高等数学分类练习题-副本

1、6、当x0时,x21 cos(e7、右x0时,1(1 ax2)48.当x0时,n tan xx与e6、当x0时,阶的无穷小，则10、设f(x)11、f (x)12、f(x)13、14、16.17、18。极限与连续1)与xn(n 0)是同阶无穷小，则 n=1与xsin x是等价无穷小，则 a =sin xe是同阶无穷小，则 n= 3-4(1 cosx)ln(1 x2)是比xsin xn高阶的无穷小，而xsin xn是比n=2(i,3)a ln(1 2x)1 x . 12,sin bx0 x 0在处连续，则a，bln(1 2x),x2 nx1 x x e limn- n 1 e2xlimx 1 x

2、 1(a) 2设 f(x)(a)(c)2ex 1高(b) 00处连续，则a=-2则f(x)在x 0处间断,其类型是(c)(d)不存在但也不为第一类 间断点。1 ex-1ex%ctan。 x连续点可去间断点一，1函数f x 1lim xsinx-xx2 1的间断点lim ln 1 2x ln 1x0是f(x)的(b)第一类(非可去)间断点(d)第二类间断点x 0是第类间断点.3ln219、jm (sin x 1 sin x)220、极限 lim1 ln(1x) =x 01、tan x-221、lim (sin x) =ex _211cc r / ln(1 x2)222、lim (cosx)=ex

3、 023、讨论函数f(x)(x 2)sin xx(x2 4)的连续性，并判定其间断点的类型。导数定义1、设f(x)为不恒等于零的奇函数，且(0)存在,则函数g(x)f (x)(d )2、设3、设4、设(a)(c)f(x)(a)-x在-x在处左极限不存在处左极限不存在x 2 g(x),且 g(x)在 xg(2)(b)g(2)f (x) = lim n.1x(a)(c)f(x)3n则f(x)在(处处可导恰有两个不可导点1x cos, x0,5、设函数f (x)(b)(d)2处连续,(b)(d)有跳跃间断点有可去间断点g(2)0,(c)内(0,其导函数在0(x),其中(x)在 xx00f (2) d

4、 (d)不存在恰有一个不可导点至少有三个不可导点0.-处连续，则入的取值范围是 2_。1处连续，则(1)0是f(x)在x 1处可导的(a(a)(c)充分必要条件充分但非必要条件(b)(d)必要但非充分条件既非充分也非必要条件6、设函数f (x)xe ,ax2 bxc,x(0)存在，试确定常数a,b,c1a ,b c2、-一 27、设 f(x) 3x,则使f(n) (0)存在的最高阶导数的阶数n为()(a) 0(b) 1(c) 2(d) 38、已知函数f在x 0的某个邻域内连续,d f(0) 0, lim f(x)1,则 f 在 x 0处x 01 cos x(a)不可导(b)可导且f (0)0(

5、c)取得极大值(d)取得极小值9、设函数n n、ln(e x ) ,f (x) = lim (xn n0)f(x)1,0 x eln x, x e(1)求f(x)的表达式；(2)讨论f (x)的连续性和可导性。导数计算1、若 y ef(sinx2) (tanx)x,其中 f 可导，则 dy = dx2、设 yf (cos2 x) tan x2,其中 f 可导，贝u dy =dx3、 yln 1 e x xsin x ,求 y ()4、设函数yy(x)由方程 sin(xy)xye1所确定，贝u dy =5、设函数y(x)是由方程xxesin y20确定的隐函数，求dyex? x) dx2 x y

6、2 y cos y xe y6、设函数y(x)是由方程f (xy)确定的隐函数，f二阶可导，求y7、tet t,求 d-y dx28、t2arctantd2y dx29、设 f(x)10、设 f (x)2x sin 2x ,则x2 ln(1 x),f(20)(-)=20 219 。2当 n 2时，f (0)= n(n 1)(n 3!或_!_n 211。设 f (x)1x(1 2x)(n)f (x)-2一， - (10)12、设 f(x) x cosx ,贝u f (0) 13、已知 f (x) ln(1 x),则 f (0) 二14、设函数y y(x)由参数方程x t 2t，、确定，则曲线y

