高中数学第八章圆锥曲线教案对称问题教案教学案苏教版

1、圆锥曲线教案对称问题教案教学目标1 .引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法.2 .通过对称问题的研究求解，进一步理解数形结合的思想方法，提高分析问题和解决 问题的能力.3 .通过对称问题的探讨，使学生会进一步运用运动变化的观点，用转化的思想来处理 问题.教学重点与难点两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点.把数学问题转化为对称问题，即用 对称观点解决实际问题是难点.教学过程师：前面学过了几种常见的曲线方程，并讨论了曲线的性质.今天这节课继续讨论有 关对称的问题.大家想一想：点p(x, y)、p (x , y)关于点q(x0, y。对称，那么它们的坐标应满足什么条件？生；q点

2、是p和n的中点，即满足题=雪，y小学.师：p(x, y), p (x , y)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？生：p和p的中点是原点.即 x=-x 且y=-y .师：若p和p关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？生：x=x且 y=-y .师：若p和p关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？生：y=y且 x=-x .师：若p和p关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？生：y=x 且 x=y.师二双曲线之工=1与ui的位置如何？ a b a o生：它们关于直线 y=x对称.师：若p与p关于直线ax+by+c=0对称，它们在位置上有什么特征？生：p和p必须在直线 ax+by+c=0的两侧.师：还有

3、补充吗？生：pp的连线一定与直线 ax+by+c=0垂直.师：p与p在直线 ax+by+c=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗？生：还需要保证 p和p到直线ax+by+c=0的距离相等.师：p与p到直线ax+by+c=0的距离相等的含义是什么？生：就是p与p的中点落在直线 ax+by+c=0上，换句t说p与p的中点坐标满足直线方程ax+by+c=q师：下面谁来总名一下，两点 p(x, y)、p (x , y)关于直线ax+by+c=0对称应满 足的条件？生：应满足两个条件.第一个条件是pp的连线垂直于直线 ax+by+c=q第二个条件是p, p的中点应落在直线 ax+by+c=0上.师：这两个条

4、件能否用方程表示呢？(在黑板上可画出图形(如图2-72),可直观些)r-4rt ra+by+c=o图 e-t2生：方程组：、，（令 rj汉-对 b x + x 一 y + y1a* -+ b* j + c = o.i 22师：这个方程组成立说明了什么？它能解决什么问题？生：方程组中含有x , y,也可认为这是一个含 x , y的二元一次方程组.换句 话说，给定一个点 p（x, y）和一条定直线 ax+by+c=q可以求出p点关于直线ax+by+c=0的 对称点p （x , y）的坐标.师：今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性.但也还有其他方法， 大家一起看下面的例题.例1已知直

5、线11和l 2关于直线2x-2y+1=0对称（如图2-73）,若l 1的方程是3x-2y+1=0 ,求 1 2 的方程.（选题目的：熟悉对称直线方程师：哪位同学有思路请谈谈.生：先求出已知两直线的交点, 用点斜式求得12的方程.12的斜率为k,由两条直线的夹角公式可求出k,再（让这位同学在黑板上把解题的过程写出来，大家订正.2x -2y +1 = op- 2y +1 = 0.因为交点为（s设&的斜率为k,由两直线的夹角公式3 2-1 2，所取.由点斜式，12的方程为4x-6y+3=0 .师：还有别的解法吗?生：在直线li上任取一点，求出这点关于 2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两

6、点式可求出12的直线方程。(让这位学生在黑板上把解题过程写出来，如有错误，大家订正. )解 由方程组:2x -2y + l = 0f| 3x - 2y +1 = 0,l求得交点为(0，；),在直线上任取一点p。，2),找p关于直线看 2y + l = 0的对称点v (/ , y,)(如图2*74).图 2-74f33所以 |所以卷r =2)由直线2区-2y+ 1 = 0与电交点(0, j可求得直线12的方程：依+ 3u=0.师：还有别的解法吗？生：在12上任取一点p(x, y),则p点关于2x-2y+1=0对称的点p (x , y)在1 i 上，列出巳p的方程组，解出 x , y,代入li问题

7、就解决了.师：请你到黑板上把解题过程写出来.解 设p(x , y)为12上的任意一点，则p点关于直线2x-2y+1=0对称，点p (x , y)在1 i上(如图2-75),用心爱心专心7|y-y .对 v + v-2 + l = 0.2-x + 6y - 3从中可得;54k + y + 25又因为 p (x , v, )在直线 li： 3x-2y+1=0 上,所以 3 x -2y +1=0.ccivig r + 6y_3 c 4x+y+2 .所以 3,j2* + 1 = 0,即l 2的方程为：4x-6y+3=0 .i改为师：很好，大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法.那么，如果把1曲线

