高一函数大题训练及答案

1、高中函数大题专练、已知关于 x 的不等式 ( kxk 24)( x4) 0 ，其中 k r 。试求不等式的解集a ；对于不等式的解集a ，若满足 a i zb （其中 z 为整数集）。试探究集合 b 能否为有限集？若能，求出使得集合b 中元素个数最少的 k 的所有取值，并用列举法表示集合b ；若不能，请说明理由。、对定义在 0, 1 上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x) 称为 g 函数。 对任意的 x0, 1 ，总有 f ( x)0 ； 当 x10 , x20, x1x21 时，总有f ( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 ) 成立。已知函数 g( x)x2 与 h( x)a

2、2x1是定义在 0, 1 上的函数。（ 1）试问函数 g( x) 是否为 g 函数？并说明理由；（ 2）若函数 h( x) 是 g 函数，求实数 a 的值；（ 3）在（ 2）的条件下 ，讨论方程 g(2 x 1) h(x) m (m r) 解的个数情况。3. 已知函数（ 1）若（ 2）若f ( x)2 x1.2|x|f (x)2 ，求 x 的值；2t f ( 2t)mf (t ) 0 对于 t2, 3 恒成立，求实数m 的取值范围 .4. 设函数 f (x) 是定义在 r 上的偶函数 . 若当 x11 , x0;0 时， f (x)x0,x0.（ 1）求 f (x) 在 (,0) 上的解析式

3、.（ 2）请你作出函数f ( x) 的大致图像 .（ 3）当 0 a b 时，若 f ( a)f (b) ，求 ab 的取值范围 .（ 4）若关于 x 的方程 f 2 ( x) bf ( x) c0 有 7 个不同实数解，求b, c 满足的条件 .5已知函数 f (x) ab ( x0) 。| x |（ 1）若函数 f ( x) 是 (0,) 上的增函数，求实数b 的取值范围；（ 2）当 b 2 时，若不等式f ( x)x 在区间 (1,) 上恒成立，求实数a 的取值范围；（ 3）对于函数 g( x) 若存在区间 m, n( mn) ，使 x m, n 时，函数 g ( x) 的值域也是m,

4、n ，则称 g( x) 是 m, n 上的闭函数。若函数f ( x) 是某区间上的闭函数，试探求 a,b 应满足的条件。2bf (x)6f (x)ax bx，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数，使函数、设的定义域和值域相同。7对于函数 f (x) ，若存在 x0r ，使 f (x0 ) x0 成立，则称点 ( x0 ,x0 ) 为函数的不动点。（1）已知函数 f ( x)ax2bxb( a0) 有不动点（ 1， 1）和（ -3 ， -3 ）求 a 与 b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数 f ( x)ax2bx b(a 0)总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）若定义在

5、实数集r 上的奇函数 g ( x) 存在（有限的） n个不动点，求证： n 必为奇数。8设函数 f (x) x1 ，( x0) 的图象为 c1 、 c1 关于点 a （ 2， 1）的对称的图象为c2 ，xc2 对应的函数为g(x) .（ 1）求函数 yg( x) 的解析式；（ 2）若直线 yb 与 c2 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标 .9设定义在 (0,) 上的函数 f ( x) 满足下面三个条件：对于任意正实数 a 、 b ，都有 f (a b) f (a) f (b)1； f (2)0；当 x1 时，总有 f ( x) 1.（ 1）求 f (1)及 f ( 1 ) 的值； 2（

6、 2）求证： f ( x)在(0, ) 上是减函数 .10 已知函数 f (x) 是定义在2,2上的奇函数， 当 x 2,0) 时， f ( x)tx1 x3（ t 为2常数）。（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）当 t 2,6 时，求 f ( x) 在2,0 上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想 f (x)在 0,2上的单调递增区间（不必证明） ；（ 3）当 t 9时，证明：函数yf (x) 的图象上至少有一个点落在直线y14 上。11. 记函数x7a ，g xlg 2x b ax 1 b 0, a r 的定f x2的定义域为x2义域为 b ，（ 1）求 a ：（ 2）若 a

