高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系

1、第 3 讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2015 湖北卷 )l 1，l 2 表示空间中的两条直线，若p：l 1，l 2 是异面直线； q：l 1，l 2 不相交，则 ()A. p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B. p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件C.p 是 q 的充分必要条件D. p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件解析 直线 l 1， 2 是异面直线， 一定有l1 与l2 不相交，因此p是q的充分条件；l若 l 1 与 l2 不相交，那么 l 1 与 l 2 可能平行，也可能是异面直线，所以p 不是 q的必要条件 .故选 A.答案

2、A2.(2017 郑州联考 )已知直线 a 和平面 ，l ，a? ，a?，且 a 在 ，内的射影分别为直线b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是 ()A. 相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意，直线b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案D3.给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定1 个或 3 个平面 .其中正确的序号是 ()A. B.C.D.解析显然命题 正确 .由于三棱柱的三条平行棱不共面，错 .命题 中，两个平面重合或相交，错 .三条直线两两相交，可确定1 个或 3

3、个平面，则命题 正确 .答案B4.(2017 济南模拟 )a，b，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A. 若直线 a，b 异面， b，c 异面，则 a，c 异面B. 若直线 a，b 相交， b， c 相交，则 a，c 相交C.若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等D. 若 ab，bc，则 a c解析若直线a， b 异面， b， c 异面，则a，c 相交、平行或异面；若a，b 相交， b，c相交，则a， c相交、平行或异面；若ab，bc，则a， c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确 .故选C.答案C5.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E，F

4、分别为 BB1，CC1 的中点，那么异面直线 AE与 D1所成角的余弦值为()F4325A. 5B.5C.3D.7解析 连接 DF ，则 AEDF ， D1为异面直线1所成的角.FDAE与DF设正方体棱长为 a，55则 D1D a， DF 2 a，D1F2 a，52522 cos D1 2 a2 a a3FD555.22 a2 a答案B二、填空题6.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1 D1，C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 MN 与 AC 所成的角为

5、60.其中正确的结论为 _(填序号 ).解析A，M，C1 三点共面，且在平面AD1C1B 中，但C?平面AD1C1B，C1?AM，因此直线AM 与CC1 是异面直线，同理AM与 BN 也是异面直线， 错； M，B，B1 三点共面，且在平面MBB1 中，但N?平面MBB1，B?MB1，因此直线BN与 MB1 是异面直线， 正确；连接D1C，因为D1CMN，所以直线MN 与AC所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，且角为60.答案7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为上，且 AB CD，则直_.解析取 CD 的中点 H，连接 EH，

6、 FH.在正四面体 CDEF 中，由于 CDEH，CD HF，且 EHFH H，所以 CD 平面 EFH，所以 AB平面 EFH ，则平面 EFH 与正方体的左右两侧面平行， 则 EF 也与之平行，与其余四个平面相交 .答案48.(2014 全国 卷改编 )直三棱柱 ABCA1B1C1 中， BCA90，M， N 分别是1 1，A1C1 的中点，BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 _.A B解析如图所示，取 BC 中点 D，连接 MN， ND，AD.M，N 分别是 A1 1，1 1的中点，BA CMN綉1 1 11 112BC.又BD綉2BC， MN 綉 BD，则四边形BDN

7、M 为平行四边形，因此 NDBM， AND 为异面直线 BM 与 AN 所成的角 (或其补角 ).设 BC2，则 BM ND 6， AN 5， AD 5，在 ADN 中，由余弦定理得ND2AN2AD230cosAND2NDAN10 .30故异面直线BM 与 AN 所成角的余弦值为10 .30答案10三、解答题9.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点 .问：(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由.解 (1)AM，CN 不是异面直线 .理由：连接 MN，A1C1，AC.因为 M，N 分

8、别是 A1B1，B1C1 的中点，所以 MNA1C1.又因为 A1A 綉 C1C，所以四边形 A1ACC1 为平行四边形，所以 A1C1AC，所以 MNAC，所以 A， M，N，C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2)直线 D1B 和 CC1 是异面直线 .理由：因为 ABCDA1B1C1D1 是正方体，所以 B，C，C1， D1 不共面 .假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B? 平面 ，CC1? 平面 ，所以 D1，B，C，C1，这与 B，C，C1，D1 不共面矛盾 .所以假设不成立，即 D1B 和 CC1 是异面直线 .10.(2017 成都

9、月考 )如图所示，在三棱锥PABC 中， PA底面 ABC，D 是 PC 的中点 .已知 BAC2，AB2，AC23， PA2.求：(1)三棱锥 PABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 .1解(1)S ABC 2 2 2 323，三棱锥 P ABC 的体积为114V3SABCPA323233.(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 EDBC，所以 ADE 是异面直线 BC 与 AD 所成的角 (或其补角 ).在 ADE 中， DE 2，AE2，AD2，2222233故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 4.11.以下四个命题中，不共面的四点中，

10、其中任意三点不共线；若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共面；若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是 ()A.0B.1C.2D.3解析 假设其中有三点共线， 则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确 .从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若 A， B，C 共线，则结论不正确； 不正确； 不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形 .答案B12.若空间中四条两两不同的直线l 1， l2， l3， l4

11、，满足 l1l2，l2l 3， l 3l 4，则下列结论一定正确的是 ()A. l1l4B. l1 l4C.l1 与 l 4 既不垂直也不平行D. l1 与 l4 的位置关系不确定解析如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，记 l1DD 1，l2 DC，l3 DA.若 l4AA1 ，满足 l1l 2，l 2l 3， l3 l4，此时l 1 l4，可以排除选项A 和 C.若取 C1D 为 l4，则 l1 与 l4 相交；若取 BA 为 l 4，则 l 1 与 l4 异面；取 C1D1 为 l4，则 l1 与 l4 相交且垂直 .因此 l 1 与 l4 的位置关系不能确定 .答案D13.如图

12、，正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且 ACBC 2， ACB 90， F， G 分别是线段AE，BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为 _.1解析取 DE 的中点 H，连接 HF ，GH.由题设， HF 綉2AD. GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角 (或其补角 ).在 GHF 中，可求 HF 2，GFGH6，2663 cos HFG6 .2 263答案614.如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点 .(1)求四棱锥 OABCD 的体积；(2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值 .解 (1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S 4，18所以四棱锥 O A