1994考研数一真题及解析

1、1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)1 1(1) lim cot x(-) =.x-Ssin x x曲面z-誉+2xy = 3在点(1,2,0)处的切平面方程为 .宀2设u = esin x，则 色U在点(2,)处的值为.y 阴均 2设区域D为x2 +y2兰R2，则JJ(x2十y2)dxdy=.D a b已知=(1,2,3),(1,丄,丄),设，其中门是的转置，则An二2 3二、选择题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)2 Sin x 4234-223422 cos xdx, N (sin x cos x)dx , P (

2、x sin xcos x)dx,三1X2-2则()(A)N:P : M (B) M : P : N(C)N:M : P (D) P M : N二元函 数f(x, y)在点(by。)处两个偏导数fx(x,y。)、 fy (Xo,yo)存在是f(x, y)在该点连续的()(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件0000 | a |设常数0,且级数a2收敛,则级数(-1)0丄() n 二nmJn +&(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与，有关怙atanx bdosx：詔,其中a2 c2 = 0,则必有()x 0cln(1-2

3、x) d(1-e )(A) b =4d (B)b =4d(C) a =4c(D) a 二 _4c已知向量组1、2、3、4线性无关，则向量组()(A)2、3、3*4、4 * -线性无关(B) ：1 一2、a2-3、G3-4、 a 4 一1 线性无关(C) 心亠-：2、-:込亠：3、3亠二4、4-线性无关(D) 宀亠-：2、2亠二3 :- 34、二4线性无关 三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分.)X =COs(t ),2(1) 设2t2 1求或、4在t =匸的值.ly =tcos(t2) - cosudu, dx dx 2将函数f (x)arctanx-x展开成x的幕级数.41 -x 2求

4、dxsin 2x 2sin x四、(本题满分6分)2计算曲面积分xdydz 2zdxdy,其中S是由曲面x2 y2二R2及两平面z二R,S x+y+zz=-R(R 0)所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设f(x)具有二阶连续导数，f (0) =0, f (0) =1，且xy(x y) - f (x)ydx f (x) - x2ydy =0为一全微分方程，求f (x)及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设f(x)在点x = 0的某一领域内具有二阶连续导数,且lim- -0,证明级数 00 1 xf (丄)绝对收敛.n生 n七、(本题满分6分)已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0

5、)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.八、(本题满分8分)x + x 0设四元线性齐次方程组()为12又已知某线性齐次方程组(二)的通X2 - = 0,解为k1（0,1,10） k2（1,2,2,1）.(1)求线性方程组()的基础解系；问线性方程组()和()是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共 解若没有，则说明理由九、(本题满分6分)设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，At是A的转置矩阵，当A =A时, 证明| A| = 0.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 已知 A、 B两个事件满足条

6、件P(AB)二P(AB),且P(A)二p ,则P(B)=(2) 设相互独立的两个随机变量 X、Y具有同一分布律，且X的分布律为X0 1P1 12则随机变量Z二max 仅,丫的分布律为.十、(本题满分6分)已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,32) 和1 XYN(0,42),X与Y的相关系数,设Z二一一，2 32(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；求X与Z的相关系数XZ ；(3) 问X与Z是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)【答案】-6【解析】原式变形后为“ 0”型

7、的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存0在，所以连续应用两次洛必达法则，有cosx(x sin x)x sin x原式二 lim2lim cosx lim7 xsin x T T1-cosxsi nx 1si nx 、=lim 2 lim.(由重要极限lim1)x 刃 3x2 x e 6x 6x 0 x【答案】2x y -4 =0【解析】所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点（1,2,0）处法线方向的方向向量l ,取n = l，又平面过已知点M （1,2,0）.已知平面的法向量（A,B,C）和过已知点（冷。,）可唯一确定这个平面:A(x-x) B(y-y) C(z-z0 =0.因点(1,2,

