高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版

1、【必修41第二章平面向量2.1练习1、画有向线段，分别表示一个竖直向上，大小为18n的力和一个水平向左、大小为 28n的力（1cm长表示10n）.2、非零向量 ab的长度怎样表示？非零向量 ba的长度怎样表示？这两个向量的长度相等 吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、 （1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点， 那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习f 第 2 3、根据图示填空：(1) a d c b nx.aftfi 3 i j，第 l4、根据图示填空：(1) ab;(2

2、) cd;(3) abd ;(4) cde .2,2.2 练习1、如图，已知a, b,求作a b.,y.i b. i(第i题2、填空：abad ;babc ;bcba ;odoa ;oa ob3、作图验证：(a b)2.2.3 练习1、任画一向量e,分别求作向量 a 4e, b 4eab.2、点c在线段ab上，且处勺，则acab,bccb 23、把下列各小题中的向量 b表示为实数与向量a的积：(1)a 3e, b 6e;(2)a 8e, b 14e;(3)a(4)a23 6,4、判断下列各小题中的向量 a与b是否共线:(1)a2e, b(2)a e1 e2,5、化简：(1)5(3a 2b)2e

3、;b 2e 2e2.4(2b 3a);111 ,、3(a 2b) 4(3a 2b) 2(a b);(x y)a (x y)a.6、已知向量oaob(o、a、b三点不共线)，求作下列向量:1 (1)om-(oa ob);- 1 (2)on -(oa ob);(3)og 3oa 2ob.2.3 练习1、已知向量a、b的坐标，求a b, a b的坐标： a ( 2,4), b (5,2);(2)a (4,3), b ( 3,8);(3)a (2,3), b ( 2, 3);(4)a (3,0), b (0,4).2、已知 a (3,2), b (0, 1),求 2a 4b ,4a 3b 的坐标.3、

4、已知a、b两点的坐标，求 ab,ba的坐标：(1)a(3,5), b(6；(2)a( 3,4), b(6,3);a(0,3), b(0,5);(4)a(3,0), b(8,0).4、已知点a(0,1), b(1,0), c(1,2), d(2,1),试判断ab与cd的位置关系，并给出证明.5、求线段a的中点坐标：(1)a(2,1), b(4,3);(2)a( 1,2), b(3,6);a(5, 4), b(3, 6).6、已知点o(0,0),向量oa (2,3),ob (6, 3),点p是线段ab的三等分点，求点 p的 坐标.37、已知点a(2,3), b(4, 3)，点p在线段ab的延长线上

5、，且 ap 3 pb ,求点p的坐 标.2.4.1 练习1、已知p 8,q 6, p和q的夹角是60,求p q.2、已知 abc中，ab a,ac b,当ab 0或a b 0时，试判断 abc的形状.3、已知a 6, e为单位向量，当a、e之间的夹角分别等于450,900350 0,画图表示a在e方向上的投影，并求出其值 .2,4.2 练习1、已知 a ( 3,4), b(5,2),求忖|,b, a b.(精确到10)2、已知 a(2,3), b (2,4),c(1,2),求ab,(ab) (a b), a (bc),(ab)2.3、已知a (3,2), b (5, 7),利用计算器，求a与b

6、的夹角习题2.1(第1题)1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：(1) oa 4，点a在点。正南方向；(2) pb| 2j2,点b在点o北偏西45o方向;(3) oc 2 ,点c在o南偏西30o方向。2、一人从点a出发，向东走500米到达点b,接着向北偏东 60o走300米到达点c,然后在 向北偏东45o走100米到达点d,试选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移。3、如图，d e、f分别是 abc各边的中点，写出图中与 de、ef、fd相等的向量。4、如图，在方格纸上的平行四边形 abc用折线mpqrst, 点 o是平行四边形 abcd的对角线的交点，且oa a,ob b,a

