八年级数学一元二次方程所有内容

1、第2章一元二次方程 目录 2.1 一兀二次方程（1） 2 2.1 一元二次方程（2） 4 2.2 一元二次方程的解法（1） 6 2.2 一元二次方程和解法（2） 8 2.2 一元二次方程的解法（3） 10 2.3 一元二次方程的应用（2） 14 2.1 一元二次方程（1） 1教学目标 1、经历一元二次方程概念的发生过程。 2、理解一元二次方程的概念。 3、了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数，一次项系数 及常数项。 1教学重点与难点 教学重点：一元二次方程的概念，包括一般形式。 教学难点：例1第4题计算容易产生差错，是本节教学的难点。 1教学过程 -、合作学习 1、 列出

2、下列问题中关于未知数x的方程 正方形的面积为 80,边长为 x，则可列出方程 。 某村的粮食年产量，在两年内从60万千克增长到72万千克，问平均每年增长的百分 率是多少？设年平均增长率为 x,则可列出方程 。 二、引入新课 观察方程x2=80 和60 1 X 2 =72 两边都是整式，只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2次，我们把这样的方程 叫做一元二次方程，能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或 根） 一 1 2 练一练：1、判断下列方程是否为一元二次方程：2 （3x+2） =x2 3 1 +x+3=0 x2-2y-5=0 2x2 = 3x 5x2 = 0 x

3、2、 判断未知数的值 X-1、x=o、x=2是否是方程X2 - 2 = x的根。 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 ax2 bx 0 a = 0的形式， 我们把形如ax2 bx 0 （ a、b、c为常数，a = 0 ）称为一元二次方程的一般 形式，其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项。a、b分别称为二次项 系数和一次项系数。 思考：为什么a=0，b、c可以为零吗？ 三、范例讲解： 例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数 和常数项。 (x 3)(x -4) = 6 (2x -1)(3x2) =x22 (x 1)2 -2(x-1)

4、2 =6x-5 3x2 = 5x 2 解：移项，整理，得 这个二次项系数为3, 移项，整理，得 这个二次项系数为5, 移项，整理，得 这个二次项系数为1, 移项，整理，得 这个二次项系数为 -1, 3x? 一 5x 一 2 = 0 一次项系数为一 5，常数项为- 2。 5x2 x 一4 = 0 一次项系数为1，常数项为- 4。 x2 一 x 一 6 = 0 -次项系数为-1，常数项为- 6。 -x24=0 次项系数为0，常数项为4。 我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的系数从高到低排列，先写 二次项，再写一次项，最后是常数项。 四、练习巩固： 2 2 1、方程 7x -8x=1 2

5、x -5xy 6y=0 5x2 - 丄- 1= 0 9x 2 - 3y中是一元二次方程的为 (填序号)。 2、关于x的一元二次方程 2 x ax a = 0的一个解是 4 3、判断下列各方程后面的两个数是不是它的解。 2 x -6x - 7 =0 3x 2 5x -2 =0 2x 2 3x 1 =0 2 x 4x 1 = 0 五、小结： (-1, 7) (5， (3,1) (- 2“ 3, 1、记住一元二次方程的一般形式，并会判断方程是否为一元二次方程； 2、化成一元二次方程的一般形式后，能说出二次项系数，一次项系数和常数项; 3、能判断x的值是不是方程的解。 作业：见作业本 2.1 一元二次

6、方程(2) 【教学目标】 1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤. 2.会用因式分解法解一元二次方程 【教学重点与难点】 教学重点：用因式分解法解一元二次方程 教学难点：例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成、2 才能分解因式，是本 节教学的难点. 【教学过程】 一. 复习引入 1、将下列各式分解因式： (1)y2 -3y (2)4 x2 -9 (3)(3x-4)2 - (4x-3)2 x2 -2 迈x 2 教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解 2、你能利用因式分解解下列方程吗？ 2 2 (1)y -3y =0(2)4x -9 请中等程度的学生上来板演，其余学生写在练

7、习本上，教师巡视. 之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。(板书课 题) 二. 新课学习 1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： 教师首先指出：当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分 解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：(板书) 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若MN=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 2、讲解例2. (1 )解下列一元二次方程： 2 2 (1)(x-5)(3x-2) =10(2)x-2 =x(x-2) (3)(3x-4) =(4x-3) 教