8、0)在曲面 F(x, y,z) =0 上.曲面方程 F(x, y, z) =zez 2xy-3.曲面在该点的法向量一 2y,2x,1 ez4,2,0 =22,1,0?,(1,2,0)(1,2,0)f cF cF cF :n = 2,严dx &y dz故切平面方程为2（x -1厂（y -2） =0,即2x，y -4 = 0.【答案】兀22e【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，为了简化运算，所以本题可以先求，再求_L、:u =空-2二 u陶（2丄）cuEx Wyxxe cos,r yc I cu62-xe (1-x)cos 二 x)矽礼丄）ex，兀1y= I兀丿J仃2亠仃xe cos

9、 xexr-22x=202.ex=2（可边代值边计算，这样可以简化运算量.）【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u = （X, y）, v =丁（x, y）都在点 （x, y）具有对x及对y的偏导数，函数z = f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数z = f ( (x, y),- (x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在，且有.:v x ；：v【答案】【解析】；z；z ；:u；:z ；:v= + =x : u :-X:-V :-XLL、L:z:z :u ；z :V1 1I 11 111.y: u : y: v : y411R ( 22)a b很显然，根据此题的特

10、征用极坐标变换来计算:- 22兀f cos日f2:-Xf/ f2jy 鋼- _42 Rr22小-2cos sin |+2 .2a b、亠2兀 22兀 2注意：0 cos 日= J0 sin 日=兀, 1 1 则原式=la2 b2(5)【答案】3nJL”11 124R32123上R4律V4(a b【解析】由一2阵乘法有结I： 121 -12 3丿3响矗叩2 1 -3二、选择题(本题共5个小题3,每小题|一 2 一(1)【答案】(D)：3An =(o(TB)(gTB)(o(T= 3nT2 -3nJ12 =33，(是一个三阶矩阵)是一个数,)-：T 上 J j 上 J 川：T -3分,满分15分.)

11、【解析】对于关于原点对称的区间上的积分，应该关注被积函数的奇偶性由对称区间上奇偶函数积分的性质，被积函数是奇函数，积分区间关于原点对 称，则积分为0,故M - 0 ,且由定积分的性质，如果在区间a,b丨上,被积函数f (x) - 0 ,则bf (x)dx _ 0 (a : b).a所以 N = 2 J； cos4 xdx a 0, P = -2cos4 xdx = N v 0.因而P M - N，应选(D).【答案】(D)【解析】f (x, y)在点(xo,yo)连续不能保证f(x,y)在点(Xo,y)存在偏导数 fx(Xo,y。)，fy(Xo, yo).反之，f(x, y)在点(Xo,yo)

12、存在这两个偏导数fx(Xo,yo), fy(Xo,yo)也不能 保证f (x, y)在点(Xo, yo)连续，因此应选(D).二元函数f(x, y)在点(Xo,yo)处两个偏导数存在和在点(X。, yo)处连续并没有 相关性【解析】考查取绝对值后的级数.因(-1帕.1 2 1 1an2 22 n21 - -(3)【答案】(C)1 2 1 an2 ,2 2n若l M,称:(x), -(X)在该极限过程中为等价无穷小，记为2:1 : 1又 a2收敛,、A 收敛,(此为p级数：气当p 1时收敛；当p空1时发散.)(第一个不等式是由a _0,b _O,ab _(a2 b2)得到的.)1收敛.n z!

13、-.n =1 2nn =1所以J !an2 丄收敛,由比较判别法，得Jn i 22nn 吕故原级数绝对收敛，因此选(C).【答案】(D)2【解析】因为 1 -cosx L x2 =o(x),1 -e _ x2 =o(x),2故 a ta n x b(1cosx) LI ax (a=0),cln(1-2x) d(1-e ) L -2cx (c = 0),因此原式左边=lim 壬二旦 =2二原式右边-a 4c .XT _2cx -2 c当a = 0, c = 0时,极限为0 ；当a=0,c=0时,极限为1均与题设矛盾,应选(D).【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中/ (x), :

14、(x)为无穷小且存在极限lim凶=l.P(x)(1) 若lp 称 (X), ： (X)在该极限过程中为同阶无穷小；(X)LI - (x)；(3) 若丨=0,称在该极限过程中(x)是:(x)的高阶无穷小，记为:(X)二 o - (x).若lim I讣不存在(不为二)，称(x), -(x)不可比较.2. 无穷小量的性质：当X X。时,(x), 1(x)为无穷小，则：(x) LI ：(X)= ：(X)= ： ( X)0( ： ( X).【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法若不易用观察法时可转为计算行列式(A) :由于:勺： 2 3亠虑3 * 1 =0所以(A)线性相关.(B) :由于:糾-：

