江苏省南京市2019届高三数学9月学情调研测试试题201902130332

1、江苏省南京市2019届高三数学9月学情调研测试试题注意事项：1 .本试卷共4页，包括填空题(第 1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部 分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2 .答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应 题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.参考公式：1 锥体的体积公式：v ash,其中s为锥体的底面积，h为锥体的高.3样本数据x1, x2,，xn的方差s2=1(xix)2,其中又=1xi.n 1n i 1一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置 上.1 .已知集合 a= x|1

2、vxv5, xc r, b= x|x=2n, n c z,那么集合 an b 中有 个兀索.2 .复数z= (1 +bi)(2 i),其中bcr, i为虚数单位.若 z是 纯虚数，则实数b的值为 .3 .已知某地连续 5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18, 21, 22, 24, 25,那么这组数据的方差为.4 .执行右图所示的算法流程图，则最后输出的s的值为 .八，15 .若函数f(x)=a+2x时 是奇函数，则实数 a的值为 6 .在平面直角坐标系 xoy中，若抛物线y2=4x的准线与双曲线22x y=1(a0, b0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2,则该双曲线的离心率是 .7 .不透

3、明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是 .一 一兀兀 .一一一，兀 .一， 一.8 .已知函数f(x)=2sin(2 x+()(一万 。2,则实数a的取 2xi值范围是 .二、解答题：本大题共 6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分14分）如图，已知四边形 abcd1矩形，平面 abcd平面bce bc= ec f是be的中点.（1）求证：dee/ 平面 acfad（2）求证：平面 afcl平面abe/16 .（本小题满分14分） i/

4、已知 a , 3 为钝角，且 sin a =5，cos2 3 = 5.b yc(1)求tan 3的值;(2)求 cos(2 a + 3 )的值.17 .（本小题满分14分）销售甲种商品所得利润是 p万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式 p=号，销 售乙种商品所得利润是 q万元，它与投入资金 t万元的关系有经验公式 q= bt,其中a, b 为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润9为一万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f ( x)万元.(1)求函数f (

5、x)的解析式;(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大， 并求最大值.18 .(本小题满分16分)在平面直角坐标系 xoy中，椭圆e：，+b2=1(ab0)的离心率为 平，且直线l : x=2被椭圆e截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆e于p, q两点，且pq勺中点r在直线l上点m1 , 0) .(1)求椭圆e的方程;(2)求证:m艮pq19 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) = lnx, g(x) =x2.(1)求过原点(0, 0),且与函数+ )上的最小值.2(2)若 a0,求函数 4 (x) = | g(x) 2af (x)| 在区间120.(本小

6、题满分16分)如果数列an共有k(kcn*, k4)项，且满足条件: a1 + a2 + ak = 0 ； | a1| + | &| + | ak| = 1,则称数列an为p( k)数列.(1)若等比数列an为r4)数列，求a的值;(2)已知m为给定的正整数，且2.5 / 12若公差为正数的等差数列n- 1q3, k n mnc n*,若an=an是r2m+ 3)数列，求数列an的公差;其中q为常数，q-1.判断数列an m- n*2,1 nb0)的离心率et11 / i2所以 e2=1 m=2，即 a2= 2b2.因为直线l : x=2被椭圆e截得的弦长为2,-,一，一，r 41所以点(2,

7、 1)在椭圆上，即?+?=1.解得 a2=6, b2=3,所以椭圆e的方程为 2 + 4=1.63(2)解法一:因为直线pq与坐标轴不垂直，故设pq所在直线的方程为y= kx+ m设 p(x1,y1), qx2,y2),因为pq的中点r在直线l : x=2上，故r2yy=kx+ m联立方程组x2 y2标十5=1，消去 y,并化简得(1 +2k2)x2+4kmxh-2ni-6=0,而门.4.所以 xdx2= 1 + 2k2(*),-4km，口2由 x1 + x2=7j-i 2=4,得 1+2k=-km1 + 2k12分因为二二2k+ mm1 , 0),故 km -= 2k+ m2 1所以kmr-

8、 kpq= (2k+n)k= 2k2+km= 2k2(1 +2k2) = 1,所以mr_ pq16分解法二:设 rxi, y1), qx2,y2).因为pq的中点r在直线l : x=2上，故设 r2, t).xt+ 八 y6因为点p, q在椭圆e： / 3一上，所以422 巴 t2 y2=i,=i,两式相减得 (xi + x2)( xi x2)+2(yi+y2)( yi-y2)= 0.因为线段pq的中点为r,所以xi + x2=4, yi + y2=2t.i2分代入上式并化简得(xi-x2)+t ( yi-y2)= 0.所以 mr pq= (2 i)x(x2xi)+(t0)x(y2yi)=0,

