高中微积分基本知识

1、高中微积分基本知识第一章、 极限与连续1、 数列的极限1 .数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数xi,k,xn,l叫数列，记作xn ,并吧每个数叫做数列的 项，第n个数叫做数列的第n项或通项界的概念：一个数列xn ,若 m 0, s.t对n n* ,都有xn m ,则称是有界的：若不论m有多大，总 m n* , s.t xm m ,则称xn是无界的若a xn b ,则a称为xn的下界，b称为xn的上界xn有界的充要条件：xn既有上界，又有下界2 .数列极限的概念定义：设xn为一个数列，a为一个常数，若对 0,总 n , s.t当n n时，有xn a 则称a是数列xn的极限，记作lim

2、 xn a或xna(n )n数列有极限时，称该数列为 收敛的，否则为发散的 几何意义：从第n 1项开始，xn的所有项全部落在点a的邻域(a ,a )3 .数列极限的性质唯一性收敛必有界保号性：极限大小关系数列大小关系(n n时)2、 函数的极限1 .定义：两种情形x xo :设f (x)在点xo处的某去心邻域内有定义，a为常数，若对 0 ,0 , st当0 x x0时，恒有f (x) a 成立，则称f(x)在x xo时有极限a记作 lim f (x) a或 f (x) a(xx)x x0几何意义：对 0,0, s.t当0 x % 时，f(x)介于两直线y a单侧极限：设f(x)在点xo处的右侧

3、某邻域内有定义，a为常数，若对 0,0 , s.t当0 x x0时，恒有f (x) a 成立，称f (x)在x0处有右极限a,记作 lim f (x) a或 f(x0) a x x0lim f (x) a 的充要条件为：f (x) f (x) = ax x)垂直渐近线：当lim f (x) 时，x x0为f(x)在x0处的渐近线 x x0x :设函数f (x)在x b 0上有定义，a为常数，若对 0, x b, s.t当x x时，有|f(x) a 成立，则称f(x)在x 时有极限a,记作lim f (x) a 或 f (x) a(x ) xlim f (x) a 的充要条件为：jm f (x)

4、 jim f (x) a水平渐进线：若lim f (x) a或lim f (x) a,则y a是f (x)的水平渐近线 xx2 .函数极限的性质：唯一性局部有界性局部保号性(在当0 |x x0时成立)3、 极限的运算法则1 .四则运算法则设 f(x)、g(x)的极限存在，lim f(x) a,lim g(x) b 则 limf(x) g(x) a b lim f (x)g(x) ab limf) - (当 b 0 时) g(x) b limcf(x) ca ( c为常数)limf(x)kak(k为正整数)2 .复合运算法则设 y f (x),若 lim (x) a,则 lim f (x) f

5、(a) x x)x x0可以写成lim f (x) flim (x)(换元法基础)x x0x x0四、极限存在准则及两个重要极限1.极限存在准则夹逼准则 设有三个数列xn ,ynxnzn, lim yn lim zna 则 lim xn annn单调有界准则有界数列必有极限3.重要极限 lim 1xlimx 0五、无穷大与无穷小1.无穷小：在自变量某个变化过程中lim f(x)0 ,则称f (x)为x在该变化过程中的无穷小派 若f (x) 0 ,则f (x)为x在所有变化过程中的无穷小若f (x),则f(x)不是无穷小性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小2. 常量与无穷小的乘积为无穷小3.

6、有限个无穷小的乘积为无穷小4. 有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5. 有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：lim f(x) a的充要条件是f(x) a (x),其中(x)为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)(x),(x),为同一变化过程中 的无穷小若lim c (c 0常数) 则 是 的同阶无穷小(当c 1时为等价无穷小)若lim二c ( c 0常数)则是的k阶无穷小若 lim 0则是的高阶无穷小常用等价无穷小：(x0) x: sin x : tanx: arcsinx: arctan x : ln(1 x) : ex 1；21 cosx: ； (1 x) 1:

