)y(f g) xy xyx x22 2x y (f g)上 gxyfxy上 gfxfxg- g -xyxxyx = xyxyxy(f g)2(f g)2故丄一 =3，所以u是方程得一个积分因子y

20、x21 假设方程(2.43 )中得函数M(x,y ) N(x,y)满足关系Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y) 分别为x和y得连续函数，试证方程(2.43) 有积分因子 u=exp( f (x)dx+ g(y)dy)证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=Ou(N)=N上-M上x x yN)=Ne f(X)dX g(y)dyf(x)xf(x)dx-M eg(y)dyg(y)u(卫Nf (x) dx g( y)dyN )=e(Nf(x)-Mg(y)x即证（uM）y(uN)u M +M=u N+N uyyxxx由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知

21、伯努利方程为：P x y Q x yn, y o; dx两边同乘以y n，令z y n，dZ 1 n P x z 1 nQx ,线性方程有积分因子：dx1 n P x dxn 1 P x dxee，故原方程的积分因子为：1 n P x dxn 1 P x dxee，证毕！23、设 x, y是方程M x, y dx N x, y dy 0的积分因子，从而求得可微函数 U x, y，使得dUMdx Ndy .试证x, y也是方程 M x, y dxN x, y dy 0的积分因子的充要条件是 x, yU ,其中t是t的可微函数MU，则JNu NN0的一个积分因子即 为 M x, y dx N x,

22、 y dy24、设1 x, y , 2 x, y是方程M x, y dx N x, y dy 0的两个积分因子，且仁2常数,求证i 2c （任意常数）是方程M x, y dx N x, y dy 0 的通解证明：因为1, 2是方程Mx, y dxN x, y dy 0的积分因子所以i MdxiNdyo i1,2为恰当方程即N-i M iMiN ， i 1,2xyyxF面只需证的全微分沿方程恒为零2事实上:即当c时,21 c是方程的解。证毕!2习题2.4求解下列方程1、xy31 y解：令 y p -，则 x 1 - t3 t3 t2，dxtt1从而y pdx c严3 t23t 2 dt c -t

23、222t c,于是求得方程参数形式得通解为t3 t2-t2 2t232、 yx3 1解：令dx ytx ,txx3txo，即t2从而ypdxt2rd3、 y2t55 2tt2于是求得方程参数形式得通解为解：令dydxP，则y从而pp ep2eppeP dp cep c ,于是求得方程参数形式的通解为1 p ep c2 py e另外，y=0也是方程的解.4、yi y22a , a为常数解:令型dxtg，则2a1 tg22a cos2sec从而xd 2a cos tgsin 2 c，于是求得方程参数形式的通解为a 2sin22acos25、x2y 21于是求得方程参数形式的通解为xsin t1丄1

24、 . ytsin 2t c24解：令d ydxp cost ，则x1 cos2t si nt，从而ycostd sintc1 i1t 1sin2t2 4c，6 y2 y 12 y解：令2 y yt，则1 y yt 1，得y t半,dt1 t 2 dt1 t2从而x于是求得方程参数形式的通解为因此方程的通解为y习题2.522. ydx xdy x ydy解：两边同除以x2，得:即1 y2 cx 24. dy y_ dx x , xy解：两边同除以x，得则dx udux -dx即dx udux -dx2”ny 2 ,2Iny另外0也是方程的解。6. xy 1ydx xdy解：ydx xdyxydx

25、 0得到d -ylx22另外0也是方程的解。2y_3x则：dxdux -dx8. dx解：令1x得到duudx2 x故11uxc即1-y x12 x另外y0也是方程的解。210.dyx1dxdydx解:令鱼dxP即x1 P2P而P故两边积分得到12.因此原方程的解为x1 p2pIn p c。ey史1xxedx解:dy 1 xexydx令x yu则1dydudxdxxdx即duue故方程的解为14. dy x y 1 dx解：令x y 1 u则 1 dy dudx dx那么du 1 dx dxu求得：In u 1x c故方程的解为In x y1 x c或可写为xy 1xce16 . x 11 2

