【高数】高等数学公式大全【已排版可直接打印】【考研,高数】要点

1、高等数学复习公式蛋蛋 6整理-289370618第17页共14页导数公式:高等数学公式(tanx) = sec2 x(cotx) - - csc2 x (secx) =secx tanx (cscx) - -cscx cotx (ax) = ax in a1(logax)xln a(arcsin x)1 -x2/1(arccosx)-1 - x21(arctanx)=1 x2,、1(arccotx)= -1 x2基本积分表:tgxdx = -ln cosx +cctgxdx = ln sinx +c rsecxdx = ln secx +tgx +cdx2cos2 xdxsin2 xsed x

2、dx 7gx ccsc2 xdx - -ctgx csecx tgxdx = secx cfcscxdx = ln cscx-ctgx +cdxa2 x2dxx2 - a2dxa2 -x2 dx1, x八arctg ca1lncscx ctgxdx = - cscx c2a1,aln 一2a a -x x- arcsin c aax axdxcln ashxdx = chx cchxdx = shx c, dx 二=ln(x +，x2 a2) + c x2 j a22sinn xdx0ji2二 cosn xdx0f4x2 +a2dx =xa222 aaln(xx2 a2) cjx2 -a2dx

3、 = xjx2 -a2 -王= x + x2 -a2 +c22na2 - x2dx = * ja2 - x2 +arcsin x + c 22 a三角函数的有理式积分:,x u =tg-, 22u -1-u2sin x =2, cos x =2,1 u1 u些初等函数:ex _e-x 双曲正弦：shx = e e2x - p -x双曲余弦:chx-e2两个重要极限:sin x /lim=1x-0 x1lim (1)x = e = 2.718281828459045j x双曲正切：thx = shx尸一echx ex e/arshx = ln(x . x2 1)archx = ln(x /x2

4、-1)1 1 x arthx in - 2 1 -x三角函数公式:诱导公式:和差角公式：sin（:工二 p） =sin = cos。二cos： sincos（、工二 p）二tg(: - -)=cos： cos : sin 二 sintg 二-tg1 二 tg: tg :,和差化积公式：0 + p 0 - psin， sin - =2sincos22日 a +p a - psin - - sin - =2cossin22数角a、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-t

5、g a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180 + a-sin a-cos atg actg a270 -a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 -a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a倍角公式：sin2： -2sin 二 cos：222 2cos2： - 2cos : -1 =1-2sin : - cos : -sin 二一一 2ctg : -1ctg2：2ctg：3sin3： =3sin： -4sin :3cos3二4cos : -3co

6、s：tg2：2tg：1 -tg 2atg3 =笺萨半角公式：1 -cos 二 sin 2 21 -cos：1 cos：sin ：tg - = =2 1 cos 二 sin :1 cos：正弦定理： =b =2=2r sin a sin b sin c余弦定理：c2 =a2 - b2 -2abcosc1 cos： cos2 ；21 cos 二 1 cos： sin ： ctg = = =21 - cos： sin：1 - cos：arctgx = - - arcctgx2反三角函数性质：arcsin x = - - arccos x2高阶导数公式莱布尼兹(leibniz )公式：n (n)k (

7、n ) (k)(uv)- cnu vk=s(n)(n 4.) - n(n -1) (n n(n -1) (n - k 1) (n) (k)(n)=u v nu v u v u v uv2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) - f (a) - f ( )(b -a)柯西中值定理：f(b) 一 f(a)=f-(- f(b) -f(a) f()当f(x)=x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds =寸1 +y%x,其中y = tg平均曲率：k=|华卜口：从m点到m 点，切线斜率的倾角变 化量；as： mm弧长。m点的曲率：则|丝| =悍|=.s 01sl

8、i ds i (1 y 2)3直线：k =0;，一 一一 1半径为a的圆：k =.b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ab定积分的近似计算:b -a,、(y。 yiynj)n b -a 1二2(y0 yn) y1 yn，抛物线法：f (x)ab -a(y0 yn) 2(y2 y4yn 4(y1 y3yn)3n定积分应用相关公式：功：w =f s水压力：f = p a引力：f=kmm2,k为引力系数 r、,_1b函数的平均值：y= f (x)dxb - a a均方根：1f2(t)dt,b-aa空间解析几何和向量代数：空间2电的距离：d em1m2i =- x)2 + (y2 -必)2 +%-

9、乙)2向量在轴上的投影：prjuab= ab cos味中是ab与u轴的夹角。pr ju(a a?) = pr ja pr ja2a b = a b cos日=axbx +avbv + azbz,是一个数量，x x y y zz，1两向量之间的夹角：cos。axbxavbvazbx x y y zax2ay2 - az2 丑2by2bz2ic = a x b = axxbxj k一ay az, c = a b sin日.例：线速度：v = wx r.by bz向量的混合积:abc:(a b) c 二axbxay az一by bz = a父b , c co出产为锐角时,cx代表平行六面体的体积平面

