常微分方程试卷及答案(20200625185204)

1、2010-2011学年第 二 学期常微分方程考试 AB卷答案理学 院 年级信息与计算科学专业填空题(每题4分，共20分)1. 形如yP(x)y Q(x) ( P(x),Q(x)连续)的方程是 _一阶线性微分方程，它的通解为 y =e JP(X)dx I jQ(x)e_ JP(x)dxdx + c j .2. 形如y”-y=0的方程是_3 阶一齐次-(齐次”还是”非齐次”_常_系 数的微分方程,它的特征方程为_3二1二0.3. 形如xn+川川七“衣包+a“y =0的方程为欧拉方程,可dxdxdx通过变换x二J把它转化成常系数方程.2 14. y dx+(x+1)dy =0,满足初始条件：x=0,

2、 y =1的特解y= 1 + In 1 + x5. 5.微分方程 鱼=f (x,y),满足y(x) =y,R： x-x Ea, y-y|兰b的解存在且唯dx一的条件是：f (x, y)在R上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解(每题 5分，共30分)1虬 12dx (x y)解:令 x+y=u,贝U=-du -1dx dx屯-仁+u-arctgu=x+cdxu2y-arctg(x+y)=c.2. x 4ydx 2xdy y3 3ydx 5xdy 二 0解：两边同乘以x2y得:4x3y2dx 2x4ydy 3x2y5dx 5x3ydy =0 . 3d x4y2d x3y504235故方程的

3、通解为：x y x y - c . 5-可编辑修改-解：令 = p，则 y=x，p2,dx两边对x求导得p=i+2pdx.3.4.5dp p _1dx 一 2p ，解之得 x =2p +1 n(p -1 f +c ,所以 y = 2p + P2 +1 n(p-if +c ,且y=x+1也是方程的解，但不是奇解4. x(5) -4x =0解：特征方程5 -4-0有二重根，-0 ,.切=2 , ，5 = -2 . 3故通解为 x = Ge2t c2et c3t2 c4t c5 . 55. x -4x -5x =2t 3解：特征方程-42 -5 = 0有根1 =0, =-1,=5齐线性方程的通解为x

4、=c)e_t - c2e5t c3t . 3又因为 =0是特征根，故可以取特解行如x二At Bt2代入原方程解得 A= ,25B=-2 .45_t5t丄 2丄2x=c1e c2e c3tt6. xy：-yln y =0,初值条件:y(1)=e解：原方程可化为或=y ln y 1dx x分离变量可得虫=生 .3y In y x两边积分可得In y =cx .4将初值代入上式求得方程的解：In y = 2x 5二、求下列方程(组)的通解(每题 10分，共30分)1.求一曲线，使其任一点的切线在 0丫轴上的截距等于该切线的斜率.解：设p(x,y)为所求曲线上的任一点，则在 p点的切线I在丫轴上的截距

5、为:2x，=x+2yly=4x+3y满足初值条件;(0)爲y xdy Qy=.3由题意得即dy y x 亠=xdx鱼y-1 dx x也即ydx + xdy =-dx两边同除以x2，得即ydx + xdydx c2 xx.5d(Y) = -d 1 n :x 7即x 7y =cx + xlnx an.IU为方程的解。方程组的特征值u1对应特征值鮎=5的特征向量u =1应满足U丿（4 -2）（A-证川=I 1 =0日2丿仏丿对任意常数 a式0 ,u = fa&丿u = . 4f丿对应特征值-2= -1的特征向量V=1 |应满足芒2）对任意常数1 = 0t e/ 5t t e 所以基解矩阵为：0（t）

6、= 5ti2e-t(t)二(t)(to)-e5t3r415t 24-e ei33Ze5tC 5t2e5t1 -e31 5te3z2e5t4e5t-t-e丿.103.求方程史=2x - 1 - 3y2通过点（1,0）的第二次近似解.dx解：令毋0（x） =0 ,于是%(x) = y0 + f 2x 1= x2 _x, . 52 (x)二 y0 亠丨2 x 一 1 一 3 2 (x)dx =曙 一 x x2 一 x3 |x3x5, .10五、应用题（10分）33.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了 20秒钟后,艇的速度减至w =3米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定

7、水的阻力与艇的运动速度成正比例解:dv=ma = mdt，又 F 二 kw，由此m蚁 k1vdt即也kvdt其中k，解之得m.5In v = kt +c又t =0时，v = 5 故得从而方程可化为t=2时，v=3。13k In ，c = ln5205当 t =2 60 =120时，有3廻 v(20)=5 (3)205-0.23328 米/ 秒即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度.10六、证明题 （10分）1、试证：非齐次线性微分方程组的叠加原理即：设X1（t）,X2（t）分别是方程组x 二 A（t）x f1（t）x，= A（t）x f2（t）的解，则X1（t） *2（t）是方程组-可编辑修

