大一第二学期数学分析期末试题

1、精品文档数学分析 -2 样题(一)1.(4 分) 级数un 收敛的必要条件是lim u0;n1nn2. (4 分) 级数(1)n 1 13为（ A）.n 1n2A. 绝对收敛 ;B. 条件收敛 ;C.发散 ;D. 收敛性不确定 .3. (4 分) 幂级数( 1)n 1 3n xn的收敛半径为 ( D).n 1nA. R2; B.R1; C.R 3;D. R1.23一 .(各 5 分,共 20 分)求下列不定积分与定积分 :1.xarctan x dx2.e x dx3.0ex 1dx4.xsin2x dxln20 1cos x二 .(10 分)设 f ( x) 是上的非负连续函数 ,b( )0

2、 证明0 ( x a,b) .ff (x)x dx.a三. (10分)证明2sin x0 .0dxx四 . (15 分 )证明函数级数(1x) xn 在不一致收敛 , 在 0, (其中)一致收敛 .n0五 . (10 分 )将函数 f ( x)x,x0x,0 x展成傅立叶级数 .xy sin1,x2y20六 . (10 分 )设 f ( x, y)x2y20,x2y20证明 : (1) fx (0,0) ,f y (0,0) 存在 ;(2) f x( x, y) , f y ( x, y) 在 (0,0) 不连续 ;(3) f ( x, y) 在 (0,0) 可微 .七 . (10 分 )用钢

3、板制造容积为 V 的无盖长方形水箱 ,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板 ?.精品文档八 .(15分)设 01, 证明11n 1 n (n1).数学分析 -2 样题(二)一 . (各 5 分 ,共 20 分)求下列不定积分与定积分 :111.22(a0)2.x 7x2dxax dx815x 7x143.1dx4.1001cos2 xdxarcsin x00二 . (各 5 分 ,共 10 分)求下列数列与函数极限 :nnxxt21. lim2.lim22xedtnk1 nkx 0 1e0三 .(10 分 )设函数在 a, b 连续 ,对任意 a, b 上的连续函数 g ( x) , g (a)

4、g(b) 0 ,有b0 .证明 f ( x)0(x a,b) .f ( x)g ( x)dxa四 . (15 分 )定义 0,1上的函数列2n2 x,x12nfn (x)2n2n2 x1x12nn1x1n证明 fn ( x)在 0,1不一致收敛 .五 .(10 分 )求幂级数n 0( n 1)xn的和函数 .六 .(10分)用定义证明lim (4 x23y)19 .( x, y) (2,1)七 .(12 分 )求函数 u(2 axx2 )(2byy2 ) ( ab0) 的极值 .八 .(13 分 )设正项级数an收敛 ,且 anan 1(nN) .证明 lim nan0 .n 1nB4 若a

5、(x1)n 在 x1 处收敛，则此级数在x2 处（）4n1nA 条件收敛B 绝对收敛C 发散 D 敛散性不能确定4. 已知 exxn，则求 xe x(1)n xn 1n0n!n0n!.精品文档n5(7 分 ) 求幂级数( 1) (x 1)n 的收敛域 .n 1n16(7 分 ) 将 f ( x)2xx2 展开为麦克劳林级数 .11112 x x231x2 分x2 12113 分3 1 x6(1x2)11xnxn(1)n5 分3 n06 n0211( 1)n1xn6 分3n 02n 1-1X14. （本小题满分7 分）将 f ( x)1展开成 x3的幂级数，并求收敛域。x解： f ( x)1=1

6、1,(2分)3( x3)31( x3)3因为( 1)n xn1， x( 1,1), 所以n 01 x11( 1) n 1( x 3) n =( 1) n ( 1) n 1 ( x 3) n , 其中3 1 ( x 3)n 033n 0331 x 3 1 ，即 0 x6.(5分)3当x01发散；当x6时，级数为( 1)n 1时，级数为0 33nn 0发散,故1=( 1) n (1) n 1 ( x3) n， x(0, 6)， (7 分)xn 03（）设f ( x)在 a , b 上可积，则有 . D .精品文档 f ( x)在 a, b 上必定连续； f ( x) 在 a , b 上至多只有有限个间断点； f (x)的间断点不能处处稠密； f ( x) 在 a , b 上的连续点必定处处稠密（） 设un为一正项级数这时