全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案

1、精品文档全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案（考试时间：2010年9月4日9: 00 11: 30）注息：1 .本试卷共12小题，满分150分；2 .用钢笔、圆珠笔或签字笔作答；3 .书写不要超过装订线；4 .不能使用计算器.一、填空题（每小题 8分，共64分）1 .函数/（为=21 一孔一7的值域是.2 .函数丁的图象关于直线工+了=1对称.3 .正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .2?工 y +- - 1_ i.4 .设椭圆;41 - 1与双曲线千二相切，则 .5 .设才是复数，则陞 + , + |工+ 的最小值等于 .6 .设口，小，白是实数,若方程工十防十st十二0

2、的三个根构成公差为1的等差数列， 则白，m 白应满足的充分必要条件是 .7 .设0是&43c的内心，搦 = 5,=6,丽二届丽+ 2无0 *3* 1 ,动点f的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 8 .从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .二、解答题（共86分）2 fl01s =9 . （20分）设数列”满足1,舅，对己” .求”的通项公式.10 . （22分）求最小正整数附使得这十制十24可被2010整除.11 .（22分）已知a月me的三边长度各不相等，口，玉，产分别是/包，/吕，彦 的平分线与边 3c, cs,的垂直平分线的交点.求证：2u3c的面积小于azzs产的面积

3、.12 .（22分）桌上放有川根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多 履一1根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当巡二100时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准、填空题（每小题 8分，共64分） 1.答案:提示： 因元=4 , 设 -2=2cosar ( 0 =, 则y- 4cos a.- 2 sin ct+ 4 = 2* cos(b+0 + 42.180 审二 sin p = (其中 3 ,5为锐角），所以当值三0时,=8 ,当方时，n皿拜，故

4、蚱”建间随意编辑2.答案：if提示：因两函数图象关于直线k+六1对称，所以工一工，/一产3.答案:提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角- 1cos 2a = sccs tj11 = - 38八二呈1 十 tand 3精品文档4.答案：拒提示：由椭圆方程上)1 -1知，”1,设其参数方程为ly = v m (日为参数)代入双曲线方程初=1，得血口 2日二因两曲线相切,5 .答案：点提示：在复平面上，设四tu),如，ld ,则当工为的费马点时,1|+1|+|+111一道十空十建4仍1上1+ 1 一 1 +上”取得最小值，最小值为3

5、 3口.6 .答案： 3 且 27 3 .提示：设三个根为c-1 ,宏，比+1 ,则k + 以+已三工-出+1)0-田0-。-1)右边展开与左边比较得一”%，a* (a-1)+&戊+1)+9-1)9-1) , m,-l-*=g-d阳+d,消去口得,这就是所求的充要条件7 .答案：12&精品文档提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点尸在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点 尸的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于nbc面积的2倍，即12&随意编辑8 .答案：一提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有w个三角形，其中直角三角形有建女/个，所求“构成直角三角形”的概率是12xc _ 6二、

6、解答题（共86分）9.解：特征根法3 4 + 2%h 一%1 + 2 =-0. 一 1 三-v-1 飞 1.（10 分）%42/曰- 1得c-2） t + 2 =一尸 %，+ 24-1- = （-2/10.解:（-2）m+2ax =（毋-120分）依上十靖十24二0 mod 2 w2 4 + 24 = 0m6d3 与十用十24=0mod52010| 用二+用4 24=制* + 蝙+ 24 = 0mad&7（10 分）又第 =内=0 或 2mc1d3,/十典=om od 3j + 卷=j +界=43 mod 67婷 + 抬=1 +抬=o用=10 或 56mod67故所求最小正整数 四=77 (2

7、2分)11 .证明：由题设可证 a , bc , 口，e , f六点共圆 10分)用日斗门-(sin 2w+sin 25+sin 2c) 不妨设圆半径为 1, 则有之，s&郎f = g (疝口 w +sin 3 +111(7) .由于.二.二.二三二工二二 y (sm u- 5亩 2助 +(sm 23 + sm 2b) + ! (sin 2c + sm 2卅)二皿 + 刃虱- b) + 虱 n (3 + c m(5 - c) + 况 n(c + w) sin(c -司c 乳 n(d设 一 (?-4 ),注意到 一k 当 2时，甲第一次时可取此根火柴，剩余根火柴，乙无法获胜.当2 i时，能i k c 7,根据归纳假设，甲可以取到第止根火柴，并且甲此时所取的火柴数目%修，剩余公二2一根火柴，乙无法获胜.当归=2-1时，设甲第一次时取走 附根火柴，若檄之尢，则