高中数学必修四向量练习题(附解析)

1、第五章第二节基础巩固强化一、选择题1.(文)(2014郑州月考)设向量a=(m,1), b=(1, m),如果a与b共线且方向相反，则m的值为()a. 1b. 1c. 2d. 2答案a解析 设a= ?b( 0),即m=入且1 =入m解得m = +，由于 k0,，m= 1.点评1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若 a=(x1, y1)，b=(x1, y2),则 a/b? xy2x2y1=0,当a, b都是非零向量时，a b? x1x2+y1y2=0,同时还要注意 a/b与x2=y2不等价.2.证明共线(或平行)问题的主要依据:对于向量a, b,若存在实数n使得b=冏则向量a与b共线(平

2、行).(2)a=(x1, y1), b= (x2, y2),若 x1y2x2y1=0,则向量 a /b.(3)对于向量a, b,若|ab|=|a|b|,则a与b共线.要注意向量平行与直线平行是有区别的.(理)(2013荆州质检)已知向量a=(2,3), b=(-1,2),若ma+nb与a2b共线，则:= ()a. 2b. 21 1c. -2d. 2答案c解析由向量 a=(2,3), b=(1,2)得 ma+nb= (2m-n,3m + 2n), a 2b= (4, 1),因为 ma+ nb 与 a2b 共线，所以(2m-n)x (- 1)-(3m+2n)x 4= 0,整理得 m= 2.2. (

3、2014山东青岛期中)设a, b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使看+=0|a| 1b|成立的是()c. a=2bd. ab答案a解析由题意得曰=白，而a表示与a同向的单位向量，一；b表示与b反向的单位 间 |b|a|b|向量，则a与b反向.而当a=- 3b时，a与b反向，可推出题中条件.易知 b, c, d都不正确，故选a.警示由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：（1）单位向量a,要知道它的模长为1,方向同a的方向；（2）对于任意非零 |a|向量a来说，都有两个单位向量，一个与 a同向，另一个与 a反向；（3）平面内的所有单位向量的起点都移

4、到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；（4）相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；（5）相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量.3. (2015广州执信中学期中)在4abc中，点p在bc上，且bp= 2pc,点q是ac的中点，若 pa=(4,3), pq=(1,5),则 bc=()a. (-2,7)b. (-6,21)c. (2, - 7)d. (6, -21)答案b一,一，一， 解析由条件知，pc = 2pq -pa = 2(1,5) (4,3) =( 2,7), -，bp=2pc=(-4,14),. bc=bp

5、+ pc=(-6,21).4,在四边形 abcd 中，ab = a+2b, bc=- 4ab, cd = 5a 3b,其中 a, b 不共线, 则四边形abcd为()a.平行四边形b.矩形c.梯形d.菱形答案c，一 解析.ad = ab+bc+cd = -8a-2b= 2bc,四边形abcd为梯形.5.（文）（2014德州模拟 ob = xoa+y5c, x, ycr且a, b, c三点共线（该直线不过点 o),则 x+y=()a. 1b. 1c. 0答案b解析如图，设 ab=忠,d. 2一，f f f f f f则 ob=oa + ab = oa+ ?ac=oa+ xoc oa)= oa +

6、qc ；oa=(1-oa+ oc x= 1 入 y = -x+ y = 1.点评用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功.在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解.充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来.（理）（2013安庆二模）已知a, b是不共线的两个向量，ab=xa+b, ac=a+yb（x, yc r）, 若a, b, c三点共线，则点 p（x, y）的轨迹是（）a.直线b.双曲线c.圆d.椭圆答案b解析/a, b, c三点共线，存在实数入，使ab=启.x %贝u xa+b= ?（a+yb）?xy=1,故选 b.

