高一函数经典难题讲解

1、1. 已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x r 且xa, 当f(x)的定义域为a-1,a-1/2时, 求 f(x) 值解 : 由题知，已知函数 f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以， f(x)= -1+1/(a-x),当 f(x) 的定义域为 a-1,a-1/2 时xa -1,a-1/2(a- x) 1/2,11/(a- x) 1,2f(x)=-1+1/(a-x) 0,12. 设 a 为非负数 , 函数 f(x)=x|x-a|-a. (1)当 a=2 时, 求函数的单调区间(2) 讨论函数 y=f(x) 的零点个数解析： (1) 函数 f(x)=x|x-2|-2当 x=2 时

2、， f(x)=x2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1当 x(- ,1) 时， f(x) 单调增；当 x1,2 时， f(x)单调减；当 x(2,+ ) 时， f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x- a|=a, a=0 时 x=0, 零点个数为 1；a0 时 x0, 由， x=a,x2-ax-a=0,x1=a+ (a2+4a)/2;0xa4 时，无实根，零点个数为1。a0 时， x=a-4,x2-ax-a=0,x1,2=a土 (a2+4a)/2；xa 时 x2-ax+a=0，x3=a-(a2 -4a)/2,零点个数为 3;a=-4 时 x1,2=a/2,零点个

3、数为 2;a-4 时无实根，零点个数为1.综上， a4 时零点个数为1；a=土 4 时，零点个数为 2；-4a0, 或 0a4 时，零点个数为3.3. 已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（ 1）求常数 m的值（ 2）当 x（ 3,4 ）时，求 f(x) 的值域；（ 3）判断 f(x) 的单调性并证明。解： 1、函数 f(x)=log3 1-m(x+2)/(x-3)图象关于原点对称，则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。log3 1-m(2-x)/(-x-3)=-log3 1-m(x+2)/(x-3)log3 1-m(2-x)/(-x-3)=log

4、3(x-3)/ 1-m(x+2)1-m(2-x)/(-x-3)=(x-3)/1-m(x+2)化简得-x2+9=-m2(x2)+(2m-1)2所以-m2=-1（2m-1)2=9解得 m=-1所以 , 函数解析式为f(x)=log3 (x+3)/(x-3)2、先求 t(x)=(x+3)/(x-3)在（ 3,4) 上的值域。t(x ） =（ x+3)/(x-3)=(x-3)+6/(x-3)=1+6/(x-3)当3x4时， 0x-31,6/(x-3)6所以 t(x)=1+6/(x-3)7那么 , 原函数在（ 3,4)上值域是（log3 (7)，正无穷）3、先求函数定义域(x+3)/(x-3)0且 x3

5、解得x3或x3 时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+6/(x-3)单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。（2）当x-3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+6/(x-3)单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。4. 已知函数 f （x） =log4 （ 4x+1 ） +kx 是偶函数 .(1) 求 k 的值(2) 设 f （ x） =log4(a2x-4/3a)有且只有一个实数根, 求实数的取值范围.解 : （ 1） f(x)=log4 （ 4x+1)+kx （kr）是偶函数， f( -x)=f(x),即 log4(-x)+1+k(-x)=l

6、og(4x+1)+kx, log4( -x)+1/(4x+1)=2kx, -x=2kx,k=-1/2.(2)f(x)=log4(4x+1)-x/2=log4(4x+1)-log4(2x)=log4(4x+1)/2xg(x)=log4(a 2x-4/3a)联立log4(4x+1)/2x=log4(a 2x-4/3a) (4x+1)/2x=a 2x -4/3a不妨设 t=2x t 0t2+1/t=at-4/3at2+1=at2-4/3at(a-1)t2-4/3at-1=0设 u(t)=(a-1)t2-4/3at-1两 函数图像 只有 1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根1. 当 a=1时2.