7、b ，求 a 、 b 的取值范围12、设 f xa xx1 a0, a 1 。1 a1 x ：（ 1）求 f x的反函数 f（ 2）讨论 f1 x在 1.上的单调性，并加以证明：（ 3 ）令 g x1log ax ，当 m, n1,mn 时， f1 x 在 m,n上的值域是g n , g m ，求 a的取值范围。13集合 a 是由具备下列性质的函数f (x) 组成的：(1) 函数 f ( x) 的定义域是 0,) ；(2) 函数 f ( x) 的值域是 2,4) ；(3) 函数 f ( x) 在 0,) 上是增函数试分别探究下列两小题：（）判断函数f1 ( x)x 2( x0) ，及 f 2

8、( x) 46( 1 )x ( x 0)是否属于集合 a？并简2要说明理由（）对于（ i ）中你认为属于集合 a 的函数 f ( x) ，不等式 f (x)f ( x 2) 2 f (x 1) ，是否对于任意的 x0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论14、设函数 f(x)=ax2 +bx+1（ a,bf ( x)( x 0)为实数） ,f(x)=f ( x) (x 0)（ 1）若 f(-1)=0且对任意实数 x 均有 f(x)0 成立，求 f(x) 表达式。（ 2）在（ 1）的条件下 , 当 x2,2 时 ,g(x)=f(x)-kx是单调函数 , 求实数 k 的取值范围。（ 3）

9、（理）设 m0,n0,a0 且 f(x)为偶函数，求证： f(m)+f(n)0 。15函数 f(x)=x(a， b 是非零实常数 )，满足 f(2)=1 ，且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。axb(1) 求 a、b 的值；(2)是否存在实常数 m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4 恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点a( 3,1)到此函数图象上任意一点p 的距离 |ap|的最小值。函数大题专练答案、已知关于 x 的不等式 ( kxk 24)( x4) 0 ，其中 k r 。试求不等式的解集a ；对于不等式的解集a ，若满足 a i zb （其中 z 为整数集）。试探

10、究集合 b 能否为有限集？若能，求出使得集合b 中元素个数最少的 k 的所有取值，并用列举法表示集合b ；若不能，请说明理由。解：（ 1）当 k0 时， a(,4)；当 k0 且 k 2 时， a(4,4) u (k, ) ；当 k2 时， a(,4) u (4,) ；（不单独分析 k2k时的情况不扣分）当 k0 时， a (k4 , 4) 。k（2）由（ 1）知：当 k0 时，集合 b 中的元素的个数无限；当 k 0时，集合 b 中的元素的个数有限，此时集合b 为有限集。因为 k42 时取等号，4 ，当且仅当 kk所以当 k2 时，集合 b 的元素个数最少。此时 a4,4，故集合 b3,2,

11、 1,0,1,2,3。、对定义在 0, 1 上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x) 称为 g 函数。 对任意的 x0,1 ，总有 f ( x)0 ； 当 x10 , x20, x1x21 时，总有 f ( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 ) 成立。已知函数 g( x) x2 与 h( x)a2x1是定义在 0,1 上的函数。（ 1）试问函数 g( x) 是否为 g 函数？并说明理由；（ 2）若函数 h( x) 是 g 函数，求实数 a 的值；（ 3）在（ 2）的条件下 ，讨论方程g(2 x1)h(x) m (m r) 解的个数情况。解：（ 1） 当 x0,1 时，总有 g(x

12、)x20，满足，当 x10 , x20 , x1x21 时，g( x1x 2 )x12x 222x 1x 2x12x22g( x1 )g( x2 ) ，满足（2）若 a1时， h(0)a10不满足，所以不是g 函数；若 a由 h(x即 a1时， h(x ) 在 x0,1 上是增函数，则h( x) 0 ，满足11 x 2 ) h( x1 ) h( x2 ) ，得 a 2x1 x21 a 2x1 1 a 2x21 ，(2x11)( 2x21) 1，因为 x10 , x20, x1x21所以 0 2x11 102x 211x1 与 x 2 不同时等于 10 ( 2x1 1)( 2x11) 1a11