15、J亠虑2 一3广虑3 一4亠虑4 一： 1 =0，所以(B)线性相关.对于(C)，实验几组数据不能得到0时，应立即计算由的系数构成的行列式10 0-1 110 00110几0,由行列式不为0,知道(C)线性无关 故应选1C).当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由(：1：2)-(： 2： 3)(： 3 - ： 4)(： 4 - ： 1)=0,知(D)线性相关，于是用排除法可确定选(C).【相关知识点】：1,2,IH,s线性相关的充分必要条件是存在某 二(i =1,2,IH,s)可 以由1,川,：(线性表出.: 1,2,川，s线性无关的充分必要条件是任意一个:i(i = 1,2,川，s)

16、均不能由:川：1,川，线性表出.三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分.)2 2 2 1 2(1)【解析】dx書辭几 ，cost -2t si nt - cost 2t亍=电=.t2=t(t0),dt Xt-2t s int1xt_ 2tsin t代入参数值t = - ，则 yx t 二-. 2 , yxxt【相关知识点】同理 yxx (yx)t_1.=2,2-字=f (u) g (x)或学= dxdx2.对积分上限的函数的求导公式：若F(t)二术八1.复合函数求导法则：如果u =g(x)在点x可导,而y = f (x)在点 u =g(x)可导，则复合函数y=f lg(x)在点x可导，且其

17、导数为dy dy du: .du dx):-(t)f (x)dx (t)，: (t)均一阶可导,则F = P(t) f：(t)(t) f(t)L1ii【解析】f (x) In (1 x) In (1-x)arcta nx-x.442先求f (x)的展开式.将f(x)微分后，可得简单的展开式，再积分即得原函数的幕级数展开.所以由(1 - x- x xcosx =u2sin x(cosx 1)2 2(sin x = 1 -cos x) ii一( 一1)(一 _n 5 川,(一1 ：x： 1)2!n!该级数在端点x二-1处的收敛性视而定.特别地,当- -1时，有11 -x X2 - x I l(-1

18、)n Xn HI , (-1 ： X ： 1)1 xA一 =1 x x2 x Xn 11( , ( -1 ： X ： 1)1 -x1 1 1 1 1 1 ,11 1 1 , 得 f (X)2-122 -141+x 41-x 21+x21-x21+x二亠-1 八 x4n -1 八 x4n(|x卜：1),1 Xn =0n d积分,由牛顿-莱布尼茨公式得X迂X 4f(x) = f (0)0 f (x)dx 八 j0t ndtn d(3)【解析】方法1 :利用三角函数的二倍角公式 元积分，结合拆项法求积分，得dxJ= Isin2x 2sin x 2sin x(cosx 1) , sin xdx:_ 4

19、n 1nd 4n 1sin 2= 2sincos，并禾U用换2 (1-u)(1 u)2dUdx, 1 / 1 2 du(281 -u2 ln 1n|1 u|(1 + u)cosx；-ln 1 cosxC ,1 + cos x _ - (1 u) (1 u)- 4(1 -u)(1 u)8 11 =一 |ln (1 -8 H22 )du1 u (1 u)2Cdx原式 2sin x(cosx +1)用待定系数法将被积函数分解：12_2sin x(cosx 1)2(1-u)(1 u)sin xdxdu2 .2(1 -u)(1 u)B D21 -u 1 u (1 u)(A-B)u2 (2A-D)u (A

20、 B D)(1-u)(1+u)2 1 1 =A = B , D =-42A + B1D=1q21于是,原式=(-)du=_8 1-u 1 +u (1+u)28=1 In 18 IL四、(本题满分6分)A-B =0=2AD=02ln1-u-ln 1 + u+ 1 + uC2(1 u)cosx - In 1 cosxC .1 +cosx _【解析】求第二类曲面积分的基本方法：套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分，再化为二重积分，或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积这里曲面块的个数不多，积分项也不多，某些积分取零值，如若二垂直yOz平面，则.Pdydz二0.化为二重积分时要选择投影平

