中心极限定理证明

1、中心极限定理证明 一、例子 例 1 高尔顿钉板试验 . 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子 . 每排钉子等距排列 , 下一排的每个钉子恰在 上一排两相邻钉子之间 . 假设有排钉子 , 从入口中处放入小圆珠 . 由于钉板斜放 ,珠子在下落 过程中碰到钉子后以的概率滚向左边 ,也以的概率滚向右边 .如果较大 ,可以看到许多珠子 从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示 , 堆成的曲线近似于正态分布 . 如果定义 :当第次碰到钉子后滚向右边 ,令; 当第次碰到钉子后滚向左边 , 令. 则是独立 的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象 , 当越来越大时接近程度越好 由于时 ,. 因此

2、 ,显然应考虑的是的极限分布 .历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是 正态分布 . 研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理 . 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列 ,假设存在 , 若对于任意的 , 成立 称服从中心极限定理 . 例 2 设服从中心极限定理 , 则服从中心极限定理 , 其中为数列 . 解:服从中心极限定理 , 则表明 其中. 由于, 因此 故服从中心极限定理 . 三、德莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中 , 事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数, 则 例 3 用频率估计概率时的误差估计 . 由德莫佛拉普拉斯极限定理 , 由此即得 第

3、一类问题是已知 ,求, 这只需查表即可 . 第二类问题是已知 , 要使不小于某定值 , 应至少做多少次试验 ?这时利用求出最小的 . 第三类问题是已知 , 求. 解法如下 :先找,使得.那么,即.若未知 ,则利用,可得如下估计 例 4 抛掷一枚均匀的骰子 , 为了至少有 0.95 的把握使出现六点的概率与之差不超过 0.01, 问需要抛掷多少次 ? 解:由例 4中的第二类问题的结论 ,. 即.查表得.将代入,便得. 由此可见 ,利用比利用 契比晓夫不等式要准确得多 . 例 5 已知在重贝努里试验中 , 事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现 的次数 , 则服从二项分布 : 的随机变量

4、. 求 . 解: 因为很大 , 于是 所以 利用标准正态分布表 , 就可以求出的值 . 例 6 某单位内部有 260 架电话分机 , 每个分机有 0.04 的时间要用外线通话 , 可以认 为各个电话分机用不用外线是是相互独立的 , 问总机要备有多少条外线才能以 0.95 的把握 保证各个分机在使用外线时不必等候 . 解:以表示第个分机用不用外线 ,若使用, 则令; 否则令.则. 如果 260架电话分机同时要求使用外线的分机数为 ,显然有.由题意得 , 查表得, 故取. 于是 取最接近的整数 , 所以总机至少有 16 条外线 , 才能有 0.95 以上的把握保证各个分机在 使用外线时不必等候 .

5、 例 7 根据孟德尔遗传理论 , 红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比 率为 3:1, 现在种植杂交种 400株,试求结黄果植株介于 83和117之间的概率 . 解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的 . 在400 株杂交种中结黄果的株数记为 , 则. 由德莫佛拉普拉斯极限定理 , 有 其中, 即有 四、林德贝格 - 勒维中心极限定理 若是独立同分布的随机变量序列 ,假设 ,则有 证明:设的特征函数为 , 则 的特征函数为 又因为, 所以 于是特征函数的展开式 从而对任意固定的 , 有 而是分布的特征函数 . 因此, 成立 . 例 8 在数值计算时 ,

6、 数用一定位的小数来近似 , 误差. 设是用四舍五入法得到的小数 点后五位的数 , 这时相应的误差可以看作是上的均匀分布 . 设有个数 , 它们的近似数分别是 ,.,. 令 用代替的误差总和 . 由林德贝格勒维定理 , 以, 上式右端为 0.997, 即以 0.997 的概率有 例 9 设为独立同分布的随机变量序列 ,且互相独立 ,其中,证明: 的分布函数弱收敛于 证明:为独立同分布的随机变量序列 ,且互相独立 , 所以仍是独立同分布的随机变量序 列, 易知有 由林德贝格勒维中心极限定理 ,知的分布函数弱收敛于 ,结论得证 . 作业: P222 EX 32,33,34,35 五、林德贝尔格条件