10、的方程：1、点法式:a(x-x0) b(y -y0) c(z-。)= 0,其中 n =a,b,c, m0(x0,y0,z)2、般方程：ax by cz d = 03、截距世方程：个丫 三=1平面外任意一点到该平ax0 by0 cz0 d面的距离：d0222,a2 b2 c2空间直线的方程:x - x0m匕比=0=t,其中s=m,n,p;参数方程：；x = x0 mt y = yo nt z = z0 pt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2 x2 a2 x2r.b22匕:2 一2 一1 c3、双曲面:2p 2q二 z,(p,q 同号)单叶双曲面:双叶双曲面:2222 工二 _12, 2 一 2

11、 ta b c222三工+j11(马鞍面)a b c多元函数微分法及应用全微分：dz = dx dy.x yu uu .du =dx dy dz.x；y.z全微分的近似计算：，z ：, dz = fx(x, y)；：x , fy(x,y)；：y 多元复合函数的求导法：z = fu(t),v(t)dz 二z 二 u二 z 二v 11-(-r tz = fu(x,y),v(x,y)dt：:u.z:v ft z :u:z fv当u =u(x,y), v=v(x, y)时,uu .du =dx dy:x.y隐函数的求导公式:,二v ,二 v ,dv =dx dy二x隐函数f(x,y) -0,隐函数 f

12、(x,y,z) =0,dy = _f dxfy：zfxjz1l，xfzd2y =jtz_fjl/fx. dy2 -()+()dx二 xfy二 y fy dx：zfy-yfz微分法在几何上的应用:x -空间曲线y = (t)在点m (x0,y0, zo)处的切线方程: z = (t)x - xoy -yo(z-zo (to)在点m处的法平面方程：中(t0)(x x0)十中(t0)(y y0)十8(t0)(z z0) =0若空间曲线方程为：f(x，y，z) =则切向量t. = fyfz ,fzfx,fxfyg(x,y,z)=0lgygzgzgxgxgy曲面 f (x, y,z) =0上一点 m (

13、x0, y0,zo),则：1、过此点的法向量：n =fx(x0, y0,z0), fy(x0,y0, ), fz(x0, y0,z)2、过此点的切平面方程:fx(x0,y0,z0)(xxo)+ fy(x0,y0,z0)(y y0)十 fz(x0,y0,z0)(z 。)=0方向导3、过此点的法线方程:x -xo _ y - yo _ z-z。fx(xo,yo,zo) fy(xo, yo,zo) fz(xo, yo,zo)数与梯度：函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：史=cos中+且sin中；:lfx fy其中中为x轴到方向l的转角。f开函数z= f (x,

14、y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf(x,y) = i +jx:yf匕与方向导致的关系是：一=grad f (x, y) e,其中e = cos中i +sin中j,为l方向上的 fl单位向量。开二一是gradf (x,y)在l上的投影。,:l多元函数的极值及其求法:设fx(x0,yo) = fy(xo,yo) =0，令：fxx(x0,yo) = a, fxy(xo, yo) =b,fyy(x0,yo) =cac -b2 a0时,则：ac -b2 0时,a0,(xo,yo )为极小值无极值ac -b2 =0日t不确定重积分及其应用:iif(x, y)dxdy = f (r cos i,r

15、 sin i)rdrd 二dd 曲面z=f (x, y)的面积 a =1 - i z -i zd . 故；:ydxdyxp(x,y)d。平面薄片的重心：x =m =-dm i | p(x, y)d 二dy：(x,y)d。dii :(x, y)d。d平面薄片的转动惯量：对于x轴ix = y2p(x, y)db, 对于y轴i y =x2p(x, y)d仃dd平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点m (0,0,a),(a 0)的引力：f =fx,fy,fz,其中:”(xy)xd 二d (x23，y2 a2产l ；(x, y)yd二fy - f i i3,d / 222x 2(x y a )2fz-f

16、a3d / 222、2(x y a )2柱面坐标和球面坐标:|x = r cos 二柱面坐标： y =r sin 8, jjj f (x, y, z)dxdydz =川 f(r ,8, z)rdrd 8dz, z = z g3j其中： f (r,，z) = f (r cos 二,r sin 二,z)|x = r sin : cos?球面坐标： y =r sin 中sin仇 dv = rd* rsin中 d dr = r2sin 中drd中d9 z = r cos 中2 二 二 r( ：,ti n f (x, y,z)dxdydz = f(r, , )r2sin drd d - d d : f

17、(r, ,)r2 sin drc-=000一、111重心： x x: dv, yy: dv, z z： dv,其中 m = x-: dvm m m 二、转动惯量：i x =(y2z2)pdv,i y =(x2z2)pdv,i z =(x2y2)：、dvqqq第一类曲线积分：第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f (x,y)在l上连续，l的参数方程为：x，(aetwp),则：j =中(t)x = ty =q：(t)pjf(x,y)ds = if 产(t)w(t)c(t)+w2(t)dt 伊 p)特殊情况:l：第二类曲线积分第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设l的参数方程为,x=*，则：y小

