结构力学 第五章 力法

1、、任务计算超静定结构的内力和位移。、任务计算超静定结构的内力和位移。 、依据静力平衡条件、变形协调条件。、依据静力平衡条件、变形协调条件。 、超静定结构的两种基本解法：、超静定结构的两种基本解法： 力 法以结构的多余未知力作为基本未知量。 位移法以结构的结点位移作为基本未知量。 1 5-1 5-1 超静定结构概述超静定结构概述 一、超静定结构特征一、超静定结构特征 静力特征： 几何特征： 要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束的内力，一 旦求出它们，就变成静定结构内力计算问题了。所以关键在于 解决多余约束的内力。 一个结构有多少个多余约束呢？ 2 二、超静定次数二、超静定次数 一个结构所具有

2、的多余约束数就是它的超静定次数。 P 1 X 1 X P Q A 1 X 1 X 2 X 2 X 1次超静定 2次超静定 切断一根链杆等于去掉一个约束 去掉一个单铰等于去掉两个约束 3 P 1 X 1 X 2 X 2 X 3 X 3 X 3次超静定切断一根梁式杆等于去掉三个约束 P 1次超静定在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束 1 X 1 X 4 1 3 4次超静定 5 6 5-2 5-2 力法的基本概念力法的基本概念 1 EI qq 1 X P1 1 X 11 一、基本思路一、基本思路 q （1）平衡条件 （a）（b）（c）（d） 如图（b）当 取任何值都满足平衡条件。 1 X （2）变形

3、条件0 11p1 0X1 11p1 力法基本未知量、基本体系、基本方程。 = 2 ql 2 1X1 7 1 X 11 P1 q （b）（c） EI q 1 X （a） l 2、力法基本体系悬臂梁 1、力法基本未知量 1 X 3、力法基本方程0X p1111 1X1 11 11111 X0X P1111 4、系数与自由项 11P1 , P M l 1 M EI8 ql dx EI MM 4 P1 P1 EI3 l dx EI MM 3 11 11 5、解方程 0 EI8 ql X EI3 l 4 1 3 ql 8 3 X 1 EI q 1 X l ql 8 3 X 1 6、绘内力图（以弯矩图为例

4、，采用两种方法） （1） 8 ql3 EI q l 8 ql 2 16 ql 2 M 2 ql 2 1X1 P M 1 M l （2） P11 MXMM 1 X 8 ql3 2 8 基本体系有多种选择； 1 EI q （a） q 1 X （b） 1 X q 0X P1111 q p1 1 X 111X q q 1 X 1 X p1 ) ) 111X （c） 9 二、多次超静定结构二、多次超静定结构 P P 1 X 2 X （1）基本体系 悬臂刚架 （2）基本未知力 21 X,X P P1 P2 1X 1 11 21 （3）基本方程 0 0 2 1 0 0 2222121 1212111 P P

5、 XX XX 1X 2 22 12 （4）系数与自由项 （5）解力法方程 21 XX （6）内力 P2211 MXMXMM 10 5-3 5-3 力法的典型方程力法的典型方程 P P 2 X 1 X 2 X 同一结构可以选取不同的基本体系 P 1 X 2 X P 1 X 0 0 2 1 0 0 2222121 1212111 P P XX XX 11 n次超静定结构 0X.XX . 0X.XX 0X.XX nPnnn22n11n P2nn2222121 nPnn1212111 1） ij,iP 的物理意义； 2）由位移互等定理 jiij ； 3） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，

6、与外荷载无关； ij 4）柔度系数及其性质 nn2n1n n22221 n11211 . . . . 对称方阵 系数行列式之值0 主系数0 ii 副系数 0 0 0 ij 5)最后内力 Pnn2211 MXM.XMXMM ij 位移的地点产生位移的原因 12 5-4 5-4 超静定刚架和排架超静定刚架和排架 一、刚架一、刚架 3m3m 3m3m q=1kN/m P=3kN I 2I 2I 1 2 34 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 X 1、基本体系与基本未知量： 21 X,X 2、基本方程 0 0 2 1 0 0 2222121 1212111 P P XX XX 13 3m3m

