1993考研数二真题及解析

1、1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) lim xln x = .x_0 +函数y二y(x)由方程sin(x2 y2) ex - xy2 =0所确定，则鱼二.dx1设F(x)=(2 -K)dt(x0)，则函数F(x)的单调减少区间是 .竺dx= .cosx1已知曲线y = f(x)过点(0,-一),且其上任一点(x, y)处的切线斜率为xln( 1 x2),2则 f(x)二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)1 1

2、(1)当x 0时，变量psin 是() xx(A)无穷小(B)无穷大(C)有界的，但不是无穷小(D)有界的，但不是无穷大|x2 -1|X式1设f (x)二x -1则在点X二1处函数f (x)()车 2， x=1,(A)不连续(B)连续，但不可导(C)可导,但导数不连续(D)可导，且导数连续/ 2x 0 x w 1x已知 f(x)二设 F(x) = 1 f(t)dt (0 沁乞2),则 F(x)为()3 1, 1x2,1 311 x,0Exc1- x ,0Exc1(A) 3(B) 331x1,0程咲211,x34j1 x c 1(C) 3(D) 33x1,1mx1,1xx 兰2设常数k 0,函数

3、f(x) In x-k在(0,=)内零点个数为()e(A)3(B)2(C)1(D)0若 f(x)二-f (-x),在(0,二)内 f(X)0, f (x)0，则 f(x)在(-=0)内()(A) f (x) : 0, f (x) : 0(B) f (x) : 0, f (x) 0(C) f (x) 0, f (xp:0(D) f (x) 0, f (x) 0三、（本题共5小题,每小题5分，满分25分.）d2y（1）设y=sinf（x2）,其中f具有二阶导数，求一dx求 lim x(、x2 100 x).X_X 求4dx.1 +cos2xr； X求3 dx.3(1+x)3X=0求微分方程(x2

4、-1)dy (2xy -cosx)dx =0满足初始条件y=1的特解.四、（本题满分9分）设二阶常系数线性微分方程y * yy二eX的一个特解为 y =e2x （1 x）eX,试确定常数，：，并求该方程的通解.五、（本题满分9分）设平面图形A由X y2 2x与y _ X所确定，求图形A绕直线x = 2旋转一周所得旋转体的体积.六、（本题满分9分）作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求出该 最小值.七、（本题满分6分）设 x 0，常数 a e,证明（a x）a : aa X.八、（本题满分6分）设f （X）在0,a上连续，且f （0） =0,证明:f0 f(x)d

5、x Ma，其中 M 二 max | f (x) |.0 x a1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）【答案】0【解析】这是个o :型未定式，可将其等价变换成 二型,从而利用洛必达法则0进行求解1lim xln x = lim洛 lim xlim x = 0.1 =0+ 1J0+(2)【答案】y2 -ex _2xcos(x2 y2)x_孑2y cos(x2 y2) -2xy【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数，将方程sin(x2 y2) ex xy2 =0 两边对 x 求导，得2 2cos(x y ) (2x 2yy) e-

6、y2 -2xyy =0,2ycos(x2 y2) _2xy【相关知识点】复合函数求导法则:如果u二g(x)在点x可导,而y二f (x)在点u二g( x)可导,则复合函数化简得八yfxcosa2 y2)y = f lg(x)在点x可导，且其导数为业=f(u) g(x)或业理.dxdx du dx1 【答案】0 x 0时,sin丄是振荡函数，所以可用反证法.x111 2,则 psin (k二)sin k二=0 ,k 二X1kX1k111122x2k 1，则 2sin (2k ) ：；：= ,(k = 1,2,H| J .(2k+兀X2kX2k211因此，当k时，有心一；0及X2k； 0,但变量r

7、sin-或等于0或趋于:xx这表明当X 0时它是无界的，但不是无穷大量，即(D)选项正确.(2)【答案】(A)【解析】利用函数连续定义判定，即如果函数在Xo处连续，则有lim f(x)X JXg -=lim f (x)X X)二 f(Xo).由题可知X2 -1二 linx x-1一1 -Xlim f (x)二 limlin1 -x1 - x -1x1 - x -1因f (x)在x =1处左右极限不相等，故在x =1处不连续，因此选(A).lim f (x) = lim |-X1X 1 x V x -1|X-1|=1叫(x 1) = 2,-lim( x 1) 一 -2.X )1 (3) 【答案】

