高中不等式所有知识典型例题(超全)

1、资料不等式的性质： 二.不等式大小比较的常用方法：1 .作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2 .作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6 .利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法 ；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最 基本的方法。三.重要不等式221 .（1）若 a,b r,则 a2 b2 2ab （2）若 a,b r ,则 ab -一b-（当且仅当 a b 时取=）22 .（1）若a,b r*,则a_b 施（2）若a,b r*,则a b 24茄（当且仅当a b时取=）22（3）若a,b r*,则ab ab（当且仅当

2、a b时取=）23.若x 0,则x - 2 （当且仅当x 1时取=）; x, 一 1若x 0,则x 2 （当且仅当x 1时取=）x0,则 x 2即x 1 2或x 1 -2 xxx（当且仅当ab时取=）若 ab 0,则 a b 2 b a（当且仅当a b时取=）若ab 0,则a - 2即a b 2或勺-2 b a b a b a（当且仅当a b时取=）4.若a, b r ,则(旦2.2ab-（当且仅当a b时取=）2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”均

3、值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.5 .a3+b 3+c3 3abc (a,b,cr+)a+b+c3：一 方nabc （当且仅当a=b=c时取等号）；1 _+6 . n (a+a2+an) vaazl an (ar,i=1,2，n),当且仅当 a1=a2=匚an取等方;变式：a2+b 2+c2 ab+bc+ca; ab (a+ b 2a+b+c 32- ) (a,b r ) ; abc ( -3- ) (a,b,c r )2ab 一a 一; /ab a+b ，a+br &a2+b2-2- b.(0a b)一 “， b n7.浓度不等式：力 b

4、bn0,m0;a+m应用一：求最值例1:求下列函数的值域(1) y= 3x2+宣(2)1 y = x+ x x4x2，的最大值。4x 549 (当t=2即x= 1时取当 x -1 ,即 t=k + 1 1 口时,技巧五：注意：在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x) x a x的单解题技巧:一一 ，一 一5 ,一一技巧一：凑项例1 ：已知x 5,求函数y评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当dce4|时，求y x(8 2x)的最大值。2技巧三：分离 例3.求y -7x_(x1)的值域。x 1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用

5、基本不等式，可先换元，令 t=x+1,化简原式在分离求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4=t、 x2 5调性。例：求函数y x 5的值域。x2 4解：令.x2t(tx2 5x2 4*21x2 41t -(t 2)因为y t1,1解得t t1不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。1 ,、-在区间 t1,单调递增，所以在其子区间 2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为2 .已知0 x 1,求函数y jx(1 x)的最大值.；3. 0 x -,求函数y x(2 3x)的最大值. 3条件求最值1.若实数满足a b 2,则3a 3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的

6、过程，而处3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a 3b 2v3a 3b 24尹 6当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6.11一变式：若log4x log4y 2,求一 一的最小值.并求x,y的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。一一 192:已知x 0, y 0,且一 一 1,求xy的取小值x y2技巧七、已知x, y为正实数，且x 2 + y =1,求x 1 + y 2的最大值.- 上人, 乙乙 一a + b分析：因条件和结论分别是二次和一次

7、，故米用公式ab0 得，0b152t2+34t 311616rid令 t = b+1 , 1t2- /ty =81 t t_. ab 当且仅当t = 4,即b = 3, a = 6时，等号成立。法二：由已知得：30 ab = a +2b. a + 2b2d2 ab . 30-ab22-a?令 u = ob贝uu2+2艰 u-300, -5/2 u0, b0 , ab (a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+2y=10,求函数 w= 5 +叵 的最值.,称 一 、a+b a 2+b 2解法一：若利用算术平均与平方

8、平均之间的不等关系，工 ,本题很简单v3x +低 0, w2= 3x+2y+23x =10 + 2而 v2y 10 +(v3x )2”2y )2 = 10 +(3x+2y) = 20w8abc111例 6:已知 a、b、c r ,且 a b c 1。求证：一 1 一 1 一 18abc分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1 1 .bc 2 bc ,可由此变形入手。 a a a a1 / 1 a b c 2. bc1. 2、ac 1 / 2 , ab解：qa、b、c r , a b c 1。 - 1 。同理1 , 1 。a a a ab b c c

9、上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111 rblga1心画 8。当且仅当a b c (答：(,1) (2,)5.指数和对数不等式。6.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集时取等号。 a b c a b c3应用三：基本不等式与包成立问题一一 19例：已知x 0,y 0且- - 1 ,求使不等式x y m包成立的头数m的取值沱围。 x y19( x y 9x 9y (10 y 9x (解：令 x y k, x 0, y 0, - - 1 , 1.1x ykx kyk kx ky1031-2-0 k 16 , m ,16 kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：1 a

10、b例：右 a b 1,p ga lgb,q (iga 1g b), r lg()，则 p, q,r 的大小关系是:2 21分析：. a b 1 lg a 0,lg b 0 q - (lga lg b) %;lga lg b pa b 一 1r lg() lg vab - lg ab q rq22四.不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；(3)根据曲线显现f(

