1995考研数一真题及解析

1、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)2 lim(1 +3x)sinx =x-s-d 02(2) 一 f2xcost dt =.dx *7-3(3) 设(a 汇b) c=2,则(a+b)Ub+c) (c+a)=00 ,则 B =17； n幕级数 一nx2nJ的收敛半径R二n4 2 +(3)设三阶方阵A、B满足关系式：ABA=6A + BA,且A= 0. 0、选择题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)(1)设有直线L：十即十:十1；：及平面m4x-2y + z-3 = 0,则直线L()、2x y 10z +3 = 0(A)平行

2、于丨丨(B)在丨丨上(C)垂直于丨丨(D)与丨【斜交设在0,1上 f (x)0，则 f(0)、f (1)、f(1)-f(0)或 f(0)-f(1)的大小顺序是)(A) f (1) f (0)f(1)-f(0)(B)f (1)f(1)-f(0) f (0)(C)f(1)-f(0) f (1) f (0) (D) f (1)f(0)- f(1) f (0)设 f (x)可导，F(x)二 f (x)(1 |si nx|),则 f(0) =0 是 F(x)在 x = 0 处可导的()(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件设Un =(-1)n

3、ln 1 -J，则级数(): ： n - -(Ap Un与7 u；都收敛(Bp Un与7 U：都发散 咲心:(C)、unn 二 1a1卡2103101n壬n moqUna2nm31131+811收敛而1 u2发散(Dp Un发散而u2收敛a2&1戲a22 a23 , B ，则必、有()0 0a321 00 1a22n9 a23a12a13a32 a12a33 a13,R01 0时,t 0,所以1 16xlim(1 3x)3lim(1 t)e, lim6lim-6故 lim(1 - 3x)sinx =lim esinx =ex 0sinx 二 e x 0sinx = e . 0x500【答案】収

4、2 cost2dt -2x2 cosx40o【解析】 一 2xcost2dt = x 2cost2dt dx xdx x0=x2 cost dt -xcos x 2x02242cost dt -2x cosx .【相关知识点】积分上限函数的求导公式：:f tdt =f lx xx .(3)【答案】【解析】利用向量运算律有(a b) (b c) (c a)= (a b) b (c a) (a b) c (c a)=(a b b b) (c a) (a c b c) (c a)(其中 b b = 0)=(a b) c (a b) a (a c) c (b c) a=(a b) c (bHH=(a

5、b) c (aTo.4 b4-Jr cn +1北丄2n 十 +(_3)卅(4)【答案】【解析】令常4n|吊孚存2,则当n亍固时，有2 +(一3)2n +(_3)nliman 1lim而当3入时,幕级数收敛m,即1也n2n+(3)n八3佟 f耳时,此幂级数收敛Al/时,此幕级数发散，因此收敛半径为R = 际I- !3 0 0|_13 丿(5)【答案】0 2 0【解析】在已知等式A， BA = 6A + BA两边右乘以A，得A，B = 6E + B，即(-1)n142 0 0 勺0 0030=0 2 00 0 6;p 0 b、选择题(本题共5个小题，每小题(A- -E)B =6E.3 0 0因为A

6、= 0 4 0所以1 0 7丿 二一B =6(A _E) =6【答案】(C)【解析】这是讨论直线L的方向向量与平面丨丨的法向量的相互关系问题. 直线L的方向向量i j k丨=132=28i+14j 7k = -7(4i-2j+k),k2 -1 -10 y平面口的法向量n、4i -2j +k,lLIn丄丄口 .应选(C).【答案】(B)【解析】由f (x)可知f (x)在区间0,1上为严格单调递增函数，故f (1) f (x) f (0) ,(0 ： x ：1)由微分中值定理，f (1)- f(0) = f ( ),(0：1).所以f (1) f (1)一 f (0) = f ( ) f (0)

7、 ,(0 ：1)故应选择(B).【答案】(A)【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择，必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为f (0) =0所以F(x)-F(0)limlimX 0xX Qx由此可得F(x)在x=0处可导.f (x)(1+|sinx|)=lim = lim f (x) - f (0) = f (0),x j0xx 0必要性:设F (x)在x = 0处可导，则f (x) sinx在x = 0处可导，由可导的充要条件知f (x) Isin x limx 0_ x根据重要极限Hm0s=1，可得f (x) -Isin x=lim -x )0 .xsin xlim xT