7、 3m3m q=1kN/m P=3kN I 2I 2I 1 2 34 1 X 2 X 1827 9 mkNM P 1X 1 1X 2 66 3 mM 1 6 6 mM 2 3、系数与 自由项 EI 207 dx EI MM 11 11 EI 144 dx EI MM 22 22 EI 135 dx EI MM 21 2112 EI 702 dx EI MM P1 P1 EI 520 dx EI MM P2 P2 14 4、 解方程 2.0520X144X135 1.0702X135X207 21 21 kN11. 1X kN67. 2X 2 1 5、内力 P2211 MXMXMM 2.67 2

8、 1.33 3.56 4.33 5.66 mkNM 2.67 3.33 1.11 1.9 3.33 kNQ 1.11 3.33 1.9 kNN 15 2 X 2 X 1 X 1 X 二、排架二、排架 mkN6 .17 mkN2 .43 排架主要分析柱子 柱子固定于基础顶面 不考虑横梁的轴向变形 不考虑空间作用 J II II J 2.1m4.65m 6.75m2.6m 1 I 2 I 3 I 4 I 4 I 3 I 44 1 44 3 44 2 44 1 cm108 .81Icm101 .16Icm106 .28Icm101 .10I 12.83 1.598.1相对值 1 2.83 1.591

9、.59 8.1 8.1 0 0 2222121 1212111 P P XX XX 16 17.643.2 mkNM P 1 X1X 1 mM1 9.359.35 6.756.75 mM 2 mkN6 .17 2 X1X2 mkN2 .43 0 0 2222121 1212111 P P XX XX 209 .504 .73 21122211 5 .49303 P2P1 05 .499 .5020 0303204 .73 21 21 XX XX kNXkNX73. 033. 4 21 17 PP MMMMXMXMM 212211 73. 033. 4 4.918 11.36.311.3 31.

10、9 2.7 mkNM 18 5-5 5-5 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构 a a P 1 2 3 4 5 6 P 1 X 1 X EA=c 1X 1 1X 1 1 21 21 21 21 1 N P P P P P2 0 （1）基本体系与未知量 1 X （2）力法方程0X P1111 P N （3）系数与自由项 a EA lN EAEA lN 222 11 2 1 2 1 11 223 2 11 1 1 1 Pa EA lNN EAEA lNN P P P 1 一、超静定桁架一、超静定桁架 a a P0.396P 0.396P 0.396P -0.604P -0.854P -0.5

11、6P N P 1 X 1 X 思考：思考：若取上面的基本体系， 力法方程有没有变化? 2 力法方程： ? 1111 P X P X 1111 EA aX2 1 （4）解方程 PPX854. 0 422 223 1 （5）内力 P NXNN 11 0 2 2231 )222( 1 1 Pa EA Xa EA 二、组合结构二、组合结构 1 X 1 X 1X1 1 N 1X1 1 M 1P M 2P M 0 1111 P X EA lN dx EI M 2 1 2 1 11 dx EI MM dx EI MM dx EI MMM dx EI MM PPPPP P 21112111 1 11 1 1

12、P X 讨论讨论 3 5-6 5-6 对称结构的计算对称结构的计算 0. . 0. 0. 2211 22222121 11212111 nPnnnnn Pnn Pnn XXX XXX XXX 0 . 0 0 2222 1111 nPnnn P P X X X 一、对称性的利用一、对称性的利用 对称的含义：1、结构的几何形状和支座情况对某轴对称； 2、杆件截面和材料（E I 、EA）也对称。 1 I 1 I 2 I 2 X 2 X 3 X 3 X 1 X 1 X 4 2 X1X2 1 X 1X 1 1 M 2 M 3 M 0 0 0 3333232131 2323222121 131321211

13、1 P P P XXX XXX XXX 0 0 0 3333 2222121 1212111 P P P X XX XX P5 . 0P5 . 0P5 . 0P5 . 0 P M P M 1X 3 3 X P 5 P5 . 0P5 . 0 P M P5 . 0P5 . 0 P M 6 0 0 2222121 1212111 P P XX XX 0 3333 P X 正对称荷载正对称荷载 作用下，对作用下，对 称轴截面只称轴截面只 产生轴力和产生轴力和 弯矩。弯矩。 反对称荷载反对称荷载 作用下，对作用下，对 称轴截面只称轴截面只 产生剪力。产生剪力。 1 I 3 I 2 I 1 I 2 I 1