8、，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？引申：已知：曲线 c: y=x2,求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程.(选题目的：进一步熟悉对称曲线方程的一般方法.)师：例1中的几种解法还都适用吗？生：第二种和第三种方法还能适用.师：谁来试一试？生：可先在y=x2上任取一点po(xo, yo),它关于直线的对称点p (xi, yi),可得它们的交点，从中解出xo, y0代入曲线y=x2即可(如图2-76).(让学生把他的解法写出来.)解 设po(xo,yo)是曲线c： yi),因此，连结po(xo, yo)和 py=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=o对称的点为p (xi, (x i, y

9、i)两点的直线方程为y-yo=-(x-x o).得交点(一由中点坐标公贰得：=区2,曲用心爱心专心16力+ 2,代入曲线/泉/-2 =0+2尸，于是可知所求的对称曲线方程 为bs = ya +4y+ 6.师:还有不同的方法吗?生:用两点关于直线对称的方法也能解决.师:把你的解法写在黑板上.生:点，所以所以31x +x0 y+y0解：设m(x, y)为所求的曲线上任一点，m(xo, yo)是m关于直线x-y-2=o对称的m)定在曲线 c: y=x2上.代入c的方程可得x=4y2+4y+6.师：大家再看一个例子.例2己知点a(0. 2)和圆c； (x-6)?+(广4了=彳，一条光线从a点出发射到x

10、轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从a点到切点所经过的路程.(如图2-77)0a,图 2-t7师：解这题的关键是什么?生：关键是找到x轴的交点.师：有办法找到交点吗?生：没人回答.师：交点不好找，那么我们先假设 助吗？m就是交点，利用交点 m对解决这个问题有什么帮生：既然am是入射光线，mm反射光线, 能推出/ amo =dmxd为切点，这样入射角就等于反射角，从而师：我们要求|am|+|md|能解决吗?生：可以先找a关于x轴的对称点a (0, 把求|am|+|md|就可以转化为|a m|+|md|即|a-2),由对称的特征知：|am|=|a m)这样 d| .师:|a d|怎么求呢?生:

11、结 a c,|a d|实际上是过a点到圆切线的长,在 rtaa cd |cd| 和 |a c| 都已知,要求切线长，只需先连结半径cd，再连|ad|就可以得到了.(如图2-77)(让这位学生把解答写在黑板上.)解 已知点a关于x轴的对称点为 a (0-2),所求的路程即为|a，d|,在rtaa，cd 中，ai d|a =|a? c|2-|cd|2 ,所以d|= 孝,光线a点到切点所经过的路程：|am|十|md尸叩平苧.师：巧用对称性，化简了计算，很好.哪位同学能把这个题适当改一下，变成另一个 题目.生：若已知 a(0, 2), d(4, 1)两定点，在x轴上，求一点 p,使得|ap|+|pd|

12、为最短.师：谁能解答这个问题？生：先过a(0, 2)关于x轴的对称点 a (0, -2),连za d与x轴相交于点p, p为所求(如图2-78).图 2-7s师：你能保证|ap|+|pd|最短吗？生：因为a, a关于x轴对称，所以|ap|=|a p| ,这时|ap|+|pd|=|a d|为线段，当 p点在x轴其他位置上时，如在p处，那么，连结ap、a p和p d,这时|ap |+|p d|二|a p|+|p d|a d| .理由(三角形两边之和大于第三边 ).所以|a d|为最短.即p 为所求.一：这题还能不能再做些变形，使之成为另一个题目？36生工已知工点0, 2)和圆巳6)、任.4了二票，

13、14旺分别为x轴和圆c上的动点，求|am|+|mp|的最小值.师：哪位同学能够解决？生：先作a点关于x轴的对称点a (0, -2),连结a和圆心c, a c交x轴于m点， 交圆于p点，这时|am|+|mp|最小(如图2-79).图279师：你怎样想到先找 a点关于x轴的对称点a的呢？生：由前题的结论可知，把 a喉段相i到x轴下方，尽可能使它们成为直线，这样 |a m|+|mp| 最小.师：很好，大家一起动笔算一算 (同时让这位学生上前面书写).生：解a点关于x轴的对称点为 a (0, -2),连a c交x轴于m交圆c于p点，因 为 a (0 , -2) , c(6, 4),所以 |a c|二后