8、 - xxT - xxx结合，我们有f(0H -f(0)，故f(0) =0 .应选(A).sin x=Tim1, lim -xXTx Ssin xsin x _ lim1，x a x(4) 【答案】(C)n 1n 4：: i un当0 ： A ：:时，二un和二vn同时收敛或同时发散;nA解得鱼=一丄 / 2 2 eycosx . dx屮3现再将 u = f (x, y, Z)对 x求导，其中 y = sin x ,z 二 z(x), 可得理=办fdxcosx fdz3dx【解析】这是讨论& Un与U；敛散性的问题._n 4ng&Un =&(-1)nl n 1 - 2x:2 eycosx 3

9、空=0, -是交错级数，显然In (1 1 )单调下降趋于零，由莱 n 4 n 4n； n布尼兹判别法知，该级数收敛.2正项级数E U：=瓦Indx U+丄i中=1 n2 ”1 +壬i 2= .n二 n. I並丿乔丿Un丿门根据正项级数的比较判别法以及、-发散,=U发散.因此应选(C).n J nn 4【相关知识点】正项级数的比较判别法：设J Un和Vn都是正项级数，且lim = A,则n 当A=0时，若Un收敛，则Vn收敛；若Vn发散，则比发散； 心比心旳心比心血当A=二时若Vn收敛，则Un收敛；若a Un发散,则Vn发散.n =1n =1n=1n T(5) 【答案】(C)【解析】R是交换单

10、位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，P2是将单位矩阵的第 一行加到第三行所得初等矩阵;而B是由A先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得 到的，因此RP2A = B,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分，满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题先由方程式(x2,ey ,z) = 0,其中y =sin x确定z = z(x)，并求生.dx将方程两边对x求导得将式代入得岂=fi f2, cosx - f3丄门1 2x亠込ey cosx .dxI【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 u二(x, y)

11、, (x, y)都在点 (x, y)具有对x及对y的偏导数，函数z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z = f ( (x, y),- (x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在，且有；z ；z :u :z :v, , , x :u :X :v :X :z :z :u :z :v:y ；u 斜 :v :-y(2)【解析】方法一：用重积分的方法.:vf2 :Xv1 1将累次积分I = J0dx f(x)f(y)dy表成二重积分I 二 f (x)f(y)dxdy,D其中D如右图所示.交换积分次序71 yI 二 0dy 0 f(x)f(y)dx.由于定积分与积分变量无关

12、，改写成1xI = 0dx 0 f (y)f (x)dy.111 x=2I = j0dx(xf(x)f(y)dy+ (dxj0 f (x)f (y)dy1 1 1=.0dx.0f(x)f(y)dy= .0f(x)dx0f(y)dy= A . 1 2A .2方法二：用分部积分法.注意 d( f (ydy()f(x)fOdW次积分小写成dydUxfT2四、(本题共2小题，每小题6分，满分佬分.)11Ja2.首先确定被积函数f(x,y) =z*.1 z： 对锥面 -.x2 y2 而言，.1 z2(1)【解析】将曲面积分I化为二重积分I I I f (x, y)dxdy .DxyZ：2 x2 y2,1

13、 2 21+一+一=721 x2 y2 x2 y2.其次确定积分区域即匕在xOy平面的投影区域(见右图)，按题意:Dxy:x2 y2 2x ,即(x1)2 y2 乞1.I =2 ,x y dxdy .Dxy作极坐标变换x = r cos = y二r sin二，则齐兀齐兀: 0 _ r - 2cos,飞门22甌因此 I =运rrdr=2T2-rd 日=V2.兮、03 09氏系数：2 in二 x2n 二al 0 f (x)cosIdx ,20(x-1)cos 2 xdx【解析】这就是将f(x)作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得f(x)的傅2 2n 二2 2 n 二評曲他鯛吃“ -匚0sin2