7、y(x)在x 3处的法线与x y ln(1 t)轴交点的横坐标是(1(a) 11n2 38(b)1-1n2 38(c) 81n2 3(d) 81n2 315.设函数y y x是由方程y2yexy2所确定的隐函数,求曲线y y x在点0,2处的切线方程.16、已知曲线的极坐标方程是rcos ,求该曲线上对应于处的切线与法线的直6角坐标方程。见p78,k 1,切线：y4y -x 2317、空摄影。试求飞机飞到该目标正上方时，摄影机转动的角速度。飞机在离地面 2km的高度，以200km/h的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航6m/s,问 218、落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径

8、的增大率总是 秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？2dadrdaardt2 r, r dt6 2,贝u 144 dt微分1、函数yf(x)在点x0处可导，且(xo) 2 ,则当 x 0 时，dy 是b (a)与x等价的无穷小 (c)比x低阶的无穷小(b)与x同阶但非等价的无穷小 (d)比x高阶的无穷小2、若f (x) 0,当 x 0 时,y是关于dy的( c )。(a)高阶无穷小 (b)低阶无穷小 (c)同阶无穷小 (d)等价无穷小3、设y (1 sinx)x,则 dyxdx4、函数y y(x)由2yx (x y)ln(xy)确定，贝u dy2 1mx y)dx3 ln(x y)5、设函数f

9、(u)可导，yf (x2)当自变量1处取得增量 x 0.1时，相应的函数增量y的线性主部为0.1,则 f (1) =(a) -1(b) 0.1(c)(d)0.51、设f(x)在0,1上二阶可导，且中值定理f (0) f0，试证至少存在一个(0,1)，使得()卢2、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (1) 0 ,证明：至少存在一点(0,1)，使3f( ) f ( ) 03、设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且ab 0,证明： ，(a,b),使得 f ( ) a-ab b f ()3 24.设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内 二 阶可 导，且 f (a) f

10、 (c) f (b)0,其中 c (a, b),证明：(1)至少存在两个不同的点1,2 (a, b),使f ( i) f( i)0, i 1,2.(2)存在 (a,b),使 f ( ) f().5、已知函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) 0, f (1) 1 ,证明：(1)存在 (0,1)，使 f ( ) 1；(2)存在两个不同的点，(0,1),使f ( )f ( ) 1零点定理;在0,和,1上分别使用l th,并利用的结果6、设函数y f (x)在(0,)内有界且可导，则(b )(a)当 lim f (x) 0时，必有 lim f (x) 0 xx(b)当 lim

11、 f (x)存在时，必有 lim f (x) 0 xx(c)当 lim f(x) 0 时，必有 lim f (x) 0(d)当 lim f (x)存在时，必有 lim f (x) 07、以下四个命题中，正确的是( c(a)f (x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界;(b)f(x)在(0,1)内连续，则f (x)在(0,1)内有界;f (x)在(0,1)内有界，则f (x)在(0,1)内有界;(d)f (x)在(0,1)内有界，则f (x)在(0,1)内有界。8. f(x)在a,b上有定义,在(a,b)内可导,则(f(a)f(b) 0时,(a,b),使 f( ) 0；(b)(a,

12、b),有 limf(x) f( ) 0;x(c)f(a) f(b)时， (a,b),使 f ( ) 0 ;(d)(a,b),使 f(b) f(a) f ( )(b a).9、函数x .f (x) xe在x 1处的甲lagrange余项的三阶 talor公式为3e 2 4e 3 e (4)4-f (x) e 2e(x 1) 一(x 1)2 一 (x 1)3()(x 1)42!3!4!10、函数 f (x) xln x在 x01处的带lagrange余项一阶talor公式为11、函数f (x) x ln x 在 x01处的三阶带拉格郎日余项的泰勒公式为12、 y2x的麦克劳林公式中xn项的系数是l