8、(D)【解析】这是分段函数求定积分当Ox ：1时,0沁乞21,故f(t)=t2,所以F(x)f(t)dtt2dt 二 1t3当1辽x岂2时,1乞t Zx空2,故f (t) =1所以xx_xF(x)= j； f(t)dt= 1dt = E=x 1.应选(D).(4) 【答案】(B)【解析】判定函数f (x)零点的个数等价于判定函数y = f(x)与x的交点个数.X1 1对函数f (x) = In x -一 k两边对x求导，得f (x)= - - - .ex e令f (x) =0,解得唯一驻点x =e, 即丄f (x)0,0 : x : e; f (x)严格单调增加，f (x) c0,e 0 .l

9、im丄f (x) = limQn x + k) = e又因为:100因为x y dy时，2 2dV -二(2-xJ dy-黛(2-x2) dy =愿(2_1J -y2)2 -(2-y)2 dy=2 点.；1 一 y2 -(1 一 y)2 dy.所以 v = 2兀(J y (1 y) dy.对于 0 1 -y2dy,令 y = sin t,则 dy 二 costdt ,所以2 1 2 1 1 cos tdt02 (1 cos 2t)dt t(1-鈔_ 1 3 dy=2二10 一1 -y2dy 二 021 2 1 2对于 0 (1 一 y)dy = - 0(1 - y) d(1 - y)所以V =

10、2 :JI1sin 2t1 21/3,解法二：取x为积分变量，则边界线为y1 = 2x - x2 与 y2 = x(0 三 x 三 1),如右图所示.当x x dx时，dV =2 二(2 -x)(% -y2)dx=2 二(2 - x)(、2x _ x2 _ x) dx, 所以 V = 2二 o (2-x)( ; 2x-x2 -x)dx.令 x T = t ,贝U x = 1 t,dx 二 dt 所以1 2o (2 -x)C. 2x -x -x)dx=L(it) J2(i+t)(1+t)2 (i+t)dt= W_t2 _tJ1t2 +t2 1It.再令 t 二 sin 贝 dt 二 cos 罚二

11、,所以 j J1 -12 -1 山-12 +t2一1 dt - (cost - sin jcos j sin2 j -1)cos)dv0 2 0 2 0 2 0cossin cossin vcosvdcos d v 221 0 0 2 0 2 0(1 cos2 Jd cos rd cos sin d sincosdv21 . .sin 22_兀 143T +cOs3 町 +sin3 畀71_22- 3L 32 1 243.所以V =2二 o(2 -x)(. 2x -X2 -x)dx=2：().4321-13_2六、(本题满分9分)【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题设圆锥底半径

12、为R，如图，BC二R, AC二h,OD二r .由BCACR =0D，adoa2-od2,有hrh. (h -r)2于是圆锥体积R =-r2. h2 -2hr1 -V R h = r3对上式两端对h求导，并令V：0,得1得唯一驻点h =4r ,且电 1 工(2r :：: h -).3 h 2r2 2h(h -2r) -h2(h-2r)2丄吐些o,3(h-2r)2(2r vh 4r,VvO4r h ：,V 0，所以h =4r为极小值点也是最小值点，最小体积V(4r)=字r3.3七、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式，从中发现规律.当x 0,常数a e时，原不等式两边取自然对数可化为aln(a

13、 x) : (a x)ln a 或ln(a x)a xIn aa证法一：令 f (x) = (a x)ln a - aln( a x)则 f (x) = In a -a + x a由 a e, x 0,知 ln a 1,1,故 f (x)0(x0).a + x从而f(x)为严格单调递增函数，且f (x) = (a x)ln a - a ln( a x) f (0) = a ln a - aln a = 0,( x 0)即(a x)ln aa ln( a x) 0 ,所以(a - x)a : aa x.证法二：令f(x)=M,则f(x)=上茫.xx当 x a e时，有 f (x) = ：0,x所

14、以函数在x a e为严格单调递减函数，即f(x ar- f (a),所以有m：,g,a +x a即(a - x)a : aa x.八、(本题满分9分)【解析】证法一：用微分中值定理对任意给定的x 0, a，由拉格朗日中值定理，得f(x)二 f(0) f ( )x,(0 ： x)由 f (0) =0,知 f (x)二f ( )x.因为 M = max | f (x) |,所以0兰兰| f(x)F| f ( )|x 乞Mx,将两边从0a做x的定积分，有aaMa 20 | f(x)|dxM 0 xdx .2 aaMa由定积分的基本性质可知|f(x)dx| | f (x) | dx002证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的X，0, a,以及f (0) =0,可知x0 f (t)dt 二 f(x) f(0)= f(x),x从而 I f(x)E f