8、改-x = A(t)xft)f2(t)的解.证明：x 二 A(t)xf1(t)(1)x 二 A(t)xf2(t)(2)分别将x1 (t), x2(t)代入(1)和(2)贝U x1 A(t)x f1(t)X2 =A(t)xf2 (t)贝U X1X2 =A(t)X1(t)X2(t)f,t)f2(t)X1(t)X2(t)f 二 A(t)X1(t)X2(t)f1(t)f2(t)令 X =X1(t)X2(t).10即证 x = A(t)xf| (t)f2(t)2010-2011学年第 二 学期常微分方程考试 B卷答案理学 院 年级信息与计算科学专业、填空题(每题4分，共20 分)1.M(x, y)dx

9、N(x,y)dy =0是恰当方程的充要条件是；:M2N:y其通解可用曲线积分表示为JM (x,y)dx+J |N -三JM (x,y)dx dy = c. .3一3. 形如y“-4y = x2的方程是一2阶 非齐次(齐次”还是”非齐次”)常系数 的微分方程，它的特征方程的特征根为2, -2 .4若是同一线性方程=A(t)X的基解方阵，则它们间有关系 (t) =CT(t), C为可逆矩阵.5. 5.微分方程 矽=f (x,y),满足y(X0)= y,R： x-x兰a, y-y|兰b的解存在且唯 dx-可编辑修改-一的条件是：-可编辑修改-f（X, y）在R上连续且满足利普希茨条件、下列微分方程的

10、解（每题 5分，共30分） 1. dx解:贝U:dy1=u x-dx即dux -1 2 udxx得到du 2dx二 2ux故三:-1cux1duudx丄u2x解。2.dydx=ysin x解:|dx. . dxy= e ( sinx e dx c)=ex- 1esinx cosx)+c1=cex-( sinx，cosx)是原方程的解。23.y =3y2 丄。yy =t,=6 -t”dtytx 二 6t2P解为1r 2?_C.54. y 2y 10y = 0解：特征方程九2 +2丸+10 = 0有复数根扎i = = _1 +3i,规=-1 -3i 3故通解为 xcos3t c2eJ sin3t

11、. 55. xdy ydx 二 0解：原方程可化为dxy =0故 xy =C .56. x 6x 8x = et解：特征方程 2 6， 8 =0 有根 =-2, 2 =-4 . 1故齐线性方程的通解为x=c1e2t c2et . 3=-2是特征方程的根，故x二Ate?代入原方程解得A 1 . 44故通解为 x=c1e_t - c2e-e2t . 54三、求下列方程（组）的通解（每题 10分，共30分）1. y 2ay a2y = ex解：特征方程2 2aa2=0有2重根一a .2当a=-1时，齐线性方程的通解为s= c1et c2tet,-1是特征方程的2重根，故x -At2et代入原方程解得

12、 A=1通解为 s=c1et c2tet 丄t2, .62当a-1时，齐线性方程的通解为S=de八沁T不是特征方程的根故Aet代入原方程解得.10故通解为 S= c1e_at c2te Jt +- et(a +1)7x y求其基解矩阵2. dt 矽一x 2y dt解：det(-E A =0 得=对应于1的特征向量为U =1L 1工，对应于2的特征向量为v =是对应于，2的两个线性无关的特征向量(t)=el(2+T3)e 血 10Mte(2_j3)e3t3.求方程dy二x -y2通过点(1,0)的第二次近似解. dxx2，1(x)二 y.Jx- ；(x)dx 二解：令0(x) =0，于是1 2

13、1-x ,2 2.10X 21111213152(x) =y0: 1 (x)dxx x x x ,201 L13042620五、应用题(10分)1 求一曲线，过点(1,1),其任一点的切线在0丫轴上的截距等于a2.解：设p(x,y)为所求曲线上的任一点，则在 p点的切线I在丫轴上的截距为:.3由题意得两边同除以X2，得即即y-dxdydx2 = _y _ax2d In y a = d In xy =cx a2.8.10将x =1,y =1代入上式得c二a2 -1六、证明题 (10分)1、试证：如果(t)是x=Ax满足初始条件(t)= 的解，那么：(t) = exp A(t-t o)1t证明：由于 (t) = (t)-(t