8、师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思 想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范 表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用且。 (2)想一想：将第(1), (2), ( 3)题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？ (3 )归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型： 先变形成一般形式，再因式分解： 移项后直接因式分解. 在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式。 2、讲解例3. 解方程x2 =2、2x -2 在本例中出现无理系数， 要注意引导

9、学生将将常数项2看成 2 另外对于方程中出现两 个相等的根，教师要做好板书示范。 3、补充例4若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？ 首先让学生设出未知数，列出方程（x2=x）,再让学生求解根据学生的求解情况强调： 对于此类方程不能两边同时约去x，因为这里的x可以是0。 三、巩固练习： 课本第32页课内练习。 四、体会和分享 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？ 先由学生自由发言，教师再投影演示： 1. 能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个 一次因式的积； 2. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： （1 ）将方程的右边化为零； （

10、2 ）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程； （4 ）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少 有一个等于0. 4. 用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能 同时除以含有未知数的代数式 . 5. 数学思想：整体思想和化归思想 . 五、课后作业 1. 书本作业题 2作业本 【板书设计】 屏幕 2.1 一兀二次方程（二） 因式分解法解一元二次方程 1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： （1 ）将方程的右边化为零；

11、（2 ）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程； （4 ）解这两个一兀一次方程，它们的解就是原方程的解 2. 数学思想：整体思想和化归思想 . 22 一元二次方程的解法（1） 【教学目标】 1.理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义 2.会用开平方法解一元二次方程. 3.理解配方法. 4.会用配方法解二次项系数为 1的一元二次方程. 【教学重点与难点】 教学重点：开平方法. 教学难点：配方法有一个比较复杂的过程，无论从理解和运用上， 对学生来说都有一定 的难度. 【教学手段】 用多媒体powerpoint和黑板的形式。 【教学过程】 （一）

12、引入新课 问题1:在修建甬（宁波）金（金华）高速公路时，遇到高山，需要开掘隧道，为了预计这 座山隧道的长度，工程人员测量了山的高度约 AB=3千米，坡面的长度约 AC=5千米。请你 估算开掘这座山的隧道约有多少千米？ 从甬金高速公路入手引出x2=a 型的一元二次方程，体现方程与几何图形性质的应 用，对一元二次方程概念的理解、方程根的检验等起着复习巩固的作用。 （二）由问题1可得x2,32 = 52即 x2-16=0再利用因式分解法得出方程的根。 如果把x2-16=0变形为 x2 16 ，进而可以理解为x是16的平方根，引出求这种方 程的根可以用两边直接开方的方法进行，再得出开平方法的概念。 通

13、过让学生观察体会得出开平方法的两个特征：1、它适合于什么样的方程？（左边是一 个关于x的完全平方，右边为一个非负常数即x2二a a_0 ）。2:用什么样的方法来解？ （方程的两边直接开平方的方法 ） 然后通过一系列、连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程，既突出本节课的重点， 又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程。 例1、 (1 ) 2 3x -27 =0 丄2 _2 =0 2 2x-3 2 = 7 x2 -2x 1 = 4 通过第4个例题的讲解学生已经了解到，如果左边不是一个直接的完全平方，那么通过 观察、变形，把它配成完全平方，就可以用开平方法来解一元二次方程。 （三）、问题 2：

14、x2 -2x -30 把方程变形：左边是一个含有 x的式子的完全平方，而右边是一个非负数。 1：先移项：含有未知数的项移到左边，含有常数的项移到右边。 2：方程两边同加上一个合适的数。 2 x bx c = 0 x2 bx _ -c （二次项系数为1时），可以用配方法来解一元二次 3:左边是一个完全平方，右边是一个非负常数。 4:最后用开平方法来解 即可引出配方法的概念。像这样，把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为 一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 然后让学生回答：用配方法解一元二次方程关键在哪里？（就是如何在方程左、右两边同加 上一个合适的数使