7、b c,分别写出图中与 a, b, c相等的 向量。5、已知边长为3的等边三角形abg求bc边上的中线向量ad的模ad 。6、判断下列结论是否正确(正确的在括号内打，错误的打“x”)，并说明理由。(1)若a、b都是单位向量，则a b()(2)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量()(3)方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量()(4)直角坐标平面上的 x轴、y轴都是向量.()b组1、有人说，由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示, 所以海拔也是向量，你同意他的看法吗？温度、角度是向量吗？为什么？2、在矩形 abcd43, ab=2bc m n分别为a

8、b和cd的中点，在以 a b c、d、m n为起点 和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？习题2.2a组1、设a表示“向东走10km”, b表示“向西走 5km”, c表示向北走10km, d表示向南 走5km”,试说明下列向量的意义。(1)aa;(2)ab；(3)ac;(4)bd;bcb;(6)dad2、一架飞机向北飞行 300km,然后改变方向向西飞行 400km,求飞机飞行的路程及两次位移 的合成。3、一艘船以8km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h,求船实际航行的速度的大小和方向(精确到1)4、化简:(1)abbcca(ab mb) bo om(3)

9、oaocboco(4) abacbdcd(5) oaodad(6) abaddc(7) nqqpmnmp5、作图验证：,、11(1)2(ab)2(ab)a1 1 ,.、,-(ab)(ab)b2 26、已知向量a, b,求作向量c,使a b c 0,表示a, b, c的有向线段能构成三角 形吗？7、作图验证：b a(a b)。8、已知a, b为两个非零向量：(1)求作向量a b及a b ；(2)向量a, b成什么位置关系时，a b a b (不要求证明)。9、化简：(1) 5(2a 2b) 4(2b 3a); 6(a 3b c) 4( a b c);1 1，八(3) (3a 2b) 5a -(6

10、a 9b);(4) (x y)(a b) (x y)(a b)2 310、已知 a e1 2e2,b 3e1 2e2,求 a b, a b,与3a 2b11、已知平行四边形 abcdw对角线ac和bd相交于。，且oa a,ob b,用向量a, b分别表示向量oc、od、dc、bc一 112、 abc中，ad -ab, de/bc ,且与边ac相交于点e, abc的中线am与de 4相交于点n,设ab a,ac b ,用a,b分别表示向量 ae、bc、d巨、db、ec、dnan13、已知四边形 abcd点e、f、g h分别是ab bg cd da的中点，求证：ef hg1、飞机从甲地以北偏西 1

11、5的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75的方向飞行1400km到达丙地，试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？2、已知a,b是非零向量，a b与a b一定相等吗？为什么?11 -一 1 -3、如图，am -ab,an ac,求证：mn - bc 3334、根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形abcd勺形状，并给出证明：(1) ad bc;(2) ad -bc； 3;(3)ab dc,且ab |ad|.5、已知。为四边形abcd所在平面内的一点，且向量oa、ob、oc、od满足等式oa oc ob od(1)作图并观察四边形 abc而形状；(2

12、)四边形abcm什么特性？试证明你的猜想。习题2.3a组1、已知表示向量a的有向线段始点 a的坐标，求它的终点 b的坐标：(1) a ( 2,1), a(0,0);(2) a (1,3), a( 1,5);(3) a ( 2, 5), a(3,7).2、已知作用在坐标原点的三个力分别为f1 (3,4), f2 (2, 5), f3 (3,1),求作用在原点的合力r f2 f3的坐标。3、已知平行四边形 abcd勺顶点a( 1, 2), b(3, 1),c(5,6),求顶点d的坐标。11-4、已知点 a(1,1), b( 1,5)及 ac ab, ad 2ab, ae ab,求点 c d e 的

13、坐 22标。5、x为何值时，a (2,3)与b (x, 6)共线？6、已知 a( 2, 3), b(2,1), c(1,4), d( 7, 4),试问 ab与cd 是否共线？7、已知点 o(0,0), a(1,2), b( 1,3),且 oa 2oa,ob 3ob,求点 a、b 及向量福 的坐标。b组11、已知点 o(0,0),a(1,2),b(4,5) ,op oa tab,当 t 1, , 2,2 时，分别求点 p 的坐标。22、判断下列各点的位置关系，并给出证明：(1) a(1,2),b( 3, 4),c(2,3.5);(2) p( 1,2),q(0.5,0),r(5, 6);(3) e