7、 设为独立随机变量序列 , 又 令, 对于标准化了的独立随机变量和 的分布 当时 , 是否会收敛于分布 ? 例 10 除以外,其余的均恒等于零 ,于是.这时就是的分布函数 . 如果不是正态分布 ,那 么取极限后 ,分布的极限也就不会是正态分布了 .因而, 为了使得成立 ,还应该对随机变量序 列加上一些条件 .从例题中看出 ,除以外,其余的均恒等于零 ,在和式中 ,只有一项是起突出 作用.由此认为 ,在一般情形下 ,要使得收敛于分布 ,在的所有加项中不应该有这种起突出作 用的加项 . 因为考虑加项个数的情况 , 也就意味着它们都要“均匀地斜 . 设是独立随机变量序列 , 又 , 这时 (1) 若

8、是连续型随机变量 , 密度函数为 , 如果对任意的 , 有 (2) 若是离散型随机变量 , 的分布列为 如果对于任意的 , 有 则称满足林德贝尔格条件 . 例 11 以连续型情形为例 , 验证 : 林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜 . 证明: 令, 则 于是 从而对任意的 , 若林德贝尔格条件成立 , 就有 这个关系式表明 , 的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零, 这就意味着所有加 项是“均匀地斜 . 六、费勒条件 设是独立随机变量序列 , 又, 称条件为费勒条件 . 林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件, 但不是必要条件 费勒指出若费勒条件得到满足 , 则林

9、德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件. 七、林德贝尔格 - 费勒中心极限定理 引理 1 对及任意的 , 证明:记, 设,由于 因此, , 其次, 对, 用归纳法即得 . 由于,因此,对也成立 . 引理 2 对于任意满足及的复数 , 有 证明: 显然 因此, 由归纳法可证结论成立 引理 3 若是特征函数 , 则也是特征函数 ,特别地 证明 定义随机变量 其中相互独立 ,均有特征函数 ,服从参数的普哇松分布 ,且与诸 独立 ,不难验证的特征 函数为 ,由特征函数的性质即知 成立 . 林德贝尔格 - 费勒定理 定理 设为独立随机变量序列 ,又 . 令 , 则 (1) 与费勒条件成立的充要条件是

10、林德贝尔格条件成立 . 证明 :(1) 准备部分 记 (2) 显然 (3) (4) 以及分别表示的特征函数与分布函数 , 表示的分布函数 , 那么 (5) 这时 因此林德贝尔格条件化为 :对任意 , (6) 现在开始证明定理 . 设是任意固定的实数 . 为证 (1) 式必须证明 (7) 先证明, 在费勒条件成立的假定下 ,(7) 与下式是等价的 : (8) 事实上,由(3) 知,又因为 故对一切 , 把在原点附近展开 , 得到 因若费勒条件成立 ,则对任意的 ,只要充分大 ,均有 (9) 这时 (10) 对任意的 , 只要充分小 , 就可以有 (11) 因此, 由引理 3,引理 2及(10),

11、(11), 只要充分大 ,就有 (12) 因为可以任意小 ,故左边趋于 0,因此,证得(7)与(8)的等价性 . (2) 充分性 先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件 . 事实上 , (13) 右边与无关 ,而且可选得任意小 ;对选定的,由林德贝尔格条件 (6) 知道第二式当足够大 时, 也可以任意地小 ,这样 ,费勒条件成立 . 其次证明林德贝尔格条件能保证 (1) 式成立 . 注意到 (3) 及(4), 可知 , 当时, 当时, 因此 (14) 对任给的 ,由于的任意性 ,可选得使 ,对选定的 ,用林德贝尔格条件知只要充分大 ,也可 使.因此,已证得了 (8), 但由于已证过费勒条件成立 ,这时(8) 与(7) 是等价的,因而(7) 也成 立. (3) 必要性