15、左边配成一个完全平方。） 为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数，可以通过专门的3 个练习来得出。即突破本节课的难点。 x再次总结：形如 方程。 具体的步骤有： 第一：移项。 第二：等式两边同加上一次项系数一半的平方。 +6x + -x _2 x2 -5x + 二 x_2 24 x +x + 3 x2 最后让学生得出结论： 1:加上一次项系数一半的平方； 2:前提条件：二次项系数为 1 例2、 2 x 6x = 1 (2) x2 = 6 -5x 第三：再用开平方法来解方程。 （四）提出挑战题：当二次项系数不是 1时，怎么办？为下节课的教学打下了基础。 例3、 2 -x 3x

16、4 =0 2 3x 2x -1 =0 一、课堂小结 让学生回答1 :用开平方法、配方法解一元二次方程的概念。2:用这两种方法解方程 时，方程的特点。3:用这两种方法解方程时的步骤。 4:让学生回答在解方程过程中应 注意的事项。 六、布置作业。 【教学目标】 1.巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤. 2.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程. 【教学重点与难点】 教学重点：用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程 教学难点：当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程 【教学过程】 -.复习旧知 用适当的方法解下列方程：1、(x-2) 2 =3 2 2、x +3x

17、+ 仁0 请学生上来板演，老师点评归纳。 .新课讲授 1. 出示引例：用配方法解方程5x2 =10 x+1 提出问题：当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解？ 经学生讨论后，指定一名学生(中等程度)回答。 教师总结：对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除 以二次项系数，就转化为我们已经能解决的问题。即用配方法解二次项系数是1的一 元二次方程。 2. 讲解例题 例3 :用配方法解下列一元二次方程 (1) 2x2 +4x-3=0 2 3x -8x-3=0 评注(1 )本例讲解可由上一课时的复习来引入，先给出方程x2 +2x-仁0,让学生解 答，并板书

18、过程，同时解答方程3x2 +6x-3=0,让学生作比较，学生容易发现，两个 方程同解。再把 6x改成4x,并提出问题：方程 3x2 +4x-3=0又应该如何解？从而把 问题化归。 (2) 本例中两个小题的解法是相通的，在讲解时，需要让学生明确配上去的值到底应 该是多少，即解决 4 81 4 -的一半是多少这一问题，常用的解决方法是把该数乘以丄。 3, 3,2 教师总结：1 :用配方法解系数为1的一元二次方程 x2 +px+q=0时，一般步骤为: (1) x2 +px=-q( 移); (2) x本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程。 本课时的难点是对二次项系数的处理。 四：布置作业 课本”作

19、业本”及习题精选中对应的练习。 +px+( ) 2=-q+( ) 2(配); 2 2 (3) (x+B ) 2 = 2 4q (化); 24 (4)解得 x=- 2 土府 (解) 2、当二次项系数不为1时，则在 移”之前先要有个 除” 次项系数为1. 练习：用配方法解下列方程 2 1.2x2-7x+5=0 即两边同除以二次项系数，使二 n(n -1) 2. -3n=1 2 3 2 21 3. x - x- =0 236 练习： 一个长方形牧场的面积为 三：小结 8100平方米，长比宽多19 米。这个牧场的周长是多少米? 22 一元二次方程的解法（3） 【教学目标】 知识教学点：理解一元二次方程

20、求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程. 能力训练点：1 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性. 2 培养学生快速而准确的计算能力. 德育渗透点：1 通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识. 2 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决 问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感. 【教学重点与难点】 教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程 教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解 【教学过程】 （一）复习引入 1.用配方法解下列方程. 2 2 （1） X2 7x + 11 = 0,（ 2） 9x2

21、 = 12x + 14 . （通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根 公式的推导做第一次铺垫） 2 用配方法解关于 x的方程x2 + 2px + q = 0 解：移项，得x2+ 2px = -q 配方，得 x2+ 2px + p2= -q + p2 即（x+p） 2 = p2-q 当时，得x+p= 士 Jp，- 二 衍=書+衍二Jp -q. （教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫）3 用配方法推导 出一元二次方程 ax2+ bx + c= 0 （a0）的根. 解：因为a0,所以方程的两边同除以 a, 律 x2+-x+- = 0l a a Rip

