高三文科数列专题(师)

1、精品文档数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断或证明方法：定义法（an 1 an d (d为常数或ananan 1( n 2)。） an 1例：已知数列 an满足 a14, an 44(n2), 令bnan1an12(1)求证：数列 bn是等差数列（2）求数列 an的通项公式2、等差数列的通项： an a1 (n1)d 或 anam (nm)d 。如 (1) 等差数列 an 中， a1030 ， a2050 ，则通项 an；（ 2）首项为 -24 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_3、等差数列的前 n 和： snn(a1an ) ， snna1n(n1)

2、d 。22如（ 1）数列 an 中， anan 11 (n2,nn * )， an3，前 n 项和 sn15，222则 a1 ， n （ 3.(1) 答： a13， n10 ）；（ 2）当 m npq 时 , 则有 amana paq ，特别地，当mn 2 p 时，则有am an 2ap .如（ 1）等差数列 an 中， sn18,anan1an 23, s31，则 n _如等差数列的前n 项和为25，前 2n 项和为100，则它的前3n 和为。如（ 1）在等差数列中， s 22，则 a6 _11二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法 an 1为常数，其中q0,a0或an 1a

3、n(n2) 。）anq(qnanan 1（ 1）数列 a中，sn=4 a+1 ( n2) 且 a =1，若 bnan 12an，求证：数列 bnn 11n是等比数列。2、等比数列的通项：ana1q n 1 或 anam qnm 。如等比数列 an 中，aan66 ， a an 1128 ，前 n 项和sn126，求 n 和 q .12。1 欢迎下载精品文档3、等比数列的前 n 和：当 q 1 时， sn na1 ；当 q1时， sna1 (1qn )a1anq 。1q1q如（ 1）等比数列中， q 2， s99 =77，求 a3 a6a994、等比中项：若 a, a, b 成等比数列，那么a

4、叫做 a 与 b 的等比中项。5. 等比数列的性质：（ 1 ）当 mnpq 时，则有am anap aq ，特别地，当mn2 p 时，则有am an ap2.如（ 1）在等比数列 an 中， a3a8 124, a4 a7512，公比 q 是整数，则 a10 =_（ 2）各项均为正数的等比数列an 中，若a5a69，则ogl 3 a loga ogl3 01a13 2如 （ 1 ） 已 知 a 0 且 a1 ， 设 数 列 xn 满 足 log a x n 11 logax n (n n *) ， 且x1 x 2x 1 0 0 100 ，则 x101x102x200.（ 2）在等比数列 an

5、中， sn 为其前 n 项和，若 s30 13s10 , s10s30 140 ，则 s20的值为 _三、数列通项公式的求法一、公式法（n1) ans1sn；sn 1 (n 2)例已知数列 an 满足 a11, sn2an 1 ,则 sn_ _二、累加法例 已知数列 an 满足 an 1an2n1， a11，求数列 an 的通项公式。例已知数列 满足n，求数列的通项公式。anan 13 an an 2 3 1 a1。2 欢迎下载精品文档三、累乘法例已知数列 an 满足 an 12( n1)5nan， a13 ，求数列 an 的通项公式。四、取倒数法例已知数列 an 中，其中 a1an1，求通项

6、公式an 。1, ，且当 n 2 时， an2an 11五、代值找规律例已知数列 an 中，其中 an 11, a11 ,则 a8 _1an2六、待定系数法例已知数列 an 满足 an 12an1, 且 a11 ，求数列an 的通项公式。例 已知数列 an 满足 an 13an1, 且 a11，求数列an的通项公式。【反思归纳】递推关系形如“an1panq ” 适用于待定系数法或特征根法：令 an 1p( an) ； 在 an 1panq 中令 an 1 anxxq， an 1 x p( anx) ；1 p由 an 1panq 得 anpan 1q ，an 1anp(anan 1 ) .四、数

7、列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式：snn(a1an )na1n(n1) d22na1(q1)2、 等比数列求和公式：sna1 (1qn )a1an q( q1)1q1q。3 欢迎下载精品文档例：已知 an是等差数列, bb是正项等比数列，且a1b12,a514,b3 a3 .(1)求 的通项公式an , bb( 2)若数列 cnan bn ,求数列 cn的前 n项和 tn二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列a nbn 的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列 .求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再

8、将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例： 1. 已知等差数列a n 的前 n 项和 sn 满足 s3=0， s5= 5（ 1）求 a n 的通项公式（ 2）求数列 （ 2 an）2n 的前 n 项和解：（ 1）设 a n 的公差为d，则 sn=na1+由已知可得，解得 a1=1， d=1故 a n 的通项公式为an=2 n（ 2）令 bn=（2 an） 2n=n?2n令 tn=b1+b2+ +bn1+bn=1?21+2?22+ +（n 1） ?2n 1+n?2n有 2tn=1?22+2?23+ +（ n 1） ?2n+n?2n+1两式相减得：tn=21+22+ +2n n?

9、2n+1= n?2n+1= 2+（ 1 n） ?2n+1n+1则 tn=2+（ n1） ?22. 已知数列 a n 的前 n 项和为 sn，a1=1， an+1=2sn+1（n n* ）（1）求数列 a n 的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 tn解：（ 1） an+1=2sn+1（ n n* ）， an=2sn 1+1（ n 2），两式相减得：an+1=3an（ n 2），由 an+1=2sn+1 得： a2=2a1+1=3， a2=3a1 满足上式，数列 a n 是首项为1、公比为 3 的等比数列，an=3n 1；。4 欢迎下载精品文档（2） an=3n1，=， tn=+，tn=+

10、+，两式相减得：t n =3+2（+ +）=4，tn=6三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例 7 求数列的前 n 项和：11132， 1 1, a4, a 27, , a n 1n解：设11132)sn(1 1) (4) (27)(n 1naaasn(1111)(1 473n2)aa 2a n 1当 a1 时， snn(3n1)n(3n1) n2211(3n1)naa1 n(3n 1)n当 a1时， snana12112a例 已知是等比数列，数列满足a13, a4 24,满足 bn

11、 满足1. an b11, b4且bn是等比数列。8, an(1)求数列和通项公式 an bn (2)求数列 bn的前 n项和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合， 使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解 （裂项）如：111（ 1） annn 1n(n 1)。5 欢迎下载精品文档（ 2） an1k)1 ( 1n1 )n(nk nk（ 3） ann(n12)1 111)(n2n(n 1) ( n1)(n2)例1：已知 sn 为数列 an的前 n项和，且满足 snn 23n ,2（1）求数列 an的通项（2）若 bn1, 求数列