7、 当 =0时t=- 3/4 a=3/4或不满足 a=-3(舍 )a=3/4时t= -1/20（舍）a=-3时t=1/2满足3. 当一正根一负根时(a- 1) u(0) 0(根据根的分布) a 1综上所述，得a=-3 或 a 15.这个是概念的问题 :1. 对于 f(x)取值范围（ 0，无穷），f2(x)+bf(x)+c=0 最多有两个不同的 f(x) 。2. 对 f(x) 的图像进行分析，知道f(x)=1 对应的 x 值有三个，即除 x=2 外另有两个关于 x=2 对称的x。 f(x) 不等于 1 时对应的 x 值有两个，即两个关于x=2 对称的两个 x。3. 题意说 f2(x)+bf(x)+

8、c=0对应的 x 根有 5 个，显然满足 f2(x)+bf(x)+c=0的 f(x) 有两个，一个f(x) 对应三个 x 值，设为 x1,x2,x3; 另一个 f （x）对应两个 x, 设为 x4,x5;根据以上分析，应有 x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4则 f （ x1+x2+x3+x4+x5 ） =f(10)=1/8, 选 bx1x, x 0 , f(x) 的值域是 0 【 1， +） . 求关于 x 的方程6. 已知函数 f ( x)0, x0f2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件 ?函数图像是一个“ w”字样两个v 字的连接点落到坐标原点的形状，也就是两个

9、“v”字加原点7. 定义域为r 的偶函数f(x),当 x0时，f(x)=lnx-ax(a属于r)，方程f(x)=0在 r 上恰有5个不同的实数解（1）求x0 时有两个解当 x0 ，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当 a 0时， y=lnx , y=-ax在 x 0 时都单调增，则f(x)=lnx-ax在 x 0 时单调增，只有一个解，不满足题意当a=0时， f(x)=lnx在 x 0 时单调增，只有一个解，不满足题意当a0时，f (x)=1/x-a当 x=1/a 时， f (x)=0，f(x) 在(0,1/a) 单调增 , 在(1/a,+ ) 单调减 , 在 x=1/a 取到最大值

10、要 f(x) 在 x 0 时有两个解 , 只要f(1/a) 0，即 ln(1/a)1,1/a e, 得 a 1/e 综上 ,a (0,1/e)8. 定义域为 r 的偶函数 f （ x），当 x0 时， f （ x） =lnx-ax （ar），方程 f （ x） =0 在 r 上恰有 5 个不同的实数解（ 1）求 x 0 时，函数 f （ x）的解析式；（ 2）求实数 a 的取值范围解答：解：（ 1）设 x 0，则 -x 0f （ x）为偶函数， f （ x）=f （ -x ）=ln （ -x ） +ax（ 2） f （ x）为偶函数， f （ x） =0 的根关于原点对称由 f （ x） =0

11、 恰有 5 个不同的实数解知5 个实根中有两个正根，二个负根，一个零根且两个正根和二个负根互为相反数原命题? 当 x0 时 f （ x）图象与 x 轴恰有两个不同的交点下面研究x 0 时的情况： f （x） =0 的零点个数 ? y=lnx与直线 y=ax 交点的个数当 a0时， y=lnx 递增与直线 y=ax 下降或与 x 轴重合，故交点的个数为 1，不合题意， a 0由几何意义知y=lnx与直线 y=ax 交点的个数为2 时，直线y=ax 的变化应是从x 轴到与 y=lnx 相切之间的情形设切点 ( t ， lnt)? k ( lnx ) |x t 1 ，t切线方程为：y- lnt 1

12、(x - t) t由切线与y=ax 重合知 a 1 ， lnt 1?t e， a 1 ，te故实数 a 的取值范围为 (0 ， 1 ) e9. 函数 y=loga(2x-3)+2 的图像恒过定点 p， p 在幂函数 f(x) 的图像上，则 f(9)=_2解 : 由于 loga(1)恒等于 0，所以p 坐标为（2，2），而p 在幂函数的图像上，所以设这个函数为f(x)=xa，2则2=2a ，解得a=-1/2，所以f(9)=9(-1/2)=1/9=1/3 。210. 函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点p， p 在幂函数f(x)的图像上，则f(2)=_解:p点坐标为（-1 ， 2），与a 无