14、 1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下 1 I 3 I 2 I 不考虑轴向变形不考虑轴向变形 条件下，可简化条件下，可简化 为：为： 1 I 2 I 1 I 2 3 I 2 I 2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下 1 I 2 3 I 2 I 1 I 2 3 I 2 I 1 I 2 I l 2 3 I 7 1 I 1 I 2 I PP/2P/2P/2P/2 =+ P/2 1 X P/2 1 X 1 M P M 8 II 2I P II 2I P/2 P/2 I P/2 II 2I P/2 P/2 P/2 I I 没有弯矩没有弯矩 2 2次超静定次超静定 35 9 5-7 5-7 支座移

15、动和温度改变时的计算支座移动和温度改变时的计算 一、支座移动时的计算一、支座移动时的计算 h l a b 1 X 2 X 1X1 1 l h l h 11 RM h l 1 l 1 1X 2 1 22 RM a b c1 c2 b a c c XX XX 2222121 1212111 0 “c” 1 基本方程的物理意义？基本方程的物理意义？ 基本结构在支座位移和基本未知 力共同作用下，在基本未知力作 用方向上产生的位移与原结构的 位移完全相等。 1X1 1 l h l h 1 R h l 1 l 1 1X 2 1 2 R a b c1 c2 c c XX XX 2222121 1212111

16、 0 cR ic l hb ab l h a1 c1 l b b l c 1 2 2211 XMXMM （1 1）等号右端可以不等于零）等号右端可以不等于零 （2 2）自由项的意义）自由项的意义 （3 3）内力仅由多余未知力产生）内力仅由多余未知力产生 （4 4）内力与）内力与EI 的绝对值有关的绝对值有关 讨论讨论: : 2 二、温度内力的计算二、温度内力的计算 1 t 1 t 2 t 1 t 1 t 2 t 1 X 2 X 1 t 1 t 2 t t 1 t2 0 0 2222121 1212111 t t XX XX 画出 图计算 2121 N,N,M,M t2t 1 , MNit h

17、t t 2211 XMXMM （1 1）自由项的意义）自由项的意义 （2 2）内力仅由多余未知力产生）内力仅由多余未知力产生 （3 3）内力与）内力与EI 的绝对值有关的绝对值有关 讨论讨论: : 3 a a 0 1 t 0 1 t 10 2 t 0t1 0t1 10t2 1 X 1X1 a 例例. . 计算图示刚架在温度作用下的内力，各杆计算图示刚架在温度作用下的内力，各杆EI 等于常数等于常数, ,矩形截面梁高矩形截面梁高 为为h，材料温度胀缩系数为，材料温度胀缩系数为 。 1X1 1 M 1 1 N 0 1111 t X 1 3 5 2 10 15 2 2 1 h a a a a h a

18、 t EI a 3 4 3 11 1 3 4 15 2 11 1 1 h a a EI X t 11X MM 4 A B 用力法求解单跨超静定梁用力法求解单跨超静定梁 X1 X2 1/l 1/l X2=1 1 2 M 1 M X1=1 1 BC AC XX XX 2222121 1212111 2211 33 2 2 1 EI ll EI 2112 63 1 2 1 EI ll EI CC l 21 B A l X EI l X EI l l X EI l X EI l 21 21 36 63 l EI i l i iiX l i iiX BA BA 6 42 6 24 2 1 5-8 5-8

19、 等截面单跨超静定梁的杆端内力等截面单跨超静定梁的杆端内力 A MAB 几种不同远端支座的刚度方程几种不同远端支座的刚度方程 （1 1）远端为固定支座）远端为固定支座 A MAB MBA 因因 B = 0，代入，代入(1)(1)式可得式可得 l i iM l i iM ABA AAB 6 2 6 4 （2 2）远端为固定铰支座）远端为固定铰支座 因因MBA = 0，代入代入(1)(1)式可得式可得 l i iM AAB 3 3 ) 1 ( 642 624 l iiiM l iiiM BABA BAAB A MAB MBA （3 3）远端为定向支座）远端为定向支座 因0,0 BAABB QQ 代入（代入（2 2）式可得）式可得 A l 2 1 ABAAAB iMiM )2( 1266 2 l i l i l i QQ BABAAB l EI l EI l EI 由单位杆端位移引起的杆端