13、n n 2n!l hospital 法则1、当xk0时，x sinxcosx与cx 为等价无否小，则 c=2、当x0 时，(x) kx2 与(x) v1 xarcsiix jcos(是等价无穷小，则 kocos2x cos3x3、设 f(x)2xa,x 0 ,则当a =0时，f (x)在x 0处连续。 xln(1 x)4、 lim x 0 j x2 cosx15、lim (x2 ex2)而xx 06、limtan(xx 0cot 2x4)7、 lim cotxx 01sin x1sinx2x sinln(1 x)9、求！im(导数应用1、函数f(x)2xln(1x)在区间(1,2)内单调减少。

14、2、方程5x 2x 1)内恰有a 3、函数(a) 一个实根x f (x) ln x 一 e(b)二个实根(c)三个实根(d)五个实根(a) 04、当a取下列哪个值时,(a) 25、设对 x(,0)内(a)f (x)0,(c)f (x)0,1 在(0,(b) 1函数f(x)(b) 4)内的零点个数为(c) 2(d) 3有 f (x)(x) 0(x) 02x3 9x212xa恰有两个不同的零点。(c)(d) 8f( x),且在(0,)内,f (x) 0, f (x)(b) f (x) 0, f (x)(d) f (x) 0, f (x)0则在6、设函数f (x)在()内连续，其导函数的图形如图所示

15、，则 f(x)有(c )(a) 一个极小值点和两个极大值点; (b)两个极小值点和一个极大值点; (c)两个极小值点和两个极大值点; (d)三个极小值点和一个极大值点。7.设函数f (x)y f(x)的性函数y f (x)y f (x)yo(a)8、设f (x) xsin xf (万)是极小值;f (万)是极大值;(a)f (0)是极大值,(b)f (0)是极小值,(c)f(0)是极大值,“万)也是极大值;(d)f(0)是极小值,f (石)也是极小值。9、求证：当x0时,3x -sin x610、试证：当x1时,(1x) ln(1x)11.设 0 ab,求证lnb a12、试确定方程x 2e

16、ax (a0)的根的个数,并指出每一根所在的范围。213、试就a的不同取值，讨论方程(x a)32 a的实根的个数。14、讨论曲线y 4ln x k 与 y 4x ln 4 x的交点个数。15.试证:(1)e ,方程xln x u在x e时存在唯一的实根 x(u)；时,是无穷小量，且是与等价的无穷小量。x(u)u16、在椭圆2 y b21(a b 0上求一点p(x,y),使得它与另外两点 a(2a,0) , b(0,2b)构成的三角形apb的面积最小。17、求曲线y2x (0 x 8)的切线，使切线与直线y 0及x 8所围成的图形的面积最大。21t2、设切线 y t 2t(x t)(0 t 8

17、),面积 s -(8 -)(16tt )220 t16或16(舍弃)，且s ()0,故t竺时s最大33318、设某银行中的总存款量与银行付给储户年利率的平方成正比。若银行以20%的年利率把总存款的90%贷出，问银行给储户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？x219、设曲线y 2x2(a)没有渐近线(b)仅有水平渐近线(c)仅有垂直渐近线(d)既有水平渐近线，又有垂直渐近线3(1 x)220、曲线y (厂)的斜渐近线方程为 。x121、曲线 y xex(a)仅有水平渐近线(b)仅有铅直渐近线(c)既有铅直又有水平渐近线(d)既有铅直又有斜渐近线22、求曲线yxarctanx的斜渐近线方程1 2

