线性代数与解析几何试题(附解析)-中国科技大学

1、精选文档可编辑o中国科学技术大学2005 2006学年第2学期考试试卷2.（15分）设n阶实方阵an21 o12t1,求 det an 和 a4 。1o12考试科目：线性代数 得分：学生所在系：姓名:学号:一、判断题（30分，每小题6分）。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。a a a b a c1 .三维空间向量a,b,c共面的充要条件是det b a b b b c 0。c a c b c c2 .设a为n阶实正交方阵，i为n阶单位阵，则a 2i为可逆方阵。3 .设m n阶非零实矩阵a和b满足ab 0 ,则a的行向量线性相关，并且b的行向量也线性相关。4 .设mn（r）是n阶实方阵全体按

2、矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则满足tra 0的n阶实方阵a的全体构成mn（r）的子空间。a5 .设a,b为万阵，且是实正定对称方阵，则a,b也是实正定对称方阵。b二、计算题（62分）。1. （15分）a,b为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。3. （17分）设v是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积（x,y） trxy后,v成为一个欧氏空间。现定义 v上的变换a:x x x。（1）证明：a是一个线性变换；求a在基10 , 01 , 0 0 , 00下的表示矩阵；求a的00001 0 01所有特征值与特征向量；（4）求v的一组标准正交基，使得 a在此基下的

3、表示矩阵 为对角阵。4. （15分）通过正交变换化二次型f（x, y, z） （x y）2 （y z）2 （z x）2为标准形；并判断三维欧氏空间中的曲面（x y）2 （y z）2 （z x）2 3是哪一类曲面。三、证明题（8分）。以下两小题任选一题1.设a rmn, b rnm, i是n阶单位方阵。证明:a(1) ranki(2) rank(ab)2.n rank(ab)。rank( a) rank(b) n 。ir设实对称方阵a满足a a3,证明：a正交相似于对角形xix2x3x4x513x12x2x3x43x5 ax22x32x46x535x14x23x33x4x5 b参考答案及评分标准

4、1， n n（3分）、判断题（30分，每小题6分，判断命题是否正确2分，说明理由4分。）1.正确。a,b, c共面使得xayb zc 0有非零解（xaybzc）（xaybzc） 0det a或经初等变换,（3分）求得a4141 35 213 26 44 62 31234（3分）a a有非零解b axy0有非零解zadet b3.（17 分）（da保持向量的加法和数乘。（3分）（把a,b,c当作数组向量,扣2分）（2）由基的象得a2的表示矩阵a（4分）2.正确。（a 2i ）x 0 ax2x xaax 4xx xx 0（3）所有特征值为2、 2、 2、 03 .正确。b有非零列向量a 0 a的行

5、向量线性相关。分）a有非零列向量b的行向量线性相关。所有特征向量分别为2阶非零对称实方阵”和“ 2阶非零反对称实方阵”（3分）4.正确。集合关于加法、数乘封闭（没有考虑特征值重数，扣2分；没有考虑特征向量非零，扣 2分）一一.a 、 一5.正确。正止对称 xbx ax 0, x 0; y by 0,、计算题（共62分）x一一一0, x,y不全为零b y100400 0=0 0,i 20t120（4分）a,b正定对称。（基向量没有标准化，扣2分;基向量没有写成2阶方阵形式，扣1分）1.（15分）写出方程组的矩阵形式或增广矩阵130512141123112313611a3 b（3分）对其作初等行变换1 00 10 00 012001200560023ab 2（6分）0,b2时，方程组有解。（3分）通解xix2x3 x4 5x522x3 2x4 6x5 3（3分）2.令ndet an,则有 n 2 n1（4分）2, 23,（2分）4.（15分）二次型的表示矩阵a的特征值为a的特征向量曲面为圆柱面三、证明题（8分）1.（1） rank（3分）3、3、（3分）（3分）22得 f （x, y,z） 3u 3v（3分）（回答椭圆柱面，扣以下两小题任选一题。0 rankiabb1分）rankab n rank（ab）（3分）（4分）a 0（2） ran