14、7铲不可 =6巧.所以#有巧,也为圆半径)所以的最小值是|(5点-j5).师：我们一起看下面的问题.例3若抛物线y=a x2-1上总存在关于直线 x+y=0对称的两点，求 a的范围.这：这题的思路是什么？生：如图2-80,设a(xi, yi), b(x2, y?)是抛物线上关于直线 x=-y对称的两点，则ab的方程可设为y=+b,解方程：得ab中点c的坐标(-g, 1),联立； = ：+:所以-x-e + l)=ok + xb11*(*),按题意，(*)式 = l+4a(b + l)0.又由式 三 =22a2所以，独=1再由a。可得次;.师：很好，谁还有不同的解法吗？生：曲线y=ax2-1关于

15、直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay 2-1 ,解方程组：，世 j； ny + x=d-y). i - x = ay-1,因为x + y卢q,所以y = x,代入y=自父.1得到关于区的二次方程:a3a2x3 - a x + (1 - a) = 0,由()有次“师：今天我们讨论了有关点，直线，曲线关于定点，定直线，对称的问题.解决这些 问题的关键所在就是牢固掌握灵活运用两点关于定直线对称的思想方法，结合图象利用数形结合思想解决问题.作业：1 . 一个以原点为圆心的圆与圆：x2+y2+8x-4y=0关于直线l对称，求直线l的方程.(2x-y+5=0)2 . abcd1平行四边形，已知点 a(

16、-1 , 3)和c(-3, 2)，点d在直线x-3y-1=0上移动， 则点b的轨迹方程是.(x-3y+20=0)3 .若光线从点 a(-3 , 5)射到直线3x-4y+4=0之后，反射到点 b(3 ,9),则此光线所经过的路程的长是 .(12)4 .已知曲线c: y=-x 2+x+2关于点(a , 2a)对称的曲线是 c,若c与c有两个不同的 公共点，求a的取值范围.(-2 a 1)5 .设f骂是椭圆至角+红了=1的两焦点，p是直绻-y =1上的点，求|pfj+|p日的最小值及相应的点p的坐标. (4右，p(p -1)设计说明1 .这节课是一节专题习题课，也可以认为是复习题，通过讨论对称问题把

17、有关的知识 进行复习，最重要的是充分突出以学生为主体.让学生讨论和发言， 就是让学生参加到数学教学中来，使学生兴趣盎然，思维活跃，同时对自己也充满了信心.这样，才有利于发挥学 生的主动性，有利于培养学生的独立思考的习惯，发展学生的创造性和思维能力.因此，在数学教学中要有一定的时间让学生充分地发表自己的见解，从而来提高他们的兴趣， 发展他们的能力.2 .这节课自始至终贯穿数形结合的数学思想，让学生在脑海里留下一个深刻的印象， 就是对称问题，归根结底都可以化成点关于直线的对称问题，即可用方程组去解决. 反过来，一直线与一曲线的方程组消元后得到一元二次方程，若这二次方程的判别式大于零，也可得直线与曲

18、线有两个交点， 这种从形到数，再由数到形的转化为我们处理解析几何问题带来了 便利.在解题时，只有站在一定的高度上去处理问题，思路才能开阔，方法才能灵活，学生 的能力才能真正的得到培养，同时水平才能提高得较快.3 .习题课的一个中心就是解题，怎样才能让学生做尽可能少的题，从而让学生掌握通 理通法，这是一个值得研究和探讨的问题.本节课采取了让学生把题目进行一题多变，一题多解，从中使学生悟出一些解题办法和规律，从而达到尽可能做少量的题，而达到获取尽可能多的知识、方法和规律的目的，真正提高学生的分析问题、 提出问题、解决问题的能力.解 决当前学生课业负担过重的问题，根除题海战术给学生带来的危害.4.本课的例题选择可根据自己所教学生的实际情况，下面几个备用题可供参考.题目1过圆o: x2+y2=4与y轴正半轴的交点 a作这圆的切线l , m为l上任一点，过 m 作圆。的另一条切线，切点为 q求点m在直线l上移动时， ma谑心的轨迹方程.(选题目的：熟练用代入法求动点的轨迹方程，活用平几简化计算.)解 如图2-81所示.p为aamcq勺垂心，连 oq则四边形aoq明菱形，所以 |pq|=|oa|=2 ,设 p(xi, yi) , q(xo, yo).于是有 xo=xi 且力因为(% %)为已知圆上的点，所以