等比数列高考专题复习资料

1、.等比数列【知识点回顾】1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q( q0) ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比 .2.通项公式与前 n 项和公式通项公式： an a1qn 1， a1为首项， q 为公比 .前 n 项和公式：当q1时， nna1s当 q1时， sna1 (1 qn ) a1an q1 q1.q3.等比中项如果 a, g ,b 成等比数列，那么g 叫做 a 与 b 的等比中项 .即： g 是 a 与 b 的等差中项a ， a ， b 成等差数列g 2a b .4.等比数列的判定方法an 1q （ nn ， q0 是常数）an是

2、等比数列；定义法：an2an an2 ( nn )且 an 0an是等比数列 .中项法： an 15.等比数列的常用性质数列 an 是等比数列，则数列pan 、 pa n （ q 0 是常数）都是等比数列；在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an , an k , an2k , an 3k , 为等比数列，公比为 qk . anam qn m (n, m n )若 mnpq(m, n, p, qn) ，则 am anapaq ；若等比数列an的前 n 项和 sn ，则 sk 、 s2ksk 、 s3 ks2 k 、 s4 k s3k 是等比数列 .【方法总结】1. 求等比数

3、列的公比、 、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.例 1. 已知等比数列an 的前 n 项和 snpn1( p 是非零常数 ),则数列an 是()a. 等差数列b.等比数列c.等差数列或等比数列d.非等差数列可编辑. 名师点拨 先由 sn 求出 an ，再根据等差、等比数列定义作出判定.解：snpn1 ， ansnsn 1( p 1) pn 1 (n 2)当 p1,且 p0 时， an是等比数列；当 p 0 时， an是等差数列，选 c.2. 求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论.例 2. 若实数数列 1, a1, a2 , a3 ,4 是等比数列，则 a2

4、. 名师点拨 本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式a221 4 ，得 a22.解：1, a1 , a2 , a3 ,4 是等比数列，a221 4，得 a22.又 1, a1, a2 是等比数列，a121 a2 , a1r ，a22 .考点一等比数列的通项与前n 项和题型 1 ：已知等比数列的某些项，求某项例 1. 已知 an为等比数列，a22,a6162 ，则 a10 解题思路 可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质解：方法1 ：a2a1 q2q481a6a1q5162a10a1q9a6 q41628113122方法 2 ：q4a616281，a10a6 q416281 13122a22方

5、法 3 ：an为等比数列a2a10a62a10a62162213122a22题型 2 ：已知前 n 项和 sn 及其某项，求项数 .例 2. 已知 sn 为等比数列 an 前 n 项和， sn93 ， an48 ，公比 q2 ，则项数 n.已知四个实数， 前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37 ，中间两数之和为36 ，求这四个数 . 解题思路 利用等比数列的通项公式an a1qn 1 及 sna1 (1qn ) 求出 a1 及 q ，代入 sn 可求项数 n ；利用等差数列、1q等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.解：由 sn 93 ， an48 ，公比 q2 ，得

6、a1 (2n1)932n32 n 5 .a1 2n 148可编辑.2bac2cbd方法 1 ：设这四个数分别为a, b, c, d ，则；ab37bc36方法 2 ：设前2 个数分别为 a, b ，则第 3、4 个数分别为36b，37a ，则992b(36b)aa12a4；(36b)2b(37，解得b或a)1681b4方法 3 ：设第2、3个数分别为 b， c ，则第1 个数为2bc ，第 1 个数为c2，则b2bc2b16b81c4b cbc20或63 ；36c4方法 4 ：设第2、3个数分别为 b， c ，设第1,4 个数分别为 ac ,2c2；2a c方法 5 ：设第3、4个数分别为 c

7、,d ，则设第1,2 个数分别为37d ,36c，则2(36c)( 37d )cc20 1663 , d49 .c2d (36c)d25或 c44题型 3 ：求等比数列前n 项和例 3. 等比数列 1,2,4,8,中从第 5项到第 10项的和 . 解题思路 可以先求出 s10 ，再求出 s4 ，利用 s10s4 求解；也可以先求出a5 及 a10 ，由 a5 , a6 , a7 , a10 成等比数列求解 .解：由 a11, a22 ，得 q2 ，s101(1210 )1023 ， s41(124 )s10 s41008.12115 ，2例 4. 已知 sn 为等比数列an前 n 项和， an

8、1 332333n 1，求 sn 解题思路 可以先求出an ，再根据 an 的形式特点求解 .解：an1332333n1 1(13n )3n1，1322sn123n113(13n )1(3333 )2n13n222即 sn3n1 n3 .424可编辑.例 5. 已知 sn 为等比数列an前 n 项和， an( 2n1) 3n ，求 sn . 解题思路 分析数列通项形式特点，结合等比数列前n 项和公式的推导，采用错位相减法求和.解：an( 2n1)3nsn1 33 325 33( 2n1)3n ， -3sn1 323 33534(2n3)3n(2n 1)3n1-，得2sn32(3233343n

9、)( 2n1)3n1329(13n 1 )(2n1)3n 1(22n)3n1613sn(n1)3n 13.变式 1 ：已知 an为等比数列， a1a2a33, a6a7a86 ，求 a11a12a13 的值 .解：设等比数列an的公比为 q ，a1a2a33,a6a7a86，q5a4a5a62 ，a11a12a13 ；a1a2a3考点二证明数列是等比数列例 6. 已知数列an和 bn满足： a1， an 12 an n 4， bn(1)n (an3n 21) ，其中为实数， n n .3 对任意实数，证明数列an不是等比数列； 试判断数列bn 是否为等比数列，并证明你的结论 . 解题思路 证明

