知识要点：高三数学总复习数列

1、精品资源 3.数列知识要点1.等差、等比数列:等差数列等比数列定义an + -a n d=q(q,。) an递推公式an =an+d ； an =am_n +mdn _man =anq ； an =amq通项公式an =a1 +(n _-)dn/.八、an =aiq( a-, q #0 )中项a an _k +a n * a =2(n, k w n ,n k 0 )g =an_kan (an_kan* - 0)(n,kwn ,nka0)前n项和sn = (a- +an)n(n -1) sn =na1 +-dsn = rmnai(q =1)aelatnq (q 之2)1 -q1 -q重要性质.*

2、am+an =ap +aq(m,n, p,q = n ,m +n = p +q),一一*,，、am an =ap aq(m,n, p,q 匚 n ,m+n= p+q)看数列是不是等差数列有以下三种方法：an an=d（n之2,d为常数）2an =an .1 an（n _2） an =kn +b（ n, k 为常数）.看数列是不是等比数列有以下四种方法：an =anq（n至2,q为常数，且#0） an =an + an（n 22 , a n an +a n 1- 00）注：i. b=jc,是a、b、c成等比的双非条件，即 b=jaca、b、c等比数列.ii. b =tac （ac0）-为a、b、

3、c等比数列的充分不必要iii. b =jac-为a、b、c等比数列的必要不充分.iv. b =70c且ac-0f为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0,则等比中项一定有两个an =cqn （c,q为非零常数）.正数列 an成等比的充要条件是数列 log x an （ x -）成等比数列.si = a（n = 1）数列 an的前n项和sn与通项an的关系：an =1 1sn -snj（n _2）注:an三1 qn _1 d =nd +（a1 -d ） （ d可为零也可不为零-为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）-若d不为0,则是等差数列充分条件）.等

4、差an前n项和sn = an2+bn = l： n 2 +1 a1 -。 - d可以为零也可不为零为等差的充要条件一若d为零，则是等差数列的充分条件；若 d不为零，则是等差数列的充分条件 .非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2 .等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍sk, s2k sk ,s3k s2k.;若等差数列的项数为2 n（n三n +）,则s偶一s奇= nd,三 =an ;s偶an平若等差数列的项数为2n 1.en +）,则s2n=0n 1 ,n,且s奇一s偶=an, s奇二ns 偶 n _1二代入n到2n _1得到所求项

5、数.3 .常用公式：1+2+3+n = n（n +1）2 12 22 32 ./门 1 2n 162 13 23 33 n3 = n n 1一 2n5汪:熟悉常用通项：9, 99, 999, = an =10“ -1 ； 5, 55, 555,n an =一（10n 1） 94 .等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a,年增长率为r,则每年的产量成等比数歹u,aa -(1 - r)n1 一(1 r)公比为1十r .其中第n年产量为a（1十r）n，且过n年后总产量为:a - a(1 - r) - a(1 - r) 2 ,，a(1 - r)n,银行

6、部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存 a元，利息为r ,每月利息按复利计算，则每 月的a元过n个月后便成为a（1 +r）n元.因此，第二年年初可存款:121110a(1 , r)1 一(1r严a(1 r) a(1 r) a(1 r) a(1 r)=1(1 r)ar(1 + r m二 x =1rm -1分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为 a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.a1rmf1rm x1rm，x1 r x= a1 r m -x1-1-5 .数列常见的几种形式：q为二阶常数）t用特证根方法求解. a n 七=pa n 由 pa n（ p、具体步骤：写出特征方程x2=p

7、x+q （ x2对应an七，x对应an+），并设二根x1 , x2若x1力2可设 an. 士ixn 把 2x2 ，若 x1=x2 可设 an =(ci+c2n)x；由初始值 a1,a2 确定 ci ,c2 .an = pan* (p、r为常数) t用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数n转化为a n史=pan中4qan的形式，再用特征根方法求 an ；an=ci+c2pn，(公式法)，ci ,c2由ai,a2确定.r转化等差，等比：an 1 x =p(an x)= an 1 = pan px -x= x .p -1选代法：an =panr =p(pan/ r) r -an =(a1 - r

8、)pn_l- r = (a1 x)pn-xp -1 p -1=pnai pn/ l ，pr r.a pa r 用特征方程求斛：*目减，=a n书-an = pan-pan=an由=(p+1) an-pan.an =panr由选代法推导结果：c1=r, c2 =a1 + , an =c2pn1 = (a1+r) pn,+.1 -pp -1p -11 -p6.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为sn ,在d y0时，有最大值.如何确定使sn取最大值时的n值，有两种方法：d od一是求使an 0,an+0,成立的n值；二是由sn =n2+(a1 一一)n利用二次函数的性质求 n的值.22如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可