18、123. 曲线 y ex2 arctan 的渐近线共有x 1 x 2(a) 1 条 (b) 2 条 (c) 3 条 (d) 4 条15.解(1)设 f (x) xln x u , f (e) e u 0 , f (u) u in u u 0f (x) 1 lnx 0, f(x)严格单增，所以方程(2)1 e x(u) u ,0x(u)in x(u) ux(u)u in u in in u1 uin u in ux(u) in uin u1c八0,u,iim0 (2 分)uux(u)in x(u) in u1 , iimin u in in u , 1in u in uuin uxln x u存

19、在唯一实根x(u) o (3分)lim 1 (2 分)u x(u) in u练习题二不定积分1、设函数f(x)的导函数为sin2x,则f(x)的原函数为 2.已知f(x)的一个原函数是 sin2x,则xf (x)dx3.4.6.(a)(c)已知f2xsin2x2xcos2xcos2xsin2xc；c ;(b)(d)2xsin2x cos2x c ； xsin2x cos2x c。_ f(x)一 一右-dx arctanx c,则 f (x) dxx的一个原函数，且f xc.)ln x(x 1)2dx.1 .(=ln x ln xx 1ln x 12.7. x ln(1 x)dx38. x dx

20、1 . x2 11 31 r 1 3 1 2(-x ln(1 x) -x -x x lnx 1 c) 33 323(1(x2 1户 1x2 c2)。32sin 2x ,9、- dx9 sin x、 arctan x11.3dx(1 x2)210、(令 xtan t) (11)2xe dxx xe e 21 arctan x0(1 x2)2dx3512.xsin x , dx.5 cos x变上限定积分2x2 11、函数f(x) x2 o tjdt的单增区间为 1(0,)一，但减区间为 八#x2 t 4 ，一、，2、若f(x) c fdt,则f(x)的单增区间为 ，单减区间为 (，2),(0,2

21、)_ 0 t3 23、设函数f(x)连续，在x 0处可导，且f (0) 0, f (0) 3,若函数xf (t) sin5t 出f(x) 2,x 0,在 x 0处连续，则 a=xa, x 0sinx ； sin xo4、若当x 0时，无穷小量f(x) 0(et1)dt与g(x) ln(1 x3)等价，则6、设函数y y(x)是由方程x ye t2dt x确定，则x 0( c )1 dx x 0(a) e 1 ；(b) 1 e；(c) e 1 ；(d) 2e。x sin t 7.设 f xj1 u4du dt,贝u f 01 .018.设函数f x2x dt0,则当x 3归 时,取得最大值.一1

22、49、设 f(x)x2 ,0 x 1x，记 f(x) f(t)dt(0 x 2),则 f(x)等于2 x,1 x 2o - ，(a)3土 ,0 x322 xx_,12(b)10.求 m0xln cost0t2 dt(c)2x2 x d t,1 x113 x333二,0 x322x 二,12.求 limx 0(d)3x,0322x 乙,12x t2 0(et1)dtx2 sinx13).x, (x12.求 limx 0ln 3 )o22 t)ln(3 t2)dt13.设f(x)连续，在x 0可导，且f(0)x0, f (0) 4,求 lim 0 x 00(t t f (u)du)dt3chx s

23、inxx2(13)设f(x)连续，在x0可导，且f (0)0, f (0)0,求 lxm0f(t)dtx(1)f(t)dtx ln(1 t2)14.设y41du0u2 1求出dxd2y dx2d2y dx2t24t卜五、设函数f (x)连续,且满足x0tf (2xt)dt已知f(1)21 f(x)dx 的10 f (tx)dt,值。(1 e1)匕不设f (x)连续，且(1)求 (x) ； (2)讨论 (x)在x 0处的连续性十七.设f (x)可导，其反函数为 g(x)，若f(x)、g(x)满足关系式f (x)x tdtg(t)dt且 f(0)求 f(1)。00e e4令 xnf(n),( n