22、 移项，得/ +X =-. a a 酉己方，得+竺+ （）2=上十（务）6 a 2a a 2a Fin 广，b、2 L -4ac 即Q+）=飞丁 / a MQ 4a2 0 当 b2 4ac0 时. 握 b 以_4ac 倚汀亦宀飞厂 b Vb2 -4ac 即 -士 2 a2a b 7b2 4acb Vb2 4ac 1 = -5- + 5， 2 = -5 从上面的结论可以发现：i - (1) 一元二次方程 a2+bx+c = 0(a0)的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的. (2) 在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2 4ac0的前提下， 把a、b、c的值代入上式中，可求得

23、方程的两个根. 我们把沪7士拧滋(b2_4ac0)称为一元二次方程 2a 的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法. (二) 师生互动，应用新知 互动1 2 2 2 师：一元二次方程 ax +bx+c=0 ( aO)的求根公式中，要求b -4ac?0?, ?那么b -4ac0 时会怎样呢？ 生：当b2-4ac0时，.b2 -4ac没有意义，此时一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)无 实数解. 明确：b2-4ac0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是 解一元二次方程的一个隐藏条件.当b2-4ac 0, .-(-3) J(-3)2 -4x1x231 x=

24、2i， X =2 , X2=1 . 在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先 代”后算”不要边代边算.引 导学生总结步骤 1.确定a、b、c的值.2 .算出b2-4ac的值.3 .代入求根公式求出方程 的根. 壬例2解方程,-2低2 解：移项.得x222x+ 2= 0. -a = 1T t= -22* c = 2、 XV b2-4ac= (-272)2-4X1X2=o, 2j 二 Xj x2 =忑. 例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2 4ac = 0，方程有两个相同的实数根，应写成xi = j- -. I 例3用公式法解一元二次方程： 1

25、2 2 (1) X (x-1 ) = (X-2 ) 2;(2) X2+X + 1 = 0 2 其中第一题要先化简成一般形式，如系数是分数或小数，可以直接代公式，也可以先把系 数化成整系数后再代公式，视实际清况而定第二题b2 4ac v 0,方程无实数根. 明确：运用公式法解一元二次方程的步骤：(?1) ?把方程化为一般形式，？确定a、b、 c的值；(2)求出b2-4ac的值；(3)若b2-4ac0,把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二 次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac0)时，可用直接开平方法；(2) ?当方程左 边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；(3) ?配方法是一

26、种重要的解法，尤其要 熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；(4) ?公式法是一元二次方程最重 要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式. 练习：P . 35课内练习2。合理选择解法. (三) 达标反馈,深化新知 (1 )用公式法解方程 4x2+12x+3=0，得到 (A) 3 76376-32方3+ 3 A. x=B. x=C. x=D. x= 2 2 2 2 2 _ (2)关于x的一元二次方程x -2x+2+K=0有两个实数根，则 k的取值范围是 (3) 不解方程，你能说出下列方程解的个数吗： 2 2 2 x -2x-2=04x -4x+

27、 仁02x -x+2=0 , (四) 总结及布置作业 引导学生从以下几个方面总结： 1. (1)元二次方程的求根公式是x二(b3 -4ac 2a (2)利用公式法求一元二次方程的解的步骤：化方程为一般式确定a、b、c的 值.算出b2-4ac的值.代入求根公式求根.公式法与配方法都是通法， 前者较之后者 简单. 2.求根公式是指在 b2 4ac0对方程的解，如果b2-4ac v0时，则在实数范围内无 实数解渗透一种分类的思想. 2.3 元二次方程的应用（2） 【教学目标】 1.继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价 值. 2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方

28、法和技能 【教学重点与难点】 教学重点：本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用 教学难点：合作学习的问题教为复杂，计算量大，是本节的难点 【教学过程】 1 复习提问， 1）列方程解应用题的基本步骤？ 答：审题； 找出题中的量，分清有哪些已知量，哪些未知量，哪些是要求的未知量； 找出所涉及的基本数量关系； 列方程； 解方程； 检验. 2 新课讲解， 列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题：（1）变化率问题；（2）市场 营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题；（3）根据图形中的线段长度、面 积之间的相互关系建立方程的问题.而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度、面积 之间的相互关系建立方程的问题. 如图2-4，有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如 图2-5那样的无盖纸盒若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少？ 分析 设纸盒的高为x （cm），