11、x)的符号变化规律，写出 不等式的解集。如(1)解不等式(x 1)(x 2)2 00(答：x|x 1或 x 2);(2)不等式(x 2)jx2 2x 3 0的解集是(答：xx 3或 x 1);(3)设函数f(x)、g(x)的定义域都是r,且f(x) 0的解集为x|1 x 2, g(x) 0的解集 为，则不等式f(x)gg(x) 0的解集为(答：(，1)u2,);(4)要使满足关于x的不等式2x2 9x a 0 (解集非空)的每一个x的值至少满足不等式 x* |ax+b|0)和|ax+b| c(o0)型不等式的解法|ax+b| c-c ax+bcax+b1c 或 ax+b0-c. |x-a|+|

12、x-b| c(c0)和|x-a|+|x-b| 0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想;方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。 例 1:解下列不等式：(1). x2 2x x(2). -3 -x或x2-2x3或x0或0vx1 x 1x 2x 3(答：(1,1)u(2,3);(2)关于x的不等式ax b 0的解集为(1,),则关于x的不等式 至一b 0的解集为 x 2.,原不等式的解集为 x | x0或0x3 解法2 （数形结合法）作出示意图，易观察原不等式的

13、解集为 x | x0或0x3 第（1）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组一八一一八,1,1 一一一图象，则解集为x|x 1.、或x-1，结果一目23例2:解/、等式：|x| 1 x【解析】作出函数f（x）=|x|和函数g（x）=易知解集为（，0） 1，+ ） 3解不醇 a _ | x 11 i x 11 一第（2）题图略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数了然。10/x的图象，x2例3:0【解法11令g(x) |x 1|x 1|2(x2x( 12(x 1)1) x1)h(x)令2,分别作出函数g(x)和 h(x)的图象，知原不等式的解集为4,)94)【解法2】原不等式等价于3g(x

14、) |x 1|,h(x) |x 1| - 2分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g (x)和h (x)的图象的交点坐标为3r3、|x 1| |x 1|-，)所以不等式1 (答：a 0时，x|x 0; a 0时，x|x -或 x 0; a 0 时，x| - x 0或 x 0) aa提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax b 0的解集为(，1),则不等式 三2 0的解集为李：(1,2) ax b五.绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b|&|a|+|b|,

15、当且仅当ab0时，等号成立。注：(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当 a , b不共线时，|a+ b|0,左侧=”成立的条件是ab&0且|a|引b|;不等式|a|-|b| w|a-b| w|a|+|b|,3 | x 1| | x 1|【解法3】 由2的几何意义可设f 1(-1, 0) , f 2 ( 1 , 0) , m (x, y),3mf1 mf2若2 ,可知m的轨迹是以f 1、f 2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为(4,0),固 由双曲线的图象和| x+1 | | x-1 | 2知x .7.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键. ”注

16、 意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说 明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如,22(1)若loga 1,则a的取值范围是a 1或0 a -);3 32(2)解不等式-aj x(a r)ax 1右侧=”成立的条件是ab&0,左侧=”成立的条件是ab0且|a芦|b|。定理2：如果a,b,c是实数,那么|a-c| v。，y- 5x十戏父j5- x/j工一 1)+j5 3=&电127即 27时函数取最大值，最大值为 寸3二：才一1之。且1。一 21之0 , .函数的定义域为xfl5r _ j1_ 5 0由 y =厂而,127得5j10-2k2右

17、-10 即5j10 2久 261 0 ,解得 27i 12727时函数取最大值，最大值为 6名.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解类型二：利用柯西不等式证明不等式2.设巾、小、仁为正数且各不相等，求证： n + b 3十七c + a 色十3十亡；2g+b+）（一lt+tl+-l）= g+b）+0+g+g+（+j+-l）2.a +z- 8十e 。十14十8 6 -c白十白+又q、上、白各不相等，故等号不能成立2229+ + a+b b c-a 廿十 3 十二一类型三：柯西不等式在几何上的应用6. abc的三边长为a、b、c,其外接圆半径为 r,求证：（标 +/?+?）（4+sin a

18、a sin5 sin 3 （7.* *1sin / 二i 二证明：由三角形中的正弦定理得2衣，所以srn达 a1_ ar1 1 _d交同理领空/，加？二 1于是左边=+8 3 +c3x4 -h4+sin 3 a sin 5 sin 3 c七.证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是:分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论作差（商）后通过 ）.1常用的放缩技巧有：-1n(n 1)11-2 n1 n(n_11) n 1如（1）已知a（2）已知 a,b,c.kb r,求证：a2b(3)已知 a, b,x, y求证：a2b2 br ,且工1,x a b

19、b2c2 2c1.kc2a2 2c aa、求证:ab2 abc(a xbc2bb、c是不全相等的正数，求证:(6)若2 2已知a,b, c r ,求证：a bn n * ,求证：j(n1)21,2 2 b clg 22 2 c aalgb2 abc(a bca2 c)； 匕b lgcc)；lg b lg c ;已知1a11b|求证：.(n 1)|a| |b|a b|vn21 n ；(2)不等式x 4 |x(3)若不等式2x 1(4)若不等式(1)na(5)若不等式x22mx 2m 1 0对01的所有实数x都成立，求m的取值范围.111(8)求证：12 2l22o2 3 , 例：若不等变-2 x -2ax+6 2恰有一解，求实数a的值n2八.不等式的包成立，能成立,恰成立等问题：不等式包成立问题的常规处理方式？(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法)1) .何成立问题若不等式f x a在区间d上包成立