24、1,2,),证明：数列 xn收敛。(arctane)。x11213.15、17.计算定积分4.5.1 x32 dx.0.1 x210 f (x)dx ,其中f(x)2 5.23 12dt1一t316.14.4 1 sin x1dx ； (=2)0xcos2xcos4xdx 2 3x3e02dx.18dxcosx19 设 f (x)1 xxxe2,x,x01f (2x1)dx(=)十八、设f(x)在1,)上连续，且满足关系式 f(x) 1计算反常积分19、1arctan x , 2- dxx20.dxx2 4x 8设 f(x) 、 g(x)在a,a上连续,f (x)满足条件f (x) f( x)

25、 a (a 为常数)，g(x)为偶函数,1、证明 f(x)g(x)dx a g(x)dx ；a02.计算sin x arctan exdx。()二十三、设函数 “*)在a, a上有连续的二阶导数，且f(0) 0。证明：至少存在一点/上口 a a3 a,a,使得 f (x)dx f ()。 a3十四、设f （x）在a,b上连续f（x）在（a,b）内二阶可导f(a) f(b)0,ba f(x)dx0。证明：至少存在一点(a,b)，使得 f ()f()。定积分应用1、设在区间a, b 上，f(x) 0 , f (x) 0f (x) 0siba f (x)dx ,s2f(a)(b a)1f(a)f （

26、b）,则必有(a) s1s2s3(b) s2sis3(c)s3sis2(d)s2s3si2、圆r应sin与双纽线2r cos2 (0）所围成的平面图形的面积可表示为（2(a)02( . cos2.2sin )2d(b)02 (cos2 2sin2 )d ；五、（8分）设平面图形d由x2 y2 2x与y x所确定，试求d绕直线x 2旋转一周所 生成的旋转体的体积。六、（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线c： x 5t2 t与x轴所围成，试求其质量m。y t2 2t7 .（7分）试在曲线l： y ex位于第二象限的部分上求一点p（x,y）,使过该点的切线与曲线l、y轴以及直线x a （a为切线与

27、x轴交点的横坐标）所围成的面积最小。2 e 2(所求的点为p( jt, e e )。,e8 .(8分)在区间1,e上求一点 ，使得图中所示阴影部分绕x轴旋转所得旋转体的体积最小.微分方程1.微分方程xy ylny满足条件yx1 e的特解为3、二阶线性常系数齐次方程的一个特解为y 3excoi2x,则该方程为y 2y 5y 02x5.被分方程y y 2y xe 的一个特解形式为 y2 2x 2x 2x 2x(a) ax b x e (b) axe (c) ax be (d) ax b xe7 .求方程(x3 y3)dx 3xy2dy 0 满足条件 yx1 1 的特解。y3 -(x3 x)28 .

28、求微分方程2xydy (x2 2y2)dx 0的通解. 、一 _2一、一.9、求万程2y(x 1)dy (y x)dx的通解。10、求微分方程yy (y )2 0满足初始条件y x 0 1, y|x 0 1的特解.(所求特解为y2 2x 1)。(有简单法)xf(x) -sinx21 x、2e)12.设f(x)具有二阶连续导数，且满足关系式f (x) o f(x t)dt ex,-1(通斛为 y c1 cosx c2sinx -e122,4 11 x15、已知当 x1 时，f(x)满足f (x) f(x) 一 f(t)dt 0,且 f(0) 1,x 1 0(1)求f (x)；(2) 证明当x0

29、时,exf(x) 1.其它、填空题11. lim (ex x)7x 02 .若 y arctan - ef2(cosx),其中 f 可导，则也 .xdx13 .设f(x) x sin-，x 0 ( n )，若导函数f (x)在x 0处连续，则 的取值范围是_0, x 04 .曲线y xe x的拐点是15 .函数f x的间断点是第 类间断点.1 |x6、27、设y y(x)由方程y f(x y)确定，其中f二阶可导，且f 1 ,则u f (x v)23dx 1 f (x y)8.若 y _x_,则 y(10)(0)10! q2 x/9、曲线x2y 3exy 0在x 0所对应点处的切线方程为 10