14、(9,1),f(1, 3),g(8,0.5)3、设e1,e2是平面内一组基底，证明：当 232 0时，恒有12 04、如图，设ox,oy是平面内相交成60角的两条数轴，312分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量op xs ye2,则把有序数对(x, y)叫做向量op在坐标系xoy中的坐标，假设op 3e1 2e2.(1)计算op|的大小；(2)由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？习题2.4a组1、已知 a 3, b 4,且 a与 b 的夹角 150,求 ab,(a b)2, a b2、已知 abc 中，a 5,b 8,c 60 ,求 bc ca3、已知 a 2, b 5

15、,a b 3,求 a b,a b.4、求证：(a) b (a b) a ( b)5、先作图，观察以 a、b、c为顶点的三角形的形状，然后给出证明：(1) a( 1, 4),b(5,2),c(3,4);(2) a( 2, 3),b(19,4),c( 1, 6);(3) a(2,5),b(5,2),c(10,7).6、设 a 12,b 9, a b54j2 ,求 a与 b 的夹角.7、已知 a 4, b 3,(2a 3b) (2a b) 61,求 a与 b 的夹角.8、已知a 8,b 10,a b 16,求a与b的夹角 (精确到1 ).(可用计算器)9、求证：a(1,0), b(5, 2),c(8

16、,4), d(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.10、已知a 3,b (1,2),且a/b,求a的坐标。11、已知a (4,2),求与a垂直的单位向量的坐标。b组1、已知a是非零向量，且 b c,求证：a b a c a (b c).2、如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点a(cos ,sin ), b(cos ,sin )，试用a、b两点的坐标表示aob的余弦值。3、证明：对于任意的 a、b、c、d r,恒有不等式(ac bd)2 (a2 b2)(c2 d2).4、如图，在圆c中，是不是只需知道圆 c的半径或弦ab的长度，就可以求ab ac的值?5、平面向量的数

17、量积 a b是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多 命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平 分等，请你给出具体证明。你能利用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗？习题2.5a组1、已知点a(1,0),直线l： y 2x 6,点r是直线l上的一点，若ra 2ap ,求点p的 轨迹方程.2、 abc中，d e、f分别是ar bg ca的中点，bf与cd交于点o,设ab a, ac b ,(1)证明a o e三点在同一直线上，且幽空 co 2;oe of od(2)用a、b表不向量ao .3、两个粒子 a b从同一源

18、发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 sa (4,3),sb (210) (1)写出此时粒子 b相对粒子a的位移s;(2)计算s在sa方向上的投影.一，一人，一. . .il v6 %/24、平面上二个力 巳、f? f3作用于一点且处于平衡状态，f1 1n,f2 n,2f1与f2的夹角为45 ,求：(1) f3的大小；(2)f3与fi夹角的大小b组1、以初速度vo,抛射角 投掷铅球，求铅球上升的最大速度和最大投掷距离2、一条河的两岸平行，河的宽度d=500m, 一艘船从a处出发到河对岸，已知船的静水速度v1 10km/h,水流速度 v2 2km/h ,要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与

19、合速度的比值必须最小，此时我们分三种情况讨论：(1)当船逆流行驶，与水流成钝角时；(2)当船顺流行驶，与水流成锐角时；(3)当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时， 与水流成直角时，所用时间最短.3、已知对任意平面向量ab (x,y),把ab绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量ap (xcos ysin ,xsin ycos ),叫做把点b绕点a逆时针方向旋转角得到点p.(1)已知平面内点 a(1,2),点b(1 32,2 232).把点b绕点a沿顺时针方向旋转 一后得 4到点p,求点p的坐标；(2)设平面内曲线 c上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向

