1977年普通高等学校招生考试(江苏省)数学试题及答案

1、精品资源1977年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案111. (1)计算(21)2 +( 1 )n (314)0 +( 27产. 4108解：原式二99(2)求函数丫 = 一+, + 19(5-炒的定义域.x -3解：根据题意，得x-2 _0 x _25 -x 0 . x ： 5x-3=0 x=3故函数的定义域为2mx :二3和3 :二x :二5.(3)解方程5x2也x =125.解：原方程即二53,x2 2x = 3,x = -3, x =1.均为原方程的解.(4)计算-log3 log3年聘3 11触原式 j0g3(10g 3 3 27 )一孙(2710g33) -0g33=3(

2、5)把直角坐标方程(x-3)2+y2=9化为极坐标方程.解：原方程可展开为x2 -6x 9 y2 =9,x2 -6x y2 : 0,p2 - 6 ;?cos - 0,p = 0或 p = 6 cos 1 即：；=6 cos(6)计算nm解:n(n 1) 原式二nmikn 1二 lim二n 二 2n(7)分解因式 x4 -2x2y -3y2+8y4.解：原式=(x2 -y2)2 -(2y -2)2= (x2 y 2y 2)(x2 -y -2y 2) 22二 (x2 y -2)(x2 -3y 2).3.过抛物线y2 =4x的焦点作倾斜角为0 n的直线，它与抛物线相交于4a、b两点.求a、b两点间的

3、距离.解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1, 0)所作直线方程为y =tg (x 1)或y =1 -x,它与抛物线之二交点坐标由下面方程组4确定y =1 -x 口 22j 2 解得(1 -x)2 = 4x, x2 6x+1 =0,y =4x由根与系数关系，得x1 +x2=6, x 1x2=1.又解得 y2 = 4(1 y), y2 4y 4 = 0,y1+y2=-4,y 佻=-4.由两点间距离公式d =)2 (y f)2但(x1 - x2)2 = (x1 x2 )2 - 4x1 x2 = 36 - 4 = 32, 22(% 72)2 =(y y，丫也=16 16 = 32,d = .32 32

4、 = 8故ab两点间距离为&3.在直角三角形 abc中，/acb=90, cd ce分别为斜边ab上的高和中线，且/ bcdw/ac应比为3:1 ,求证cd=de证：/ a+/ acdm a+/ b=9。， / acdm b又 ce是直角 abc的斜边ab上的中线.ce=eb/b=/ ecb /acdm ecb但./ bcd=3acd/ ecd=2 acd/acb2=1x 900=450,2 ed四等腰直角三角形.ce=de4.在周长为300cm勺圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动.甲球从a自出发按逆时针方向运动，乙球从b点出发按顺时针方向运动，两球相遇于04*相遇后，两球各自

5、反方向作匀速圆周运动，八八八但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一 半，以后他们第二次相遇于 d此已知amc=4厘米，bnd=20h米，求acb的长度.解：如图设bc=x厘米.甲球速度为v甲，乙球速度为v乙.根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程40 x v甲 x=或二.v甲 v乙 比 40第二次等候时方程300 -20-x = x +20或 v乙= 4(x +20) 2v甲1 一 v甲 280 一 xv乙由此可得4r希言(x -40)(x -80)= 0.由于已知条件v甲? v乙，.x#40,八x=80 （厘米）acb=40+80=120 厘米）5

6、 . （1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为600证：设三角形三内角分别为a-d,ot,o（+d,则有（二 -d）七:（ d） =180 ,3:=180,二二60 .（2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为 60,今设其对边为a,则三角形的三边分别为-,a,aq （此处q为公比，且q 0 ） q由余弦定理可得a2 =(a)2 (aq)2 -2 a cos60 , qq1q2 2；,q21 2=2 q2 =0,q（1 -q）2 =0,1 =q q2 =1, qqq =1,q = t （不合题意，舍去）由q=

7、1可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为600.6 .在两条平行的直线ab和cd上分别取定一点m和n,在直线ab上取一定线段mea在线段mnb取一点k,连结ek并延长交cd于f试问k取在哪里 emkfzfnk勺面积之和最小？最小值是多少?解：过点k作两条平行直线的公垂线 pqp m e设 pq= , mnm ,令 pk=x,贝u kq=x.em afnik.me mk 二 .nf nk又mk 十nkq.mk kp 二nk kq于是得到me二世， nf kqme kq a(l -x) nf.kpx从而 emkf fnk勺面积之和为a(l -x)xa |x + (l -x)2 i21 x 一a 2x2 -2lx l22 xl2=a (x -1)2x= a .|(vx=)2 +(j5 -1)1i ：2x12二当yx -；= = （s寸，也即x = -1时,a有取小值（“,2 -1）a1.* =出1表示点k到直线ab的距离为 *倍的pq从而点k到m的距 22离也为mn勺“,倍，即km= mn.附加题1 求极限 lim jx( jx +1 _ vx). n解：原式=limj 二二.x(. x 1 一 x)(. x 1. x).1: lim _n，二11 x 12求不定积分母.解：令 1ex =t,贝u dt = ex