10、数列an不是等比数列，只需举一个反例；证明数列bn 是等比数列，常用：定义法；中项法 .解： 证明：假设存在一个实数，使 an 是等比数列，则有a22a1a3 ，即 ( 23) 2( 44)42494 249 0, 矛盾 .3999所以 an 不是等比数列 . 解：因为 b(1)n(ann21)(1)n 1 an 13(n1)21n3(1)n 1an 13n18(1) n 1( 2 an2n14)2 (1)n1 (an 3n 21)2 bn又 b13331(18) ，所以当 18,bn 0( n n ) ，此时 bn 不是等比数列；当18,b1(8) 时，由上可知 bn0,bn 12 ( n

11、n ) ，此时 bn是等比数列 【名师点拨】 等比数列的判定bn3方法：定义法： an 1q （ nn ， q0 是常数）an 是等比数列；an可编辑.中项法： an21an an 2 ( nn )且 an0an是等比数列 .变式 1 ：已知数列 an 的首项 a12， an 12an， n1,2,3, 证明：数列 11 是等比数列；3an1anc11111) ，又 a1211an 1(an3，a11，22数列 11 是以1为首项，1为公比的等比数列 .an22考点三等比数列的性质例 7.已知 sn 为等比数列 an 前 n 项和， sn54 ， s2n60 ，则 s3n. 解题思路 结合题意

12、考虑利用等比数列前n 项和的性质求解 .解：an是等比数列，sn , s2nsn , s3ns2n 为等比数列，54 (s3n60)36s3n182.3【名师点拨】 给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.变式 1 ：已知等比数列an中， an0, ( 2a4a2a6 )a436 ，则 a3a5.解：an是等比数列， an0(2a4a2a6 )a436( a3a5 ) 236a3a56 .考点四等比数列与其它知识的综合例 8. 设 sn 为数列 an的前 n 项和，已知 ban2nb1 sn证明：当 b2时， ann 2n1是等比数列；求 an 的通项公式。 解题思路 由递推公

13、式sn , an , n0 求数列的通项公式anf ( n) ，主要利用：ans1 (n1)，同时注意分类讨论思想 .snsn 1( n2)解：由题意知 a12，且 ban2nb1 sn ， ban12n 1b1 sn1两式相减，得 b an 1an2nb1 an 1 ，即 an1ban2n当 b2 时，由知an12an2n于是 an 1n 1 2n2an2nn 1 2n2 ann 2n 1又 a11 2n110 ，所以ann 2n 1是首项为1，公比为 q2 的等比数列。当b2时，由（）知ann2n 12n 1 ，即 an 1 2n1n当 b2 时，由得an121b2n 1ban2n1b2n

14、 1banb2nb an12n22b2b因此an1n 1ban12n2 1bn12b222bbb可编辑.2n 1得 an12n2 2b bn 1n 22b【名师点拨】退一相减是解决含有sn 的递推公式的重要手段，使其转化为不含sn 的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键.【基础巩固】1 .设 an 是公比为正数的等比数列，若a11, a516 ，则数列an前 7 项的和为（）a. 63b. 64c. 127d . 128解：由 a11, a516 ，得 q4a516， q2 ， s7a1(1q7 )127.a1

15、1q2.设等比数列 an 的公比 qs4（ c）2 ， 前 n 项和为 sn ，则a2a.2b. 4c. 15d .1722解： s41 a1 (1 q4 )1 2415 .a2a1 q1 q2 ( 1)23 .已知等比数列 an 满足 a1a23， a2a36 ，则 a7（ a）a. 64b.81c. 128d . 243解： qa2a32 ，a1a1q3a11， a7127 164.a1a24 .已知等比数列an的前三项依次为a1， a1， a4 ，则 an（ c）n2n3n 1n 1a 43b 4c 42232d 43解： (a 1) 2(a 1)( a 4)a 5 ， a14, q3

16、， an4 ( 3 )n 11225 .已知 an是等比数列， a22， a5，则 a1 a2a2 a3an an1 = （ c ）4c. 32 (1d . 32 (1a. 16(14 n )b. 16(12 n )4 n )2 n )1 ， a11 . a1a23332 (1 4 n )解：a22， a54, qa2 a3an an 1422ab36 已知 a ， b ， c ， d 是公比为2 的等比数列，则（）2c等于da 1b 1c 1d 14287 已知 an 是等比数列，且an0， a2 a42a3 a5a4 a625 ，那么 a3a5的值是（）a 5b 6c 7d 258 在等比

17、数列 an 中，已知 a 11， a43，则该数列前 5项的积为（）9a 1b 3c1d39 abc 的三边 a ， b ， c 既成等比数列又成等差数列，则三角形的形状是（）可编辑.a rtb等腰c等腰 rtd 等边10三个数成等比数列，其积为1728 ，其和为38 ，则此三数为（）a 3 ， 12 ， 48b4 ， 16 ， 27c 8 ， 12 ， 18d 4， 12 ， 3611若 6 ， x ， y ， z ， 54 这五个数成等比数列，则实数x 的值是（）a 6 3b 6 3c 3 6d 3 612.(2009 广雅中学 )在等比数列中，已知a9a10a(a0) ， a19a20b ，则 a99a100b9.b9a8解：利用 a9a10 , a19a20 , a99a100成等比数列，得 a99a100a813 设数列 an 的前 n 项和为 sn2n2， bn 为等比数列，且a1b1 , b2 (a2 a1 )b1 .（）求数列 an