21、面，注意利用对称性与奇偶性 y先把积分化简后利用高斯公式也很方便的方法1:注意.書企所以I置.ZS x +y +z= 0,(因为S关于xy平面对称,被积函数关于z轴对称)S由上下底圆及圆柱面组成分别记为,S2,S3.S1,S2与平面yOz垂直xdydzy2 z2xdydzy2 z2=0.其中C为任意常数 方法2 :换元cosx =u后,有在S上将宀宀R2代入被积表达式=芒洱.S在yz平面上投影区域为 Dyz: -R乞y乞R, -R乞z空R,在S3上，x二- R2 _ y2 ,S3关于yz平面对称，被积函数对x为奇函数，可以推出2TR yR 22 RI =22jdydz = 2 2 2 0 ,R

22、 -y dy 0R zDyz2 -zRarcta n4 RR方法2 : S是封闭曲面，它围成的区域记为 记I二 22 dV22.x R2 z2门 R2 z2 :2 R (先一后二的求三重积分方法)。十2R.dz2 2R z再用高斯公式得I二 2 R 1A=2. R 122 dz =0 R2 + z22其中D(z)是圆域：x2 y2乞R2.xdydzs R2 z2.dV= Rdz 护D(；)R2+z2【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 二所围成函P(x, y,z)、Q(x, y, z)、R(x, y,z)在门上具有一阶连续偏导数,则有 r 3P cQ cR i ii一 +

23、 一 + 一 dv =Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy,：zPcos-： Qcos： Rcos dS,川:x:x Ml.y : z或川“这里二是门的整个边界曲面的外侧，cos、cos ：、cos是二在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.五、(本题满分9分)【解析】由全微分方程的条件，有2xy(x y) - f (x)y f (x) x y,:y:x即 x2 2xy - f (x) = f (x) 2xy,亦即 f (x) f (x) = x2.工yy x2,因而是初值问题的解，此方程为常系数二阶线性非齐次方程对lyx=e =, y x=e 二1,应的齐次方程的

24、特征方程为r2+l = 的根为ri,2=i，原方程右端x2=eXX2中的=0,不同于两个特征根，所以方程有特解形如Y=Ax2 Bx，C.代入方程可求得A=1,B =0,C =2,则特解为x -2.由题给 f (0) = 0, f (0) =1，解得 f (x) = 2cosx sin x x2 - 2 .f(X)的解析式代入原方程，则有2 2xy 2y - (2cosx sin x)ydx x y 2x - 2sin x cosxdy = 0.先用凑微分法求左端微分式的原函数:1 2 2 1 2 2(2 dx 2 %。丫)2(ydx xdy) - yd(2sin x -cosx) - (2si

25、n x - cosx)dy = 0 ,1 2 2d( x y 2xy y(cosx2sinx)=0.2其通解为x2y2 - 2xy y(cosx -2sin x) = C其中C为任意常数.2【相关知识点】1二阶线性非齐次方程解的结构：设 y*(x)是二阶线性非齐次方y P(x)y： Q(x)y = f (x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y P(x)y * Q(x)y = 0的通解，则y二丫(x) y (x)是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 八P(x)y，Q(x)y =0中的P(x)、

26、Q(x)均 是常数，方程变为y，py、qy=0.其特征方程写为r2，pr，q=0,在复数域内解 出两个特征根几卫；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根 九咕则通解为y二Ge 2戸；两个相等的实数根a二则通解为y二G C2X erx1;(3) 一对共轭复根 ,2i卩,则通解为y = (GcosEx + CzSin Px ).其中G,C2为常数.3. 对于求解二阶线性非齐次方程厂P(x)y： Q(x)y= f( x)的一个特解y*(x)，可用待定系数法，有结论如下：如果f ( x)二( x)xe则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 y*(x) =xkQm(x)e的特解，其中Qm(X)是与Pm(X)

