高中数学第三册(选修Ⅱ)第3章导数(第2课时)导数的概念(二)

1、精品资源课题： 3 1 导数的概念（二）瞬时速度教学目的：1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义.2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度3.理解足够小、足够短的含义教学重点： 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度.教学难点： 理解物体的瞬时速度的意义授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度教学过程 ：一、复习引入：曲线的切线如图，设曲线c 是函数 yf ( x) 的图象，点p( x0 , y0 ) 是曲线

2、c 上一点 作割线 pq 当点 q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 p，割线 pq 无限地趋近于某一极限位置 pt 我们就把极限位置上的直线 pt，叫做曲线 c 在点 p 处的 切线yy=f(x)qypxmox2.确定曲线c 在点 p( x0 , y0 ) 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线 pq 的倾斜角为，切线 pt 的倾斜角为，既然割线 pq 的极限位置上的直线 pt 是切线， 所以割线 pq 斜率的极限就是切线 pq 的斜率 tan ,即欢下载精品资源tan = lim0ylim0f ( x0x) f ( x)x

3、xxx二、讲解新课：1.瞬时速度定义： 运动物体经过某一时刻(某一位置 )的速度， 叫做瞬时速度 .2. 确定物体在某一点 a 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点 a 处的瞬时速度，从 a 点起取一小段位移aa1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过a 点的瞬时速度 .当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过 a 点的瞬时速度了 .我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的 运动方程 或位移公式 ，现在有两个时刻 t0， t0+ t，现在问从

4、 t0 到 t0+ t 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为 s=s(t0+ t) s(t 0)(t 称时间增量 )ss(t0t)s(t0 )平均速度 vtt根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小， 现在位移由时间t 来表示， 也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从 t0 到 t0+t，这段时间是t . 时间t 足够短， 就是t 无限趋近于0. 当 t 0 时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度 v lim vs(t0t ) s(t0 )limtt 0t 0所以当 t 0 时，平均速度的极限就是瞬时速度三、讲解范例：例 1 物体自由落体的运动方程 s

5、=s(t)=1gt2，其中位移单位m，时间单位 s，2g=9.8 m/s2. 求 t=3 这一时段的速度 .解：取一小段时间 3，3+t，位置改变量1212gs= g(3+ t)g3 =(6+222s1g(6+ t)t) t，平均速度 v2t欢下载精品资源瞬时速度 vlim vlim1g(tt ) 3g 29.4 m/st 0t 02由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g 3=3g=29.4 m/s例 2 已知质点 m 按规律 s=2t2+3做直线运动 (位移单位： cm，时间单位： s)，(1)当 t=2，st=0.01 时，求.ts(2)当 t=2，t=0.001 时，求.t

6、(3)求质点 m 在 t=2 时的瞬时速度.分析：s 即位移的改变量，t 即时间的改变量，s 即平均速度，当tt越小，求出的s 越接近某时刻的速度 .t解：ss(tt ) s(t) 2(tt )23(2t 23)ttt=4 t+2 t (1)当 t=2，t=0.01 时，s=4 2+2 0.01=8.02 cm/st(2)当 t=2，t=0.001 时，s=4 2+2 0.001=8.002 cm/st(3)v= limslim (4t+2t)=4t=4 2=8 cm/stt0t0四、课堂练习 ：1. 一直线运动的物体， 从时间 t 到 tt 时，物体的位移为s ，那么 limst 0t为（）

7、从时间 t 到 tt 时，物体的平均速度；在 t 时刻时该物体的瞬时速度；当时间为t 时物体的速度；从时间 t 到 tt 时物体的平均速度2一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位： m，时间单欢下载精品资源位： s)，求小球在t=5 时的瞬时速度解：瞬时速度 v= lims(5t )s(5)lim(5t)252t0tt0tlim (10+ t)=10 m/s.t 0瞬时速度 v=2t=25=10 m/s.2做直线运动 (位移单位： cm，时间单位： s)，求质3.质点 m 按规律 s=2t +3点 m 在 t=2 时的瞬时速度 .解：瞬时速度 v= lim s(2t)s(2)lim 2(2t) 23 (2 223)t 0tt 0t= lim (8+2t)=8 cm/s.t0点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了 .运用数学工具来解决物理方面的问题， 是不是方便多了 .所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内