20、旋转一后得到的点的轨迹是曲线422x y 3,求原来曲线c的方程.复习参考题a组1、判断下列命题是否正确：(1)ab ba 0()(2)ab bc ac()(3)ab ac be()(4)0ab 0()2、选择题：(1)如果a, b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是()(a)a b(b)a b 122 122(c)a b(d)a b(2)对于任意向量a, b,下列命题中正确的是(a)若a, b满足a b ,且a与b同向，则a b(b) a b a b(c) a b a|b(d) a b a b(3)在四边形abc邛，若ac ab ad ,则().(a) abcd矩形(b) abc皿菱形

21、(c) abcd正方形(d) abc皿平行四边形(4)设a是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是()(a)a与 a的方向相反(b)aa(c)a与2a的方向相同)a a(5)设m是平行四边形 abcd勺对角线白交点，o为任意一点,则 oa ob ocod等(a)om(b)20m(c)3om(d)4om(6)下列各组向量中，可以作为基底的是(a)ei(0。)，e2(1, 2)(b)ei(1,2), e2 (5,7)(c)ei(3,5), e2(6,10)(d)ei13(2, 3), e2 (-,-)3、已知ab adac ,且 ac a,bda, b表示 ab、ad .4、已知六边形abcdef

22、为正六边形且aca,bd b ,分别用a,b表不de、ad、bc、ef、fa、cd、ab、ce .5、已知平面直角坐标系中，点o为原点，a( 3, 4), b(5, 12).(1)求ab的坐标及|ab| ；(2)若 oc oa ob,od oa ob ,求 oc及od 的坐标;求oa ob.6、已知点a(0,1), b(1q), c(1,2), d(2,1),试判断向量 ab和cd的位置关系，并给出证明.7、已知点 a(1,1), b( 1,0), c(0,1),求点 d(x, y),使 ab cd .8、n为何值时，向量a (n,1)与b (4, n)共线且方向相同？9、已知 a (1,0)

23、, b (1,1), c ( 1,0),求和，使 c a b.10、已知 abc的顶点坐标为 a(1,1), b(4,1), c(4,5),求 cosa,cosb,cosc 的值.11、已知单位向量 m和n的夹角为60,求证：(2n m) m ,并解释其几何意义.12、已知a (1,0), b (1,1),为何值时，a b与a垂直？13、已知a 曲|b 2, a与b的夹角为300,求a b,a b .14、如图所示，支座 a受f1、f 2两个力的作用，已知f1 40n ,与水平线成角;f2 70n ,沿水平方向；两个力的合力f| 100n,求角 以及合力f与水平线的夹角b组1、选择题:(1)已

24、知 ab a 5b、bc2a 8b、cd 3(a b),则()(b) a、r c三点共线(d) a、c d三点共线(a) a、b、d三点共线(c) b、c d三点共线(2)已知正方形 abcd勺边长为1, ab a,bc b,ac c,则a b c等于(a) 0(b) 3(c) 22(d) 2 2(3)已知 oa a,ob bqcc,od d ,且四边形abc阴平行四边形，则(a)a b c d 0(b)a b c d 0(c)a b c d 0(d)a b c d 01,c 3 ,则a b c等于(d). 2或. 5(7)等边三角形abc的边长为1,bc a,ca b,abc ,那么a b

25、b c c a等于(4)已知 d e、f分别是 abc的边bg ca ab的中点，且 bc a,ca b ,ab c,则11111 一 efc b； be ab；cf-ab； adbecf0 中正确22222的等式的个数为().(a) 1(b) 2(c) 3(d) 4(5)若e1、e2是夹角为600的两个单位向量，则a2e1e2;b3e12e2的夹角为().(a)300(b)600(c)1200(d)1500(6)若向量a、b、c两两所成的角相等，且a 1,b().(a) 2(b) 5(c) 2或 5().一 33(a)3(b) 3(c)2(d)-2、已知向量a, b为非零向量，求证： a b a b a b ,并解释其几何意义3、已知向量a, b, c, d为非零向量，且a b c,