7、 x; ax 1: xlna 22 .无穷大：设函数f (x)在x0的某去心邻域内有定义。若对于 m 0 ,0 s.t当0 x x0时，恒有 f(x) m称f(x)当xxo时为无穷大，记作lim f(x)x x无穷大 一1为无穷小lim f (x)定理：lim f (x)(下：趋于某点，去心邻域不为 0)无穷小一1一为无穷大lim f (x)派 无穷大的乘积为无穷大，其和、差、商不确定六、连续函数1 .定义设函数y f(x)在x0某邻域有定义，若对0,0st当0 |x % 时,恒有： |f(x) f(x)也可记作lim f (x) f (x0)或 lim y 0x %x 0f(x0) f(x0

8、)(或 f(x0) f(%)为左(或右)连续2 .函数的间断点第一类间断点：左右极限存在左右极限相等，该处无定义左右极限不等可去问断点跳跃间断点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3 .连续函数的运算若函数f(x)与g(x)都在x处连续，则函数f (x)f(x) g(x) , f(x)g(x), -(g(x) 0)g(x)定理：y fg(x) , g(x0) u0 ,若g(x)在x0处连续，f(g)在u0处连续，则yfg(x)在x0处连续4 .闭区间连续函数的性质最值定理：f(x)在a,b上连续， 则 ox?,对一切x a,b有f(xi)f (x)f(x2)介值定理：f(x)在a,b上连续，

9、对于f(a)与f(b)之间的任何数u，至少 一点,5 .t f( ) u第二章、导数一、导数的概念定义：设函数y f(x)在点x0的某邻域有定义，如果极限1防虫&_x) f(x0)存在，则称函数y f(x)在点x 0x- 一 x0可导，极限值为函数y f(x)在点x0处的导数，记为f (xo)单侧导数：设函数y f(x)在点xo处的左侧(xo,x。有定义，若极限lim f-(xx) f (xo)存在，则称此极限为函数x 0xy f (x)在点x0处的左导数，记为f (xo),类似有右导数f (刈)导函数：函数y f(x)在某区间上可导，则/f (x x) f (x)f (x) lim -x 0

10、 x性质：函数y f(x)在点x0处可导的充要条件f(%) f (xo)可导连续导数的几何意义：函数点处的切线斜率二、求导法则1 .函数的和、差、积、商的求导法则定理：若u u(x),v v(x)都在x处可导，则函数u(x) v(x)在x处也可导，且u(x) v(x) u (x) v (x)定理：若u u(x),v v(x)都在x处可导，则函数u(x)v(x)在x处也可导，且u(x)v(x) u v uv推论：若u1,k , un都在x处可导，则函数u1u2 l un在x处也可导，且u1u2l un u1u2l un u1u2l un l u1u2l un定理：若u u(x),v v(x)都在

11、x处可导，则函数必在x处也可导，且 v(x) u(x) u v uvv(x)v22 .反函数的求导法则定理：设函数x g(y)在iy上单调可导，它的值域为ix,而g(y) 0,则其反函数1y g (x) f(x)在区间ix上可导，并且有f (x)1g (x)4.复合函数的求导法则定理：若函数u (x)在x(o可导，函数y f(u)在点现(凡)可导，则复合函数y f ( (x)在x0处可导f( (x) f ( (x) (x)三、高阶导数、 . ,定义：若函数y f(x)的导数y或dy dygdu (连锁规则) dx du dxf (x)仍可导，则y f (x)导数为y f (x)的二2nw阶导数

12、，记作y,f (x),d),类似的，有n阶导数yf(x)，x2ndxdx四、隐函数求导对于 fx, y(x) 0 ,或 fx, y(x) gx, y(x),若求 5 dx求导法：方程两侧对x求导 微分法：方程两侧求微分公式法：dy 且，将方程化成fx,y=0,将f看成关于x,y的二元函数，分 dxfy别对x,y求偏导fx,fy五、参数方程所确定的函数求导x(t)dydy dtdy , dx(t)yt，g -/一y(t)dxdt dxdt dt(t)xt导数公式 基本函数：c 0 1(x ) x(cscx)cscxcotxx、(a ) ax ln a(arcsin x)(log a x)(sin