7、1 =入y6. （2014湖北武汉调研）如图所示的方格纸中有定点o, p, q, e, f, g, h,则op + 0q=()a.ohc.eo答案解析b. ogd. fo由平行四边形法则和图示可知，选d.二、填空题7.已知a=(2,3), b= (sin a,cos2 a),兀2,答案j33解析. a/b,sin & cos2 &33sin a,2sin2(x 3sin(x 2=0,1sin a|ag）, .-.=1eeaaf,1+入 1+入1 -1 -qab+ qac =33-ab +入入3 一-ac1+入1_ 3入市11寸=3.(理)在 abc中,过中线ad的中点e任作一条直线分别交ab、

8、ac于m、n两点，若am = xab ,an = yac,则4x+ y的最小值为答案解析r i 一 ,“一乙17 告 告 1 7如图所不，由题意知 ad=2(ab + ac), ae = -ad又m,巳n三点共线,所以ae=心m + (14an(其中01 ,贝u 4x+尸1入+15 9= (tt)+= +4=32当且仅当t=3,即上2时取得等 23三、解答题、一，一 受.，10 .(又)已知 0(0,0)、a(2, 1)、b(1,3)、op=oa + tob,(1)t为何值时，点p在x轴上？点p在y轴上？点p在第四象限?(2)四点o、a、b、p能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由.解析(

9、1)op = oa+ tob =(t+ 2,3t 1).若点p在x轴上，则3t-1=0, .t=1;3若点p在y轴上，则t+2=0, .t=-2；t+201若点p在第四象限，则, -2t-.3t-1d(a, b),则()b.b (a b)c. a(a-b)d.(a+ b) (a - b)答案b解析由于d(a,b) = |ab|,所以对任意的tc r,恒有 d(a, tb)只d(a, b),即 |a- tb| 刁a-b|,由图示可知，向量atb的模的最小值是 ab的模，故a b与b垂直，故选b.y, xy，min x, y=x, xy(理)(2014 浙江)记 maxx, y= y, xy量，则

10、()a . min|a+b|, |ab| 有关，故a、b错;当a, b 为锐角时，|a + b|a- b|,此时 |a+b|2|a|2+|b|2当a, b 为钝角时，|a + b|a- b|,此时 |a+b|2|a|2+|b|2 = 90 时，|a+b|=|a b|,此时 |a+b|2 = |a|2+|b|2.故选d.、填空题、， 一 f 一 .15. （2013广东江门质检）设a, b是两个不共线向重，ab = 2a+pb, bc=a+b, cd = a 2b,若a、b、d三点共线，则实数 p的值是.答案1解析、b、d三点共线，ab与bd共线，心 一二 一.ab=2a+pb, bd=bc+c

11、d=2a-b,，存在实数 入，使2a+pb= ?（2ab）,a与b不共线，壮1, p=- 1.16. （2014广雅中学月考）梯形 abcd中，ab/cd, ab=2cd, m、n分别是 cd、ab 的中点，设 ab=a, ad = b.若mn = ma+nb,则n =.md x c答案4-e r l - -二t .一一 一 1111n解析mn= md + da + an = - 4a-b+-a=4a- b, . =-, n= - 1, . -=-4.三、解答题一兀17. （2014福建三明检测）已知向量a=（sin% -2）, b=（1, cos,其中 式（0,金）.(1)向量a, b能平行

12、吗？请说明理由.(2)若 a b,求 sin a 和 cos a 的值.在(2)的条件下，若cos 3= u，因(0，2),求计3的值.解析 向量a, b不能平行.若平行，需sinocosa+ 2=0,即sin2 a= 4,而4?1,1,，向量a, b不能平行.(2) . ax b, .a b= sin a 2cosa= 0,即 sin a= 2cos o.又sin2 a+ cos2 a= 1 ,. 4cos2 a+ cos2 a= 1 , 即 cos2 a= 5,c 4兀 sin2a= 5.又代(0, 2),.25士- sin a= 5 , cos a= 5 .,a.r5v5近小兀/口3航(3)由(2)知sin a= 5 ,cosa= 5 ,cos 3= 10 ,跃(0,-),得sin 3= 10 .贝u cos( a+ q = cos ocossin asin 3,15. . .10 2.5、，3 1012=5 * 10 5 * 10 = 2.又 a+ 3 (0,力，则 a+ 3= -4.18. (2014宁阳一中检测)如图所示， abc中，点m是bc的中点，点n在边ac上,且an=2nc, am与bn相交于点 p,求ap pm的值.解析设 bm = e1，cn=e2,则 am = ac+cm