27、相同次数的多项式,而k按，不是特征方程的根、是 特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f (x) =exR(x)cosx +Pn(x)sin x,则二阶常系数非齐次线性微分方程y * P(x)y * q(x)y二f (x)的特解可设为yxkexRmi)(x)coo RfJ2)(x)sincox,其中Rm)(x)与(x)是m次多项式,m =maxl, n!，而k按 r (或 - i)不是特 征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分8分)【解析】，若能进一步确定四上 =0表明XT 0时f (x)是比x高阶的无穷小xf (x)是x的P阶或咼于P阶的无穷小,P 1,

28、从而f (一)也是一的P阶或咼于P阶n n00 1的无穷小，这就证明了级数f (一)绝对收敛nAn方法一：由lxm0f(x=0及f (x)的连续性得知f (0) =0f (0) =0 ,再由f (x)在点x=0的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则爭 为“0 ”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，连续运用两次洛必达法则，有= limx 0f (x) lim 2x 50 x2f(x) =1x=limx Q 2xf (0).由函数极限与数列极限的关系=lim - Ijfocf(1)_n_ n1 5 12.1二 一 f (0).因送三收敛二送f (一)收敛，即送f (丄n绝对收敛.n-

29、0得知f(0) =0, f (0) =0,可用泰勒公式来实现估计 f(x)在n经n方法二：由limn =1f (x)x点x =0有泰勒公式:1 2 1 2f(x)二 f(0) f (0)x f (x)x2f Wx)x2(0 ：八：1,x -、,、)2 2因f (x)在点x = 0的某一领域内具有二阶连续导数，二 ：0,f(x)在 x -、,、有界即 M 0,有 | f (x)| 乞 M,x -、,=? | f (x)| = 1 f (&x) x2 兰一 Mx2, x w -&,& 对此-0, N,n1 111AN 时,0二 f()兰一Mpn小I1,又E 收敛f (1)收敛，即E f(-)绝对收

30、敛.n【相关知识点】正项级数的比较判别法：nj n:V设Un和Vn都是正项级数，且lim_二A,则 心心:当 0 ： A :时，V Un 二n 当A=0时，若二Un收敛，则J Vn收敛；若二Vn发散，则山发散；nnnnoO当A=二时若收敛，则Un收敛；若a Un发散,则Vn发散.n=1n=1nJn:一 n Un和二Vn同时收敛或同时发散;七、(本题满分6分)【解析】方法1 :用定积分.1设高度为z处的截面Dz的面积为S(z),则所求体积V = J0s(z)dz.代B所在的直线的方向向量为 0-1,1-0,1-0=-1,1,1 ,且过A点,x =1-z丨 .y z y2 =(1 - z)2 z2

31、，则面积所以代B所在的直线方程为= =-或-11 1截面Dz是个圆形，其半径的平方R2 =x2122由此 V 二 0 二(1 -Z)2 z2dz 二二S(z)二二 R2 =二(1 -z)2 z2,f (1-2z+2z2 )dz z-z2 :方法2 :用三重积分.2 二 1(2)20 “少。V ! ! ! dV -、 1 1 或者 V = JJJdV =，0dzJJdb = L 叫(1 z)2 +z2dz Dz 1 2-0 1-2z 2z2 dzY z-z22z33z22 二rdr3Dz=H八、(本题满分8分)_1 1【解析】(1)由已知,()的系数矩阵，A= 0 1 由于n -r(A) =2,

32、所以解空间的维数是2.取X3,X4为自由变量，分别令X3,X4二1,0 , 0,1 ,求出Ax=o的解.故()的基础解系可取为(0,0,1,0),( -1,1,0,1).(2) 方程组()和()有非零公共解.将()的通解 x1=-k2,xk1 2k2,x3 = k1 2k2,x k2代入方程组()，则有-k2 k) 2k2 = 0=人=- k2.k, 2k2 -k2 =0那么当 k,=k2=0时,向量 k,(0,1,1,0) k2(-1,2,2, k (1 1 1 是(.)与()的非零公共解九、(本题满分6分)【解析】证法一：由于AAt，根据A*的定义有Aj =诵(切，j =1,2, L ,n)，其中Aj是行列式| A|中a的代数余子式.由于A = 0,不妨设a =0,那么2 2 2 2|A|=aiiAi+ai2A2+L +anAn =不+aj2+L +ain