14、xdxn二024二 F (-A -1)0 n 乂12专 f(x)dx= (xDdxd)2-n =2k-1.4 n=2 cosx n 七 2 _ 2 aL2-0.022，1 1 j由于(延拓后)戸对在二2切分段单调、连续且 昭卸)也1.于是f (x)有展开式 1n=2k,(2n-1)n2 cosx,x 0,2.二 (2 n-1)2、0 0f(x) p(2n -1)二五、(本题满分7分)【解析】设点M的坐标为(x, y),则M处的切线方程为Y-y = y(X-x).令X =0,得丫二y-xy切线与y轴的交点为A(0, y-xy).由|MA|OA，有Jx2 +(xy)2 =|y _x.化简后得伯努利

15、方程2yy -丄y2 - -x, y2 -y2 - -x.xx令z = y2，方程化为一阶线性方程 z - 1 z X.x解得 z =x(c _x),即 y2 =cx _x2,亦即 y = ex _x2 .又由 y i 3 =3，得c =3, L 的方程为 y =、.3x-x2(0 ： x ： 3).12丿2六、(本题满分8分)【解析】在平面上LPdx Qdy与路径无关(其中P,Q有连续偏导数),:P:y卫，即卫=2x.x；:x对x积分得Q(x, y) =X2(y),其中:(y)待定代入另一等式得对_ t,(t,i)2d,t)2(o,o)2xydx x2：(y) dy =(o,o)2xydxx

16、2(y) dy F面由此等式求(y).方法一：易求得原函数2xydx +(x2 神(y) )dy = ydx2 + x2dy + 毋(y)dy(t,i)=d(x2y) + d( &s)ds)=d(x2y+ (s)ds).2y2y00于是由式得 X y 0 ：:(s)ds: X y 亠 i0 (s)ds .(0,0) (0,0)2 it2t即 t 亠 i (s)ds =t 亠 I (s)ds,亦即 t =t 亠 i(s)ds.求导得 2t (t)，即(t2t -1.因此 Q(x,y) =x2 2y-1 方法二：取特殊的积分路径：对式左端与右端积分分别取积分路径如下图y所示(t,i)于是得2 1即

17、 t.0 (y)dyf(t22(y) )dyJ(1严(y)y.Ot x 2=t 亠 i (y)dy，亦即 t =t其余与方法一相同 七、(本题满分8分)【解析】 反证法假设c，(a,b)，使g(c)=O.则由罗尔定理,r (a,c)与2(c,b),使g ( 1)= g ( 2) = 0 ;从而由罗尔定理，(1, 2) (a,b) ,g ( ) = 0 .这与g (x) =0 矛盾证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之，“谁的导数等于这应该从所要证明的结果来考察由证明的结果可以看出本题即证f (x)g (x) f (x)g(x)在(a,b)存在零点.方法一：注意到 f(x)g (x)

18、f (x)g(x)二 f(x)g (x) 一 f (x)g(x),考察f(x)g (x) -f (x)g(x)的原函数,令(x) = f(x)g (x)-f (x)g(x),f()f()g( ) -g ()=(x)在a,b可导，“a)(b)=O.由罗尔定理，(a,b),使)=0.即有f( )g ( ) - f ( )g( ) =0,亦即方法二：若不能像前面那样观察到f (x)gx) - f (x)g(x)的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题:f (x)g (x) - f (x)g(x) =(?)二f (x)g (x) - f (x)g(x)dx = ?.f(x)g (x) - f (x)g

19、(x) dx 二 f(x)dg (x) - g(x)df (x)=f(x)g(x) (x)f (x)dx I厂(x)g(x) J f x)gx)dx I二 f (x)g (x) - f (x)g(x)(取 C =0).令：(x)二 f(x)g (x) - f (x)g(x),其余与方法一相同八、(本题满分7分)【解析】设对应于鼻3的特征向量为二化兀必,因为A为实对称矩阵, 且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故T 0 ,即X2 x3 = 0.解之得 2 =(1,0,0)T, 3 =(0,1,-1)丁.于是有 A( 1 , 2, 3)=(l 1, 2 2, 3 3),所以A =(牡1，人2 2,皆)0渉10、-4100 =-1 0 1101=00-1-10-1；10_10.所以 |A + E 戶 0.十、填空题（本题共2小题,每小题3分,满分6分.）（1）【解析】由题设，因为是独立重复实验，所以X服从n =10,p=0.4的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式，有E(X) = np =4,D(X)二 np(1- p)