1956年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1、精品资源1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1 .甲、利用对数性质计算lg 2 5+lg2 lg50.解：原式=lg2 5+lg2(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1.乙、设m是实数，求证方程2x2-(4m-1)x-m 2-m=0的两根必定都是 实数.证：二次方程当其判别式不小于零时，它的两根为实数由：=-(4m-1)2 -4 2 (m2 m) =24m2 1.丫 m2至0,二 a0.故原方程的两根均为实数.丙、设m是4abc勺边ac的中点，过m作直线交ab于e,过b作直线平行于m或ac于f.求证 aef的面积等于 abc的面积的一半.证：连mb则 aef

2、的面积= aem勺面积+zmef&勺面积=4aem勺面积+/xmeb勺面积=zabm勺面积=1 abc的面积(三角形的中线bm二等分 abc的面积)丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及7尺,求这个三角形 的最大角的度数.解：该三角形的最大边长为37 ,所以它所对的角最大，设此角为小，由余弦定理可得cos -3242 -( 37)22 3 4欢下载:-180 -60 =120 .戊、设tg和tgp是方程x2 +6x + 7 = 0的两根.求证：sin(、：.i) =cos(、:.i)证：由根与系数关系可知:tgct +tgp = -6,tgatgp=7.因 tg (工-l ：,)tg，工 tg

3、 ：1 -tg：tg 1二1.sin(:工 t 1) = cos(:工 t)2 .解方程组j7vx + y -x - y = 12(1)22 _/ +y =136 (2)解：由式可得(x + y) -7x+ y +12 = 0, (.x y -3)( .x y -4) = 0.由此可得，x , y -3 = 0, x - y = 9, y = 9 -x(3),x y - 4 = 0, x y = 16, y = 16 - x(4)将(3)代入(2)得 x2 +(9 -x)2 =136，即2x2 18x55 = 09 .1919 191x = c,y = c22将(4)代入(2)得x2 +(16

4、 x) 2 =136，即2x2 32x+120 = 0,x =6,10, y =10,6.x3 =6, x4 = 10, y3 = 10;、y4 =6.9+j1919-19?x1=,x2= 综上，其解为229 - .1919.191y1 -经检验，这四组解均为原方程组的解.3 .设p为等边 abc#接圆的bc上的一点，求证：pa=ab+pbpc证：在4ab所口mdb中，/baph da斯公用角，又/ apbh acbw abd=60 ab% aadbab2=pa ad(1)同理可证4 bpd aap(c pb papb =s, pb- pc=pa pd ( 2)pd pc(1)、(2)式左、右

5、两边分别相加，则得a目+pb pc=pa(ad+pd =pa, .pa=ab+pb pc4 .有一个四棱柱，底面是菱形 abcd / a，ab=/ a ad （如图）.求证：平面a acc垂直于底面abcd证：设底面是菱形abcd勺对角线相交于o,联结a d, a q a b在a ab与aa，ad中，,: a a=a a, an ab=z a ad, ab=aq匕 a a* a a7 ar ak b=a d, a，bd为等腰三角形又丁。为db的中点，a o db由菱形性质，dblag.db垂直于底面a acc但底面abc奥经过db的 故平面a acc垂直于底面abcd5.若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是60,试证明之.证（1,）设 abc的三个角为a b、c,由题意可得b-a=c-b, .2b=a+c但 a+b+c=18 即 3b=18“ b=6d.证（2）,由（1）已知ab3、有一个角为600,今设/ b=600.abc勺三边a,b,c成等比级数，二 b2 =ac又由余弦定理可得 b2 =a2 c2 -2accosb,b2 = a2