30、 . lim (1 tanx)3cotx 。x 011 .曲线y e2x上点 处的切线通过原点(0,0)。12 .若 y (x 1严 2x,则 y o16.曲线121y ex2 arctan-的渐近线共有x 1 x 2(a) 1 条(b) 2条 (c) 3条 (d) 417.设 yf(x)是x的三次多项式,其图象关于原点对称，当f (x)有极小值(a) f(x), 3 ，一4x x； (b)f(x) 3 人 ，一、4x 3x； (c) f(x)5x3f (x) 5x18.设 f (x)2 t(x 2)严 -t(tl)teax11a， ，若 f(x)在()连续，则常数(a)75；(b) 4;(c

31、)-；(d)20.曲线y 4(x 1)2(x 2)2的拐点个数是(a) 3;(b) 2;(c) 1；(d) 0。21、设 f (x)连续，且 limq(xe 12xf(x)x3,(a) f(0)1f (0)(c) f(0) 1,(0)5252(b)(d)f(0)f(0)f (0)f (0)525223.若 lim (vx2 x 1 ax b) x0,a 1(a),1 ；b2三、计算下列各题(c)26 分 x 5=30 分)11；2(d)x x 6a a2 y1、lim( 1 2)xx 02(a1q a20)2、设函数 y y x是由方程22 xyx y ye2所确定的隐函数，求曲线y y x在

32、点0,2处的切线方程.多元微分学3、设方程、填空题1、设函数 z (sin x) cosy ,则 dz=cosy(sin x)cosy 1 cosxdx (sin x)cosy insin xgsin ydy。2、设 z z(x, y)由方程 x2 2xyz ez e 1 确定，贝u dz(1,0)x7一 in - 确te了一个二兀隐函数z=z(x,y),则d zzy4、已知u32.33x y z ,其中 z z(x, y)是由 x y3xyz 0所确定的隐函数。(1,1,0)5.由方程xyz xx2 y2 z2j2所确定的函数z(x, y)在点(1,0, 1)处的全微分dzdx .2dy6、

33、设函数z z(x, y)由方程xy y z ez所确定，则(0,1)二、单项选择题4、若曲面2y上点p处的切平面平行于平面2z坐标为(a)31)(4,4,81 1 311(；,4,7)(c)(4,1 314, 8(d)1 314,_8)8.曲线(a) y 0(b)x 0(c)z 0(d) x6 . 一6在点(1, 2,1)处的切线必定平行于平面三、计算题2x1、设z 2yf ( ,3y),其中f具有二阶连续偏导数，求 yx2zx 4xf1；zxy4x( f113f12)y22、设z f(3x y,ycosx),其中f具有二阶连续偏导数，求 , 一z y y xzyf1 cosxf2;zyx (

34、3f11 ysin xf12) sin xf 2 cos x(3f21 y sin xf22)3、设 z yf ( , x yy)，求 x y4、求曲线2x27.1、3、4.5、7在点(1,1, 2)处的切线方程。2x y 2z 7 或 _x_j _y_j z 2x y z 4101由问题的实际意义知原点到曲面存在最短距离，故d1min 22xf (xy,exy),其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求 二及-0 x y x2 z2xf1 (2x2 x xyx y)e f2x2yfnc 2xy r2x ye f122 2xyx ye f22x y多元函数积分学、填空题2交换积分次序 0 dx4 x2f(x, y)dy交换二次积分的积分次序改变积分次序1 x0dx 0f(x, y)dy1二次积分 o dy10sin x dx的值等于y二、单项选择题2、d是x y 1所围成的区域3、(1x y)dxdy= (id)(a) 4 (1 x y)dxdydi设d是xoy 平面上以(1,1),在第一象限的部分,(a) 2 sind1则sin y3(sind33 .y cosx dxdyo12 y2理y22 x1dx 0 f(x, y)dy12 y0dy y2 f(x, y)dy .1-(1 cosl)2(b)