26、edxy解：令e y u则yIn u即方程的解为ey xy 2x c2 218. 4x y dx3x y1 dy 0解：将方程变形后得同除以x2得：x2-dx -dy 2y 4y3 dz 3z 3 令z x 贝92dy 2y 4y3 即原方程的解为X3-y2 cy219.X( dy)22y(dy) 4x 0dxdxdydyx(字)2 4x解：方程可化为 2y( dy) x(-dy)2 4x,y dxdxdxdxp,则y自(xp(p2 4)dx(:xp ,yc虫空空,两边对x求导得p 2pp2) dx ,(2x(p22x2 4xc2x4)dp2x2c2p2)dxp0 p24,2yc20.y2 1

27、c()2dxx dp2 dx2x dpp2 dx(；4 或 pdx xdp 0,当 p20,(p34p)dx4.xp2 4x)dp2x,当 pdxxdp解：令型pdxdx 2 ccossin,则 y212 . sec d(sin )21,y 丄,dxcosdypdysin1 sin 2 sin cosd2 cosc tgc 所以方程的解为y(x c)21,另外由p0得y1也是解21.(1 ey )dx解：令-z则ydx (z1)ezdy1z eIn z ezIn2x2y22.3 dxy解：2xydx(y2M-N2x,yx2xy 3dx(y 223.ydx(1 x解：ydxxdy所以方程的解为x

28、ey (1-)dyydxx yz, dyzze z z e1 ezy dz方程为(1 dy)dx (z1)ezdy,y,y(z ez)-dy 0 y3x2)dyM6x3x24 )dy yy2)dy(124. y x(x y解：方程可化为25.2dydxe解：令dyc, y(- yzz e1 ezxey)dz 1y,dy z eze .z dzdyyX2xyx20,d3y08x2xy1d y)dy,两边同除以yxdy (ydx xdyx2t,xxc所以方程的解为x yey所以方程有积分因子 ey0所以方程的解为2 ydx xdy4-dyyy c 即(x 1)2 xdx,darctg yyt d

29、由 dypdx 得 y2 x3 y3cy. 21 y x dy,d- y yy(y c),另外y 0也是解。xdx所以方程的解为t2t(1 et)dtc arctg y2xc.2t(1 et)dtt2 c25. dy edx x 0 dx解：令 d p 侧x t d由dy pdx得y dx所以方程的解为：x t d, yt(1 ejdtt2c 2 ett26.( 2xy2x y3y-)dx3(x2y2)dy0MN解：M2x2 2x y ,N2x, y2x 1所以方程有积分因子ex方程两边同乘幷得yxxyd3exx2ydexy30所以方程的解为:x 2x 33e x y e y c27 dy 2

30、x 3y 4dx 4x 6y 5解:令u 2x 3y ,虫2 3矽dxdxdu 7u 22dx 2u 5两边积分得4 du7u 22dx ,9ln 2x 3y14u122二一 dx ,222714(3y3x) c2即为方程的通解另外，7u 220,即2x 3y2270也是方程的解。dyx -dx2 2 2 y 2x y(y x )解：两边同除以X，方程可化为:dudx2x3(u3 u),两边积分得14x2 ceux2y2 cy2ex为方程的解。29.理丄dx xexy解：令exyu，则In uxdydxx du , In u u dx2x那么uxdu In udx x2In u2xdu2uxd

31、x两边积分得xye c即为方程的解。30.理豎 2 2xy5dx 3x y 6y 3y2x2解：方程可化为 (4x3 2xy32x)dx(3x22 小 5 小 2、y 6y 3y )dy 0两边积分得x4x2y3c623x c (x 1)(y1)为方程的解。231. y (xdx ydy)x(ydx xdy)解：方程可化为y2xdxy3dy xydx x2dy两边同除以寸，得xdx ydxx(ydx xdy)-d(x22y2) x乎dy令 x cossind sin-2-sin两边积分得sin将二sin-代入得,y2(y1)2/ 2 2 2(x y )(y1)2解:业dx方程可化为dydx1 xy31 x3y32.2 2(*)两边同加上1，得d(x y) xy(x /)dx1 x y再由d(xy) xdy ydx，可知d(xy)dxdyxdx y(x y)(x2y2 1)1 x3y(*将(*) / (* )得即整理得两边积分得即d(x y) xy(x y)2 2d(xy) x2y2 1du uvdv v21du vdvu v 1.v2 1 cu