《完全平方公式》典型例题

1、完全平方公式典型例题例1利用完全平方公式计算：(1) (2-3x)2 ；(2)(2ab 4a)2 ；(3)(-a2b)2.2例2计算：(1) (3a -1)2; (2) (-2x 3y)2; (3) (-3x y)2.例3用完全平方公式计算：2 2 2 2(1) (-3y -x)2; (2) (-a-b)2; (3) (3a 4b-5c)2.例4运用乘法公式计算：2 2(1) (x-a)(x a)(x -a) ; (2) (a b-c)(a-b-c);(3) (x 1)2(x-1)2(x2 1)2.例5计算：(1) (lx-3)2-丄 x2; (2) (2a-b)(2a-b);(3) (x y

2、)2 -(x - y)2 .2 422例6利用完全平方公式进行计算：(1 ) 2012 ; (2) 992 ; (3) (30-)23例7 已知a * b =3,ab - -12，求下列各式的值.(1) a2 b2; (2) a2-ab b2; (3) (a-b)2 .例 8 若 3(a b c ) = (a b c)，求证：a = b = c .参考答案例1分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算.解：(1)(2 3x)2 =22 2 2 3x (3x)2 =4 12x 9x2 ；(2) (2ab 4a)2 =(2ab)2 2 2ab 4a (4a)2 =4a2b2

3、 16a2b 16a2 ；1 21222(3) (am-2b)am -2amb 4b .2 4说明：(1)必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该 公式；(2)在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出 现(2-3x)2 =4-12x 3x2 的错误.例2分析：(2)题可看成(-2x) 3y2，也可看成(3y-2x)2; (3)题可看成 -(3x y)2，也可以看成(-3x)-y2，变形后都符合完全平方公式.解：(1) (3a -1)2 =(3a)2 -2 3a 1 122=9a -6a 1(2) 原式=(-2x)2 2 (-2x) 3y (3y)22 2=4x

4、 -12xy 9y或原式(3y -2x)22 2= (3y) -2 3y 2x (2x)2 2=9y -12xy 4x(3) 原式珂-(3x y)2二(3x y)二(3x)2 3x y y2 2=9x 6xy y或原式二(-3x)2 -2 (-3x) y y222=9x 6xy y说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用.2例3分析：第(1)小题，直接运用完全平方公式2x为公式中a，3y为公3式中b，利用差的平方计算；第(2 )小题应把(a-b)2化为(a b)2再利用和的 平方计算；第(3)小题，可把任意两项看作公式中 a，如把(3a 4b)作为公式 中的a，5c作为

5、公式中的b，再两次运用完全平方公式计算.2 2224 22解：(1) ( -3yx) = (- x - 3y) x - 4xy - 9y3 39(2) (-a -b)2= (a b)2 = a2 2ab b2(3) (3a 4b 5c)2 二(3a 4b)2 -10c(3a 4b) 25c22 2 2=9a 30ac -40bc 25c16b 24ab说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：(a b)a2 b2，(a -b)2 二 a2 -b2 .例4分析：第(1)小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完 全平方式计算.第(2)小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项 a-c,

6、和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算(a-cb与(a-c)-b的积, 再利用完全平方公式计算(a -c)2 ;第三小题先需要利用幕的性质把原式化为(x 10(x-1)(x2 1)2，再利用乘法公式计算.解：(1)原式=(x2-a2)(x2-a2) =(x2-a2)2 =x4-2a2x2 a4(2) 原式=(a-c) b(a-c) -b =(a-c)2 -b22r丄 2.2=a -2ac c -b(3) 原式=(x 1)(x -1)(x2 1)2 珂(x2 -1)(x2 1)2=(x4 -1)2 =x* -2x4 1 .说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幕的性质，

7、 以达到简化运算的目的.例5分析：(1 )和(3)首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同 类项；第(2)题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式， 我们继续应用公式.解：(1)-3)2-】x2 =丄 x2-3x 9x2 = 9-3x；24441111(2) (2a-b-：)(2a-b(2a - b)-；( 2a - b)；22222 1 2 2 1= (2a -b) -4a -4ab b -；4 4(3) (x y)2 _(x _ y)2 =x2 2xy y2 _(x2 -2xy y2)2 2 2 2=x 2xy y -x 2xy-y =4xy.说明：当相乘的多项式是两个三

8、项式时，在观察时应把其中的两项看成一个 整体来研究.例6分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差.解：(1) 2012 =(200 1)2 =2002 2 200 1 =40401;(2) 992 =(100-1)2 =1002 -2 100 1 = 9801.1 21 2 2112(3) (30 )2 = (30)2 =3022 30- ( )2333311= 900209 2092说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数 必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的.例7 分析：(1 )由完全平方公式(a b)2二a2 =2ab

9、b2 ，可知 a2 b2 = (a b)2 -2ab，可求得 a2 b2 = 33;(2) a2 -ab b2 二 a2 b2 -ab = 33 -(-12) = 45 ；(3) (a -b)2 二a2 -2ab b2 =33-2 (-12) =57 .解：(1) a2 b2 =(a b)2-2ab=32-2 (_12) =9 24=33(2) a2 -ab b2 =(a2 b2) -ab =33-(-12) =33 12 = 45(3) (a -b)2 = a2 -2ab b2 =(a2 b2) -2ab= 33 -2 (-12) =33 24 =57说明：该题是(a b)2二a2 2ab b2是灵活运用，变形为 a2 - b2 =(a - b)2 -2ab，再进行代换.例8 分析：由已知条件展开，若能得出(a-b)2 (b-c)2 (c-a)2 =0,就可 得至U a -b = 0,b - c = 0,c - a = 0,进而 a = b,b = cc 二 a= a = b = c,同时此题还用到 公式(a b c)2 =a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc.证明：由 3(a2 b2 c2) = (a b c)2,得2 2 2 2 2 23a 3b 3c = a b c 2ab 2bc 2ac2 2 22a 2b 2c -2ab-2ac-2bc =0.则(a2