13、关而幂函数f(x)=bx要经过p 点，则 2=b-1，所以b=1/2所以f(2)=(1/2)2=1/411. 若偶函数 f （x）满足的方程 f （ x） =(1/10) 的f （ x-1 ） =f （ x+1）且在x 属于【 0，1】时x 的平方在 0,10/3上的实数根有几个f（ x）=x的平方，则关于xf(x 1)=f(x 1) ，则函数 2; ，利用图像，得出方程f(x)的周期为 2，可以作出函数f(x)=g(x)的根有 2个。f(x)的图像。另外设g(x)=(1/10)x¹2. 已知偶函数 f （x）满足 f （ x 1）=f （x-1 ），且 x0,1 ， f （x）=（x

14、-1 ）2，则 f（ 7/2 ）=解: 由f(x+1)=f(x-1)则f(x+2)=f(x)所以t=2所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)=f(1/2)=(1/2-1)2=1/413. 已知f(x)是定义在r 上的奇函数, 且当xg(-x)=f(-x-1)=f(x+1)f(2011)=g(2012)f(2013)=g(-2012)f （ 2011） +f （ 2013） =016. 若函数 f(x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，且f(x)+g(x)=1/x-1,则 f(x)=_ ”解 :f (x)+g(x)=1/ （ x 1） （ 1）f(-x)+g(-x)=-1/（

15、x+1）（2）由 f(x)=f(-x)， g(-x)=-g(x)可知f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（ x+1） （ 3）（1）和（ 3）相加则有2f(x)=-1/（ x 1） -1/ （ x+1）则 f(x)=1/(x2-1)17. 函数 f(x) 对任意实数 x1,x2, 总有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当 x0时 ,f(x)3(1).求证 :f(x)在 r 上是增函数(2).若 f(3)=6,解不等式 f(a2-3a-9)4(1).证明：任取x1,x2, 且 x10, f(x2 -x1)3,f(x2)=f(x2-x1)+x1= f(x2-x1)+

16、f(x1)-3= f(x1)+f(x2-x1)-3f(x1),对任意x1x2, 都有 f(x1)f(x2),故 f(x)在 r上为增函数。(2) 由 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=f(1)+f(1)-3+f(1)-3=3f(1)-6=6,得 f(1)=4, f(a2 -3a-9)f(1),f(x)在 r 上为增函数， a2-3a-91,即(a-5)(a+2)0,解得 -2a0 时， f （ x）1.(1) 求证： f （x） 1 f （-x ） 1 0；(2) 证： f(x) 是 r 上的增函数(1) 证明：令x1=x ，x2=0f(x)=f(0)

17、+f(x)-1即 f(0)=1又令 x1=x， x2=-x则 f(0)=f(x)+f(-x)-1又 f(0)=1f(x)+f(- x)=2 f（ x） 1 f （ -x ） 1 0(2) 证明：设 x10 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1当 x0 时， f （ x）1f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-11（注：已知条件）即是 f(x2)+f(-x1)2又 f(x)+f(-x)=2 （注：已证明）f(x2)+2-f(x1)2整理得： f(x2)-f(x1)0,即 f(x1) f(x2)在实数 r 上，存在有任意x1x2,f(x1)0 时有 f(x)1,且 f(3)=41.

18、 求 f(1),f(4)的值2. 判断并证明 f(x) 的单调性3. 若关于 x 的不等式f(ax-1)f(f(4)x)的解集中最大的整数为2，求实数 a 的取值范围用赋值法代就行了解：（ 1）令 x=y=1 可得 f （ 1+1） =f （ 1）+ f （ 1） 1 令 x=1 y=2 可得 f （1+2） = f （ 1） +f （2） 1已知 f(3)=4 联立上式得 f （ 1） =2令 x=1 y=3 得 f （ 1+3） = f （ 1） + f(3) 1=5（2）令 y=1 带入已知的抽象函数f （ x+1） =f （ x） +f （1） 1移项得 f （x+1） f （ x） =1所以函数 f （x）为增函数（3）由（ 2）知函数 f