18、pp(x,y)dx q(x,y)dy = p ：(t); (t) (t) q ：(t)j 1(t)dtl：两类曲线积分之间的关 系：jpdx+qdy = j(pcos +qcosb)ds其中和p分别为 lll上积分起止点处切向量 的方向角。格林公式：(-q -)dxdy = - pdx qd册林公式：(-q -p)dxdy = pdx qdyd ：-x - yld 二x - ylq 二 p1当p = y,q=x,即：一=2时，得到 d的面积：a= 117dxdy = fxdyydx:x ；yd 2 l平面上曲线积分与路径无关的条件：1、g是一个单连通区域；2、p(x,y), q(x,y)在g内

19、具有一阶连续偏导数,且也=正。注意奇点，如(0,0),应 二 x二 y减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在毡=里时，pdx + qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：.x；y(x.y)u(x,y) = p(x, y)dx q(x, y)dy,通常设 x0 = yo = d(xpy。)曲面积分:对面积的曲面积分：jf (x,y,z)ds= 口 fx, y,z(x,y)、：1 + z2(x,y) +zj(x,y)dxdydxy,对坐标的曲面积分：p(x, y, z)dydz q(x, y,z)dzdx r(x, y,z)dxdy 其中：tjj r( x, y, z)

20、dxdy = j j rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；.二d xyjp(x, y, z)dydz = jpx(y,z), y,zdydz,取曲面的前侧时取正 号；、dyz“q(x,y,z)dzdx=jjqx,y(z,x),zdzdx 取曲面的右侧时取正 号。、dzx两类曲面积分之间的关 系：pdydz+qdzdx+rdxdy= j(pcosa +qcosp +rcosy)ds zz高斯公式：fp；:q；:r-iii(一)dv= : pdydz qdzdxrdxdy = (pcos ：，qcos:rcos )ds】fxy高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div j

21、= 9+q+空，即：单位体积内所产生的流体质量，若 divj0,则为消失:x ：y二 z通量：口a nds= jands= 口(pcos久 +qcosp + rcos?)ds, z z z因此，高斯公式又可写 成：fffdivadv =(口ands qz斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:/ r qp r()dydz (% :y；z；zrx上式左端又可写成：h zdzdxdxdycosotcospcosv_ rr3yczj jzexy在qrpqrdydz；x pq 二p)dzdx (- - 一)dxdy = . pdx qdy rdz :x fy空间曲线积分与路径无关的条件:r _ q

22、p _ r q = ) ) :yn :z :x:xi j k旋度：rota=二色水 火 在p q r向量场a有向闭曲线f的环流量：qpdx十qdy+rdz=4a tds fr常数项级数: 等比数列：1 q q2 qn=上旦1 -q等差数列：12-3 n =(n 1)n2调和级数:1)j 1是发散的 2 3 n级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判 别法）：p1时，级数发散 njpc工p=1时，不确定2、比值审敛法：:：二1时,级数收敛设：=1也un9则，p1时，级数发散f k p=1时，不确定3、定义法：sn =u1 +u2+十”；|里&存在，则收敛；否则发 散。交错级数u1 -u

23、2+u3 -u4+(或-u1 +u2-u3十，un a 0)的审敛法莱布尼兹定理:un 之 un 平一 如果交错级数满足j一:，那么级数收敛且其和swui,其余项rn的绝对值rn ulim un =0nt 二绝对收敛与条件收敛:u1 +u2+un+，其中un为任意实数；(2) ui +口2|+用|+|un +如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：1发散，而、江收敛； nn级数：、工收敛; n尔将1； p 1时发放p级数：% -4 :工必山n p . 1时收敛幕级数：23 n /x r时发散，其中r称为收敛半径。

24、=r时不定一， 1i - 0 时，r =-/pan书是(3)的系数，则：=0时,r=.二p = y时，r=0函数展开成幕级数：函数展开成泰勒级数：f (x)= f(x0)(x-x0)f (x0)(x -x0)2-一3(x-x0)n 2!n!(n 1)/余项：/= ； +；,(x-x0)n f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：%=0x0 =0时即为麦克劳林公式：f (x) = f(0) f (0)x -(0)x2-一(sxn2!n!一些函数展开成幕级数：(1 x)m =1 mxm(m -1) 2 m(m -1) (m - n 1)-x乙2!n!xn(-1 ： x ： 1)352n 1x xn j x sinx =x - (-1) 3!5!(2n -1)!（-二：x ：:二）欧拉公式:ix e =cosx i sinx.ix , jxe +e cosx =或2ixjxe -e sin x :2三角级数：f (t) = ao 八 an sin( n t n)二nq4a0 、二,、- (an cosnx bn sin nx)2 n 1其中， a。=aa0, an=ansin 中n，bn = an cos，6 t=x。正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2xsin nx,cosnxj任意两个不同项的乘积在_