13、 x)1xln acosx(arccosx)11 x2(cos x)sin x(arctanx)11 x2(cot x)2csc x(secx)secxtan x(arccot x)导数运算法则：(u v) u v(cu)cu(uv) u v uv(u)vuv-2 v(n)(n)(n)(u v) u v(uv)(n)n c k cn u k 0(n k)v(k)cf (axb)(n) canf (n)(ax b)n (m)(x )m n m*、an x,(n n m n,则 01 (n)n0n 1 x(ax)x na ln a(logax)(1)n1(n 1)! xn ln a(sin x)(

14、n) sin(x ()(cosx)(n)cos(xx 1. o(xn 1) o(x)xn2. lim f(x) f(x0)x 0 x x0f(x0),需补充条件f(x)在x0处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定义：设函数y f(x)在某区间i上有定义，xo,xox i ,若y f(xox) f(xo)可表示为y ax o( x)(其中a与x无关),则称a x为y在x0处的微分，记作dy a x派dy与y的区别：当y为自变量时，dy y当y为因变量时，dy y , y dy o( x) , dy为y的线性主部定理：对于一元函数y f(x),可导 可微性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微

15、分dny f(x)(dx)n二、微分的几何意义“以直代曲”三、微分中值定理中值定理条件结论rollea,b上连续，(a,b)上可导， f(a)f(b)至 少 存 在一 点使 得f ( ) 0lagrangea,b上连续，(a,b)上可导f(b) f(a) f( ) b acauchya,b上连续，(a,b)上可导，g (x) 0_f(b)f(a)f()g(b)g(a)g()有限增量定理：y f (x x) x (01) l hospital 法则：0型未定式定值法：f(x),g(x)在x0的某去心邻域有定义，且0lim f (x) lim g(x) 0, f (x), g(x)在 x0 的某去

16、心邻域可导，且 g (x) 0 x x0x x0.、lim , xa ,贝ij有 lim lim xx x0 g (x)x x0 g(x)x x0 g (x),0g , 1 ,， 0,0类似四、函数的单调性与极值1 .单调性：定理：设函数yf (x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则导数符号原函数单调性f (x) 0zf (x) 0定义：设函数y2 .极值 f (x)在点xo某邻域有定义，若又t该邻域内一切 x都有f(x。) f(x)则f(x。)是函数f(x)的一个极大值，点x。为函数f(x)的一个极大值点。(极小值类似)函数取得极值的一阶充分条件函数y f(x)在点x0去心邻域可导,且在

17、x0处可导或导数不存在，则：当xx0时，f (x)0, xx0时，f (x)0,则f(%)是极大值当xx0时，f (x)0, xx0时，f (x)0,则f (%)是极小值无论x x0还是x x0,总有f(x) 0 (或f(x) 0),则f(%)不是极值函数取得极值的二阶充分条件函数y f(x)在点xo处具有二阶导数，且f (xo) 0, f函)0,则若f (x。)0 ,则f (x。)是极小值若f (比)0,则f(x0)是极大值 第四章、不定积分一、不定积分的概念和性质1 .原函数与不定积分原函数：设“*)在1上有定义，若对 x i ,都有f (x) f(x) 或 df (x) f (x)dx则

18、称f (x)为f (x)在i上的一个原函数原函数存在定理：若函数f(x)在i上连续，则在i上 可导函数f(x) , s.t对x i,都有f(x) f (x) o即连续函数一定有原函数不定积分：设f(x)使f(x)的一个原函数，c为任意常数，称f(x) c为f(x)的不定积分，记作f(x)dx f(x) c几何意义：积分曲线族2 .不定积分的性质：积分运算与微分运算为互逆运算f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx k 0二、换元积分法1 .第一类换元积分法定理：设f(u)有原函数，且u (x)具有连续导数，则f (x) (x)有原函数f (x

19、) (x)dx f (u)du2 .第二类换元积分法定理：设f(x)连续,x(t)具有连续导数，且 (t) 0,则f(x)dx f (t) (t)dt,其中 t 1(x)三、分部积分法，一.uv dx uv u vdx四、有理函数的积分1.简单有理函数的积分将真分式上3分解为部分分式之和q(x)对于q(x)(xa)k形式：应分解成k个部分分式 a,-ll -ak-x a (x a) (x a)-2lq(x) (x px q)应分解成l个部分分式c1x d1c2x d2 ,，jl x px q (x px q)clx dlj(x px q)求4种积分其中，对于(x a)kdxcx d ,cx d

