高中数学第三册(选修Ⅱ)第4章复数(第7课时)复数复习小结

1、精品资源课题：复数复习小结教学目的：1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等) 对应的实参数值 .3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义教学重点： 复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用教学难点： 复数的知识结构的梳理授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、知识要点：虚数单位 i:(1)它的平方等于-1，即i21; (2)实数可以与它进行四则1.运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2.i 与 1 的关系

2、:i 就是 1 的一个平方根，即方程x2= 1 的一个根，方程 x2= 1 的另一个根是i3.i 的周期性： i 4n+1 =i,i 4n+2 =-1, i4n+3=-i,i 4n=14.abi (a,br)的数叫复数，a叫复数的实部， b 叫复复数的定义： 形如数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母c 表示 *3.复数的代数形式 : 复数通常用字母z 表示，即 za bi (a,b r) ，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系： 对于复数 abi ( a, br) ，当且仅当 b=0 时，复数 a+bi(a、 br )是实数 a；

3、当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做 虚数；当 a=0 且 b 0 时， z=bi 叫做 纯虚数 ；当且仅当 a=b=0 时， z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：nzqrc.6. 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b， c， d r，那么 a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点 z 的横坐标是a，纵坐标是b，复数 z=a+bi(a、br )可用点 z(a，b)表示，欢下

4、载精品资源这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，也叫高斯平面， x 轴叫做实轴 ， y 轴叫做 虚轴 实轴上的点都表示实数对于 虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0， 0)， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数 .故除了原点外， 虚轴 上的点都表示 纯虚数8复数 z1 与 z2 的和的定义 ： z1+z2=(a+bi)+(c+di )=( a+c)+( b+d)i.9. 复数 z1 与 z2 的差的定义： z1-z2=(a+bi)-( c+di)=( a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律 : z1+z2=z2+z1.11. 复数的加法

5、运算满足结合律 : (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)12乘法运算规则： 设 z1=a+bi， z2=c+di(a、 b、 c、d r)是任意两个复数，那么它们的积 (a+bi)(c+di)=( ac bd)+( bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2 换成 1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.13.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z 1z2)z3 ; (2)z1(z2+z 3)=z1 z2+z1z3;(3) z1(z2+z3)=z1 z2+z1z3.14.除法运算规则：设复数 a+bi(a， br )，除以 c+

6、di (c，d r )，其商为x+yi(x， y r)，即 (a+bi) (c+di)= x+yi (x+yi)( c+di)=(cx dy)+(dx+cy)i . (cx dy)+( dx+cy)i=a+bi.cxdya,xacbd,由复数相等定义可知c 2d 2dxcy,解这个方程组，得bcadb.yc2d2 .acbdbcad于是有 :(a+bi) (c+di)=d 2c2d 2i .c2利用 (c+di)(c di)=c2+d2.于是将 abi 的分母有理化得：cdi原式 = abi(abi )(cdi ) acbi( di ) (bc ad )icdi(cdi )(cdi )c2d

7、2(acbd )(bcad )iacbdbcadi .c2d 2c2d 2c2d 2acbdbcad (a+bi) (c+di)=d 2c 2d 2 i .c2欢下载精品资源15* .共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 共轭复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做 共轭虚数16. 复数加法的几何意义： 如果复数 z1， z2 分别对应于向量 op1 、 op2 ，那么， 以 op 1、op2 为两边作平行四边形op1sp2，对角线 os 表示的向量os 就是 z1+z2 的和所对应的向量17.复数减法的几何意义：两个复数的差z z1 与连接这两个向量终点并

8、指向被减数的向量对应.18 复数的模：| z | abi | |oz |a2b219. 复数 z abi 的辐角及辐角主值：以x 轴的yz(a，b)非负半轴为始边、以oz 所在射线为终边的角在 0, 2)br内的辐角就叫做辐角主值，记为argz20. 复数的三角形式：zabir (cosi sin)oax其中 ra2b2， cosa， sinb；rr复数的三角形式的特征：模 r 0；同一个辐角的余弦与正弦；cos 与 i sin之间用加号连结21. 复数的三角形式的乘法：若 z1r1 (cos 1i sin 1 ), z2r2 (cos 2i sin 2 ) ，则 z zrr (cos()i

9、sin()121 2121222. 复数的三角形式的乘方 (棣美弗定理 )：若 zabir (cosi sin) ，则 znr n (cosni sin n )23. 复数的三角形式的除法：若 z1r1 (cos 1 i sin1 ), z2r2 (cos 2i sin 2 ) ，则 z1z2r1 (cos( 12 )i sin( 12 )r224. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算：复数 zabi 开平方，只要令其平方根为xyi ，欢下载精品资源由 ( x yi) 2abix2y2a ，解出 x, y 有两组解2xyb复数 z r (cosi sin) 的 n方根为：n r (co

10、s2kni sin2k),( k0,1, , n 1)共有 n 个值n二、讲解范例：例 1 对于下列四个命题，正确的是()2 2 z1， z2， z3 c，若 (z1 z2) +(z2 z3) =0 ，则 z1=z3设 z c ，则 z+ 1 r 的充要条件是z=1z复数不能比较大小 z 是虚数的充要条件是z+ z ra.0 个b.1 个c.2 个d.3个答案 ：a例 2.当 n n* ，计算 in，下列四个结论正确的是()nnnn44 =1n2(1)n其值不定a. i =(i ) 4 =1b. i =(i ) 2ni) n 其值不定c.i n=(i 3) 3 3(d. in 值可能是 i ，

11、也可能是 1答案： d例 3 非零复数22，则 (a1999b1999a、b 满足 a +ab+b =0b)() 的值是 ( )aaba. 1b.1c.2d.2答案： b例 4 已知复数 z=1 2i ，求适合不等式 log 0.5|azi |1的实数 a 的取值范围 .a 12解：原不等式化为 | az i |( 1 )21，a12欢下载精品资源即 | a(12i) i |2a 1,a 2(2a1)22a 1,2即2a 10,a1,a1或 a1,11即52a 或 1 a.a152点评：本题是对数不等式和复数模的概念的综合应用三、课堂练习 ：1设集合i=c= 复数 ， r= 实数 ， m =

12、纯虚数 ，那么a. r m =cb.r m =0c.r r =cd.c r =m2.a=0 是复数 a+bi (a,br )为纯虚数的a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分又不必要条件3.若 (m2 m)+( m2 3m+2) i 是纯虚数，则实数m 的值为a.1b.1 或 2c.0d. 1， 1，24.若实数 x,y 满足 (1+ i)x+(1 i)y=2,则 xy 的值是a.1b.2c. 2d. 35.已知复数22z1=a 3+( a+5) i,z2=a 1+( a +2a 1)i(a r)分别对应向量 oz1 、oz2 （ o 为原点），若向量 z1z 2 对应的复数为纯虚数，求a 的值答案： 1.c 2.b3.c