13、( 2x11)( 2x11)当 x1x 2 0 时， (1)min1a1，1)(2x11 ( 2x 11)综合上述： a1（3）根据（）知：a=1，方程为4x2xm ，由 02x11得x 0,10x1令 2xt1,2，则 mt2t ( t1)2124由图形可知：当m0, 2 时，有一解；当 m (,0)(2,) 时，方程无解。 . 已知函数 f ( x)2 x1|x| .2（ 1）若 f (x)2 ，求 x 的值；（ 2）若 2t f ( 2t)mf (t )0 对于 t2,3 恒成立，求实数 解（1）当 x0 时， f (x)0 ；当 x0 时， f ( x)2x由条件可知2 x12，即22

14、 x2 2 x1 0，2 xm 的取值范围 .1.2 x解得2 x12.2x0 ，xlog 2 12.（2）当 t 1, 2 时， 2t22t1m 2t10 ，2 2t2 t即 m22 t12 4t1 .22 t1 0 ，m2 2t1 .q t2,3,122 t65, 17 ，故 m 的取值范围是 17,) .11, x0;. 设函数 f (x) 是定义在 r 上的偶函数 . 若当 x0 时， f ( x)x0,x0.（ 1）求 f (x) 在 (,0) 上的解析式 .（ 2）请你作出函数f ( x) 的大致图像 .（ 3）当 0 a b 时，若 f ( a)f (b) ，求 ab 的取值范围

15、 .（ 4）若关于 x 的方程 f 2 ( x)bf ( x)c0 有 7 个不同实数解，求b, c 满足的条件 . 解 （1）当 x( ,0) 时， f (x)f ( x) 1111 .xx（2） f (x) 的大致图像如下： .4321-4-2246-1（3）因为 0ab ，所以 f (a)f (b)1112121111112 ，abababab2ab2ab解得 ab 的取值范围是 (1,) .（ 4）由（ 2），对于方程 f( x)a ，当 a0 时，方程有3 个根；当 0a1 时，方程有 4 个根，当 a 1时，方程有2 个根；当 a0 时，方程无解 . 15 分所以，要使关于x 的方

16、程 f 2 ( x)bf ( x)c 0 有 7 个不同实数解，关于f ( x) 的方程f 2 ( x) bf ( x)c0 有一个在区间(0,1) 的正实数根和一个等于零的根。所以 c0, f ( x)b(0,1) ，即 1b0, c0 .已知函数f( )ab(x0)。x| x |（ 1）若函数 f ( x) 是 (0,) 上的增函数，求实数b 的取值范围；（ 2）当 b2 时，若不等式f ( x)x 在区间 (1,) 上恒成立，求实数a 的取值范围；（ 3）对于函数 g( x) 若存在区间 m, n( mn) ，使 x m, n 时，函数 g ( x) 的值域也是m, n ，则称 g( x

17、) 是 m, n 上的闭函数。若函数f ( x) 是某区间上的闭函数，试探求 a,b 应满足的条件。解：（ 1） 当 x(0,) 时， f ( x)bax设 x1, x2(0,) 且 x1x2， 由 f ( x) 是 (0,) 上 的 增 函 数 ， 则 f ( x1 )f ( x2 )f ( x1)f ( x2 )b( x1x2 )0x1 x2由 x1x2 ， x1 , x2(0,) 知 x1x20, x1 x20 ，所以 b 0 ，即 b(0,)（ 2）当 b2 时， f ( x)2x 在 x (1,) 上恒成立，即 a2ax| x |x因为 x222 ，当x2x2 时取等号，x即x2 (

18、1,) ，所以 x2(1,) 上的最小值为 2 2 。则 a2 2在 xx（3） 因为 f ( x)b的定义域是 (,0) u (0,) ，设 f (x) 是区间 m, n 上的闭函a| x |数，则 mn0 且 b0（4）若 0mn当 b0时， f ( x)ab(0,f (m)m是) 上的增函数，则，| x |f (n)n所以方程 abx 在 (0,) 上有两不等实根，x即 x2axb0在 (0,) 上有两不等实根，所以a24b0x1x2a 0 ，即 a 0, b0 且 a24b 0x1x2b0当 b0 时 ， f (x) abab在(0,f (m)n| x |x) 上 递 减 ， 则， 即