9、因此mrl pq i6分i9.解：(i)因为 f(x)=lnx,所以 f (x)=1 (x0).x设直线l与函数f(x)的图象相切于点(x0, y。),则直线 l 的方程为 y y0=(xx0),即 y in x0=(x x0).x0x0 3分因为直线i经过点(0 , 0),所以 0in x0=工(0 x),即 in x0= i,解得 x0=e.x0i 一因此直线i的方程为 y=&x，即x- ey=0.(2)考察函数 h(x) = g(x) 2a2f (x) =x22a2in x._ 2,2a2(x- a)( x + a)h (x) = 2x=-l (x0).xx因为a0,故由h (x) =

10、0,解得x=a.当0vawi时，h(x)0在i , +8 )上恒成立，h(x)在区间i ,)上递增,所以 h( x) min= h(i) = i0,所以(j)(x)min=i. ii 分 当ai时，h(x)在区间i , a上递减，在区间a, +)上递增，所以 h x) min= h a) = a (i - 2in a)(i )当 i 2inaw0,即 ae &, +8 )时，h(x)m = a2(i - 2in a)0,所以(hx)min=0.(ii)当 i 2ina0, ac (i , 必)时，h：x)min=a2(i -2in a) 0, 所以 e (x)min = a2(i -2in a

11、).1,0a1,综上()(x) min= a a (1 2ln a), 1 a0,所以 一 (a1 + a2+ + am+1) + ( am+ 3+ am+ 4+ + a2m+ 3) = 1,即(vm- 2)( m+ 1)d= 1,解得 d=因此等差数列an的公差为d =(md- 1)( m-f 2)1(仆 1)( nrf 2) ,若数列an是r2m数列，则有:a1 + a2+ + a2m= 0 ； | a“ 十 | %|+ + | a2m = 1.因为an=n- 1q, 1 w nw rq nc n*, 3m- n7, md-1 w nw2 rq12. 11-qm mmh 1)所以 3* 1

12、q-f=0；m1 乂 1 一|q|1)一3 1 -1 q| +24 一 .(*)（*）当m为偶数时，在（*）中，1x1zlq-0,3 1 q所以（*）不成立.12分当m为奇数时，由(*) + (*)得:m1-q1k- 3+ 1-|q| -3-13 / 12mm2又因为q 2)为奇数，所以qm+ 1q4,所以 四异 q4,整理得(2 q且矩阵a=1 1-1)( q2-1)0,即2wq2w1,与q( /a,jb+vc. aj|)2=25- 4分因为 a+ b+ c= 1,一 ,144所以一+匚+一封25. 6 分a b c当且仅当 自=历=八后 时，不等式取等号,12此时 a= , b=c=.55

13、所以1+ 4+4的最小值为25.a b c10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分.22.解：在正四棱柱 abcd- abgd中，以da, 6c, dd为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系d xyz.因为 ab= 3, aa=2,一 . e是cc的中点，af = 2fb,所以 e(0 , 3, 1) , f(3 ,2, 0) , b(3 ,3,2).(1)从而 fe = (3, 1, 1), db = (3, 3, 2).设异面直线fe和db所成的角为“15 / 12则 cos = |cos|=| 一 3+ 1* 3+ 1 * 2 户一2/11 ,/x /22因此，异面直线

14、fe和db所成角的余弦值为 半.v11x 722(2)设平面bfe的一个法向量为n=(x, y, z).因为 fe=( -3,1), fb=(0, 1,2),in- fe = 0l1 - fb = 03x+ y+ z= 0y + 2z=0,_ 1所以卜一3z7=-2z.取z= 3,则平面 bfe的一个法向量为n = (16, 3).又因为平面 abf的一个法向量为 n2=(10, 0)所以 cos=4646 ,46因止匕|cos 0 | =| cos| =-46.10分23.解：(1)由于两人租车时间都不会超过3小时,根据题意，每人所付费用可能为0, 2, 4元.因此，两人都付0元的概率为p=1 = -x -=-2 4 81 11都付4兀的概率为为p3=1x1 = .4 4 165所以，两人所付费用相同的概率为p= r+b+r = .(2)根据题意，x所有可能的取值为0, 2, 4, 6, 8._11 1rx= 0) =-x -=-4 2 8rx=