20、 ,dx ,-2rdxx px q (x px q)2cx dp 4q p1rdx ,可令 t x 上，a (x2 px q)l24则2cx d idx 212 1dt,再利用递推法(x px q) (t a )2.三角函数有理式的积分sin x万能变换：tan： u,其他方法：cosx2u1 u21 u21 u22，dx 2 du1 u形式f (sin x,cos x)f ( sin x,cos x)t cosxf (sin x,cos x)f (sin x, cosx)t sin xf (sinx,cosx)f ( sin x, cosx)t tanx2、 tann xdx 与 cotn

21、xdx n n对于 tann xdx令 t tanx对于 cotn xdx 令 t cot x3、 secnxdx 与 cscn xdx n 为偶数 对于 secn xdx令 t tanx对于 cscn xdx 令 t cotx4、 sinm xcosn xdx当n,m至少有一个为 奇数时，可利用sin2 x cos2 x 1将其转化当n,m均为偶数时，利用2倍角转化五、a1sin x b. cosx , dxa sin x bcosx令他44x2 4 cosix)a1a4nx24cosj)b(acosxbsin x)解出a,b分子分母原函数为ax 31川产刘2 4cos3(|分母积分表kdx

22、 kx cxndx1)1dx xln x cx x aa dx cln asin xdxcosxcosxdxsin xtan xdx in cosxcot xdxin sin xsecxdxin secxtanxcscxdx in cscx cotx2sec xtanxcsc xdxcotxsecxtanxdx secx ccscx cot xdxcotxr1dx arcsin x、1 x21,八2 dx arctan x c1 x2dxarctaddx a2a,x a ln x a1xdx arcsin 一、a2 x2a1dx22x aln第五章、定积分、定积分的定义定义：设函数f(x)在a

23、,b上有界，在a,b内任意插入n-1个分点ax0x1lxn 1xnb把a,b分成n个小区间，为1,x/(i 1,2,l , n).记x xi xi 1 ,在第i个区间上n任取一点i,用f( i)乘上区间长度 x,即f( i) xi,并作和 f( i) x .i 1记 max x1, x2,l , xn ,无论怎么分割，无论怎么取若 0时,bf (x) dxanf ( i) xi趋于同一极限，则称此极限为f(x)在a,b上的定积分.记作i 1bna f (x)dxlim0f ( i) xi0 i 1可积定理: 函数f(x)在a,b上连续 函数f(x)在a,b上有界，且仅有有限个第一类间断点 函数

24、f(x)在a,b上单调有界、定积分的性质b kf(x)dxabk f(x)dxab a f (x) g(x)dxbf(x)dxaba g(x)dx区间可加性bf (x)dxacf(x)dxabf(x)dxcb cdx (b ab f (x)dx aa)cba f(x)dx单调性:若a,b上f(x) g(x)则bf (x)dxaba g (x)dx估值性质：设m , m分别为f(x)在a,b上的最大值与最小值，则m(bba) f(x)dx m (b a)a定积分中值定理：若f(x)在a,b上连续，则在区间a,b上至少存在一点，s.ta1f (x)在a,b上的平均值为 一 bf(x)dx f( )

25、(bba a f(x)dxa)a若f(x)为奇函数， f (x)dxa0 ；若为偶函数af(x)dxaa0 f(x)dx(11) 02 f (sinx)dx02 f (cosx)dx xf (sin x)dx o f (sin x)dxf(x)为周期函数,t aa f(x)dxtt0 f (x)dx 2t f (x)dxnttf (x)dx n f(x)dx三、微积分学基本定理1. 变上限函数x(x) f (t)dt x a,b a定理：若f(x)在a,b上连续，则变上限函数 可导，(x) f(x)2. 原函数存在定理若f (x)在a,b上连续，则函数(x)是f (x)在a,b上的一个原函数3. newton-leibniz 公式(微积分基本定理)f(x)在a,b上连续，f(x)是f(x)在a,b上一个原函数b则 f(x)dx f (b) f(a)a若不满足连续条件，可分段积分四、定积分换元法定