19、f (n)mabna0m，所以 a 0, b0bmnabmn若 mn0当 b0 时， f ( x)abab,0)f (m)n| x |是 (上的减函数，所以，即xf (n)mabna0m0, b0bmn，所以 aambn、设 f ( x)ax2bx ，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数f (x) 的定义域和值域相同。解：（ 1）若 a0 ，则对于每个正数b ， f ( x)bx 的定义域和值域都是0,)故 a0 满足条件（ 2）若 a 0 ，则对于正数 b ， f (x)ax2bx 的定义域为 d, b0,，a但 f ( x) 的值域 a0,，故 da ，即 a0不合条

20、件；（ 3）若 a0，则对正数 b ，定义域 d 0,b ( f ( x) maxb，a2af ( x)的值域为 0,b ，bba0a42a2a2aaa综上所述： a 的值为0 或4对于函数 f ( x) ，若存在 x0r ，使 f (x0 )x0 成立，则称点 ( x0 ,x0 ) 为函数的不动点。（1）已知函数 f ( x)ax2bxb( a0) 有不动点（1， 1）和（ -3 ， -3 ）求 a 与 b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数 f ( x)ax2bxb(a0) 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）若定义在实数集r 上的奇函数 g ( x) 存在（有限的） n个不动

21、点，求证：n 必为奇数。解：（ 1）由不动点的定义：f ( x)x0 ， ax 2(b1) x b0代入x1 a1，又由x3及a1知b3。知 a 1 ， b 3 。（2）对任意实数b ， f (x)ax2bxb( a 0) 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数 b ，方程 f ( x)x0 总有两个相异的实数根。 ax2(b1)xb0 中(b1) 24ab0 ，即 b 2( 4a2)b10 恒成立。故1(4a2) 24 0 ， 0a 1。故 当 0 a1 时 ， 对 任 意 的 实 数 b ， 方 程 f ( x) 总 有 两 个 相 异 的 不 动点。 .1（ 3） g( x) 是 r上的

22、奇函数，则g (0)0，（ 0， 0）是函数 g (x) 的不动点。若 g (x) 有异于（ 0， 0）的不动点 ( x0 , x0 ) ，则 g (x0 )x0 。又 g (x0 )g (x0 )x0 ， ( x0 ,x0 ) 是函数 g(x) 的不动点。 g (x) 的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，所以有 2k 个（ kn ），加上原点，共有 n 2k 1个。即 n 必为奇数设函数 f ( x)x1 ，( x 0) 的图象为 c1 、 c1 关于点 a（ 2，1）的对称的图象为c2 ，xc2 对应的函数为g(x) .（ 1）求函数（ 2）若直线y g( x) 的解析式；yb 与 c

23、2 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标.解（ 1）设 p(u, v) 是 y x1v u1上任意一点，xu设 p 关于 a （ 2， 1）对称的点为 q( x, y),ux4u4xvy2v2y代入得 2y4x1yx21x 44xg ( x) x21(,4)( 4,);x( x4ybx2（ 2）联立yx21(b6)x4b90,4x(b6) 24(4b9)b24b0b0 或 b4,（ 1）当 b0时得交点（ 3，0）； （2）当 b 4时得交点（5， 4）.9设定义在 (0,) 上的函数 f ( x) 满足下面三个条件：对于任意正实数 a 、 b ，都有 f (a b) f (a)f (b)

24、 1； f (2)0 ；当 x1 时，总有 f ( x) 1.（ 1）求 f (1)及 f ( 1 ) 的值； 2（ 2）求证： f ( x)在(0, ) 上是减函数 .解（ 1）取 a=b=1，则 f (1)2 f (1) 1. 故f (1) 1又 f (1) f (2 1 ) f (2)f ( 1 )1 . 且 f (2) 0 .22得： f ( 1)f (1)f (2)1 1122（ 2）设 0x1x2 , 则： f ( x2 )f ( x1 )f ( x2 x1 )f (x1 ) f ( x2 )f ( x1 ) 1f ( x1 )x1x1f ( x2 ) 1依 0 x1x2,可得 x

