排列组合和二项式定理(第10课)组合(四)

1、精品资源课 题： 10 3 组合 (四 )教学目的：1 掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；2. 提高合理选用知识解决问题的能力教学重点： 排列、组合综合问题教学难点： 排列、组合综合问题授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：学生易于辨别组合、 全排列问题， 而排列问题就是先组合后全排列. 在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，

2、是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述. 也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程. 据笔者观察， 有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法） . 要解决这个问题， 需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题 . 久

3、而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法 . 若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解. 教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法教学过程 ：一、复习引入：1 分类计数原理： 做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有m2 种不同的方法，在第n类办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有nm1 m2mn 种不同的方法欢下载精品资源2. 分步计数原理： 做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有

4、 m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，做第n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有nm1m2mn 种不同的方法3排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取m （ mn ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列4排列数的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m （ mn ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的 排列数 ，用符号 anm 表示5排列数公式：m(1)(n2)(n m1)（ m, n n , m n ）ann n6 阶乘： n! 表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘 规

5、定 0! 17排列数的另一个计算公式：anm =n!(nm)!8 组合的概念： 一般地，从 n 个不同元素中取出m mn 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个 组合说明： 不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同9组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出 m mn 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数 用符号mcn表示10组合数公式： cnm anmn(n 1)(n2) (nm 1)ammm!或 c mnn!(n, mn , 且mn)m!( n m)!11 组合数的性质1： cnmcnn m规定： cn01 ；12组合数的性质

6、2： cnm 1 cnm + cnm 1二、讲解范例：例 1 6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：欢下载精品资源（ 1）分给甲、乙、丙三人，每人2 本；（ 2）分为三份，每份 2 本；（ 3）分为三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；（ 4）分给甲、乙、丙三人，一人1 本，一人 2 本，一人 3 本；（ 5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1 本解：（ 1）根据分步计数原理得到：c62 c42 c2290种；（ 2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有c62c42 c22 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同

7、学有a33 种方法根据分步计数原理可得：c62c42 c22xc33 ，所以 xc62c42 c2215 因此，分为三份，每份两本一共有15 种方法a33点评：本题是分组中的“均匀分组”问题一 般 地 ： 将 mn 个 元 素 均 匀 分 成 n 组 （ 每 组 m 个 元 素 ）， 共 有cmnm cmnmmcmm种方法ann（ 3）这是“不均匀分组”问题，一共有c61 c52c3360 种方法（ 4）在（ 3）的基础上再进行全排列，所以一共有c61c52 c33 a33360种方法（ 5）可以分为三类情况：“ 2、 2、 2 型”即（ 1）中的分配情况，有c62 c42c2290种方法；“

8、 1、 2、 3 型”即（ 4）中的分配情况，有c61c52c33 a33360 种方法；“ 1、 1、 4 型”，有 c64 a3390 种方法，所以，一共有90+360+90540 种方法例 2 身高互不相同的7 名运动员站成一排，（ 1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（ 2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（ 1）（法一）：设想有 7 个位置， 先将其他4 人排好， 有 a74 种排法； 再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3 个位置上，只有1 种排法，根据分欢下载精品资源步计数原理，一共有 a74840种方法（法二）：

9、设想有 7 个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的3 个位置上，有 c73种排法；将其他 4 人排在剩下的 4 个位置上，有 a44种排法；根据分步计数原理，一共有 c73 a44840 种方法（ 2）（插空法）先将其余4 个同学进行全排列一共有a44 种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5 个空位置中（但无需要进行排列）有c53 种方法根据分步计数原理，一共有a44 c53240 种方法例 3（1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（ 2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：（ 1）根据分步计数原理：一共有44256 种方

10、法；（ 2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有 c42 种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有a43 种方法，所以，一共有 c42a43 144 种方法例 4 马路上有编号为1， 2， 3， 10 的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中 3 盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法） 本题等价于在7 只亮着的路灯之间的 6 个空档中插入3 只熄掉的灯，故所求方法总数为c6320 种方法例 5 九张卡片分别写着数字 0， 1，2， 8，从中取出三张排成一排组成一个三位数

11、，如果 6 可以当作 9 使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：若取出 6，则有 2( a82c21 c71c71 ) 种方法；若不取6，则有 c17 a72 种方法，根据分类计数原理，一共有2( a82c21c71 c71 ) + c71 a72 602 种方法三、课堂练习：1某班元旦联欢会原定的5 个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两欢下载精品资源个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为a 42b 30c 20d 122从 7 人中选派5人到 10个不同的交通岗的 5 个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）a 5 5 55 555 55

12、5c7 a10 a5ba7c10a5cc10c7c7 a10d 3某班分成 8 个小组，每小组5 人，现要从中选出4 人进行 4 个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是（ ）a c84 a44b c84 a44c51c 54 c84 a44d c404 a444 5 个人分4 张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是5某学生要邀请 10 位同学中的6 位参加一项活动， 其中有 2 位同学要么都请，要么都不请，共有种邀请方法6一个集合有 5 个元素，则该集合的非空真子集共有个7平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以

13、构成个平行四边形8空间有三组平行平面，第一组有m 个，第二组有 n 个，第三组有 t 个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成个平行六面体9 在 某 次 数 学 考 试 中 ， 学 号 为 i (i 1,2,3,4)的 同 学 的 考 试 成 绩f (i) 85,87,88,90,93 ，且满足 f (1)f (2) f (3)f (4) ，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有种10某人制订了一项旅游计划，从7 个旅游城市中选择5 个进行游览 如果其中的城市 a 、 b 必选，并且在旅游过程中必须按先a 后 b 的次序经过 a 、 b 两城市（ a 、 b 两城市可以不相邻） ，则不

14、同的游览路线有种11高二某班第一小组共有12 位同学，现在要调换座位，使其中有3 个人都不坐自己原来的座位，其他9 人的座位不变，共有种不同的调换方法12某兴趣小组有4 名男生，5 名女生：（ 1）从中选派5 名学生参加一次活动，要求必须有2 名男生，3 名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（ 2）从中选派 5 名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有_ 种选派方法；（3）分成三组，每组 3人，有种不同分法答案： 1. a2.d3. c4.c5455. c84c86986. c51 c52c53c54252 307. cm2cn2mn m 1 n 14欢下载精品资源8. cm2cn2ct2mnt m 1 n1t 19. c54c5315810. c53 a5360011.c12324402 21 42 3c93c63c3312. c4 c436 c5c4c5 c445a33280四、小结 ： 1按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；2