25、21x1x1再依据当 x1时，总有 f ( x)1 成立，可得 f ( x2 )1x1即 f ( x2 )f (x1 )0 成立，故 f (x)在( 0,) 上是减函数。10 已知函数 f (x) 是定义在2,2 上的奇函数， 当 x2,0) 时， f ( x)tx1 x3 （ t 为2常数）。（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）当 t 2,6 时，求 f ( x) 在2,0上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想 f (x)在 0,2上的单调递增区间（不必证明）；（ 3）当 t9时，证明：函数yf (x) 的图象上至少有一个点落在直线y14 上。解：（ 1） x0,2 时，x2,0

26、 ， 则 f ( x)t(x)1( x)3tx1x 3 ， 函22数 f (x) 是定义在2,2 上的奇函数，即fxfx ，fxtx1 x3 ，即2f ( x) tx1 x3 ，又可知f 00 ，函数 f (x) 的解析式为f ( x)tx1 x 3 ，22x2,2 ；（2） f xxt1x 2， t 2,6 ， x2,0 ， t1x 20 ，221 x21 x2312x2 tt8t312x2tx222， x22f x2327tx ，2即 x2 2t,x6t (6t2,0 ) 时， f min2 6 t t 。3339猜想 f (x) 在 0,2 上的单调递增区间为0, 6t。3（3） t9时

27、，任取2x1 x22 ，f x1f x2x1x2t1 x12x1 x2x2 20 ，2 fx 在2,2上单调递增， 即 f xf2 , f2 ，即 fx42t ,2t 4，t9 ， 42t14,2t414 ， 1442t,2t4 ，当 t9 时，函数 yf ( x) 的图象上至少有一个点落在直线y 14 上。11. 记函数 fx2x7 的定义域为 a ，g xlg 2xb ax1b 0, ar 的定x2义域为 b ，（ 1）求 a ：（ 2）若 a b ，求 a 、 b 的取值范围解：（ 1） ax 2x70xx3,23,，x2x02（2） 2xbax10 ，由 ab ，得 a0，则 xb o

28、rx1 ，即2a0b311b2ab,，2。a,1220b60a12、设 f xa xax1 a0, a1 。11（ 1）求 f x的反函数 fx：（ 2）讨论 f1 x在 1.上的单调性，并加以证明：（ 3 ）令 g x1 log a x ，当 m, n1,mn时， f1x 在 m,n上的值域是g n , g m，求 a的取值范围。解：（ 1） f1 xlog ax1 x1或 x1x1（2）设 1x1x2 ，x11 x212 x1x20x11 x21x11 x21 0 a 1 时 ， f 1 x1f 1 x2 ， f 1x 在 1.上 是 减 函 数 ： a1 时 ，f 1 x1f1x2， f

29、1x在 1.上是增函数。（3）当 0a1时， f1x在 1.上是减函数，f1mg m，由 log a x11log ax 得 x1ax ，即 ax 2a1 x1 0 ，1ng nfx1x10可知方程的两个根均大于1，即 f100a322 ，当 a1 时， f 1x在1a12a1.上是增函数，f1mg nm 1amnan1 （舍去）。综f1ng mn1amnaam上，得 0 a3 2 2 。13集合 a 是由具备下列性质的函数f (x) 组成的：(1)函数 f ( x) 的定义域是 0,) ；(2)函数 f ( x) 的值域是 2,4)；(3)函数 f ( x) 在 0,) 上是增函数试分别探究

30、下列两小题：（）判断函数f1 ( x)x2( x0) ，及 f 2 ( x) 46 (1)x ( x 0) 是否属于集合 a？并简2要说明理由（）对于（ i ）中你认为属于集合a 的函数 f ( x) ，不等式 f (x) f ( x 2)2 f (x1)，是否对于任意的x0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论解：（ 1 ）函数f1 ( x)x2 不属于集合a.因为 f1( x) 的值域是 2,) , 所以函数f1 ( x)x2不属于集合a.( 或 q 当 x490时 , f1 (49)5 4 ，不满足条件 .)f2 (x)4 6( 1) x (x0)在集合 a 中,因为 : 函数 f2 (x) 的定义域是 0,) ；函2数 f2 (x) 的值域是 2,4)；函数 f2 ( x) 在 0,) 上是增函数（2） f ( x)f ( x 2) 2 f ( x 1)6 ( 1 ) x (1 )0 ，24不等式 f (x