1999考研数二真题及解析

1、1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)x - et sin 2t 曲线 t ，在点(0,1 )处的法线方程为 =e cost 设函数y = y(x )由方程In (x2 +y )=x3y+sin x确定，则dy dx(3) 5 dx 二x -6x 133上的平均值为函数在区间石冷 微分方程y“-4y = e2x的通解为、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中, 只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。1 COSXc,X 0(1)设f(x) . X，其中g x是有界函

2、数，则f (x)在x=0处()x2g(x, x 咗0(A) 极限不存在.(B) 极限存在，但不连续.(C) 连续，但不可导.(D) 可导15x uia +csinx口设:；x dt, ： x： I(1 t t dt，则当 x 0 时x 是：x 的()0 t0(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小设f(x)是连续函数，F x是f(x)的原函数，则()(A) 当f (x)是奇函数时，F x必是偶函数(B) 当f (x)是偶函数时，F x必是奇函数.(C) 当f(x)是周期函数时，F x必是周期函数.(D) 当f(x)是单调增函数时，F x必是单调增函数.(4)

3、“对任意给定的一 0,1，总存在正整数N，当n - N时，恒有禺- a乞2 ；是数列收敛于a的()(A)充分条件但非必要条件.(B)必要条件但非充分条件(C)充分必要条件xD)既非充分条件又非必要条件记行列式2x-2 2x-1 2x-23X -3 3x-2 4x-52x_3为f(x),贝U方程f(x) = O的根的个数为()3x5四、五、六、(A)1.(B)2.4X)3.(4X4-.3 5x-7(本题满分5分)求lim1 tanx -、1 sinx2xln 1 x -x(本题满分6分)计算:arctanx , dx .x(本题满分7分) 求初值问题尸(本题满分7 分)4x3ny dx - xd

4、y = 0(x0)的解.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N / 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：1N 1m=1J;其中m, N,s,J分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.)七、(本题满分8分)x3已知函数y二2，求(x -1 )(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点函数图形的渐近线.八、(本题满分8分)设函数f x在

5、闭区间1-1,11上具有三阶连续导数，且f -1 =0, f 1 =1 , f 0=0，证明：在开区间 -1,1内至少存在一点，使f I I： 3.九、(本题满分9分)设函数y x x -0二阶可导，且y x 0，y 0 =1.过曲线y二y x上任意 一点P x, y作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的 面积记为S,，区间10, x 上以y = y x为曲边的曲边梯形面积记为，并设2S, -S2恒为1，求此曲线y二y x的方程.十、(本题满分6分)设f X是区间0,；上单调减少且非负的连续函数，nnan 八 f k - d f x dxi 4n =1,2,|H，证明数列

6、aj的极限存在十、(本题满分8分)I 11 -1设矩阵A=；-111 ，矩阵X满足A*X=A+2X，其中A*是A的伴随II 一1 1 /矩阵，求矩阵X .十二、(本题满分5分)设 向量组 %=(1,1,1,3 ，=(-1-3,5,1)，他=(321,p + 2)T ，T%=(-2,-6,10,p)(1) p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 二4,1, 6,10丁用1, 2,； ?4线性表出；(2) p为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无 关组.1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析、填空题 【答案】y 2x -1 =0et cost - et sin

7、 tdx et sin2t 2et cos2t sin2t 2cos2t 亚=1，所以改点处法线斜率为-2，故所求法线方程为dx 2【详解】点0,|对应t=0，则曲线在点0,1的切线斜率为dy dtet cost - et sin tcost - sintdx把t =0代入得 y 2x -1 =0 .【答案】1【详解】y(x)是有方程In x2 y=xy sin x所确定，所以当x=0时，y = 1.对方程ln x2 y pxy sin x两边非别对x求导，得2y =3x2y x3y cosx，x y-1x=0把x = 0和y = 1代入得y (0)=鱼dx【答案】Sn(x2 -6x 13)

8、4arctan 3 C2 2【详解】通过变换，将积分转化为常见积分， x +52x -6x 13x26x J8dx 二 2 x 3 dx x2 6x+132U d(x-6x 13)8dx2x2-6x 13(xx)3)n(x2 -6x 13) 4-一1 2 l1ln(x -6x 13) 4arct0n2 x-6x 13【答案】二12【详解】按照平均值的定义有32T x .1 2 dx，31 2,1-x作变换令x =si2t，2则dx =costdt，所以2 sin21 cost _2I 6- 1-s.i n2tcos2t云22J 1 y 二 Ge C22x 0有,(x)limlimx )0- (

9、x) x 0 sinxx7 5x所以当x 0时x是x同5xsint usin5xdt5t T lim5xt 川(1 + sinx)sinx cosx15 1 - e1lim (1 sinx)sinx limcos x、x【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性xf (x)的原函数F(x)可以表示为F(x)= J0 f (t)dt+C,于是-xu =4 xF(-x)二 0 f (t)dt C = 0 f(-u)d -u C.当f (x)为奇函数时，f (-u) = - f (u)，从而有xxF(-x)二 0 f (u)du C = 0 f(t)dt C =F(x)即F(

10、G)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：f(x)/是偶函数，但其原函数F(x)Wx3不是奇函数，可排除(B);2 1 1f(x)二COS2X是周期函数，但其原函数F(x)=2X、sin2x不是周期函数， 可排除(C)；f(x) =x在区间(：，=)内是单调增函数，但其原函数 F(x) =2x2在区间2(：)内非单调增函数，可排除(D).【答案】(C)【详解】【方法1】“必要性”：数列极限的定义“对于任意给定的1 0，存在n2 0，使得当n Ni时恒有|Xn -a|： ；1 ” .由该定义可以直接推出题中所述，即必要 性；“充分性”：对于任意给定的20，取；-m

11、in 2】，这时;(0,1)，3 3J由已知，对于此；存在N，使得当n N时，恒有|Xn-a|：2；，现取N2 =N -1，于是有当n _ N N2时，恒有| xn - a |_ Z：；2 .这证明了数列xn?3收敛于a.故(C)是正确的.【方法2】数列极限的精确定义是：对于任意给定的；7，总存在N 0，使得当n N时|Xn -a|：；，则称数列？收敛于a.这里要抓住的关键是；要能 够任意小，才能使| Xn -a |任意小.将本题的说法改成：对任意；i =2；(0, 2) 0，总存在Ni 0，使得当nN Ni时，有| Xn - a卜：2 ； - ；i，则称数列 收敛于a.由于v (0,2)可以

12、任意小，所以|Xn-a|能够任意小.故两个说法是等价(5) 【答案】(B)【详解】利用行刃列式性质,x计算出X行列式是几次多项式，即可作出判别2x-2f(X) _2列 -3列 3X2x -3歹4x1 列 4x ：2x1 2x2 2x3 -2 1 0 -1 -2 4x-5 3x-51 0 -1 5x 7 4x3 3x-31x-2-22x-23x-34x一3 x - 7 -34x-300-16x-21x_2-12x-2 1x 7-6（若A,B,C均为n阶方阵，贝U=(x _2) 1 _(2x _2) 1 _6(x_2)_(_1)(x_7)=(-x) ( -5x 5) =5x (x -1)故 f(x

13、)二 x(5x-5)=0 有两个根 Xi=0,X2=1，故应选(B).【详解】进行等价变化，然后应用洛必达法则，【方法1】limx_2xln 1 x -x tan x s inx/ +tanx - J1 +sin x(J1 +tanx -(1 +sin x)(J1 +tanx + J1 + sinx)xl n(1+x)_x2_xm0(xl n(1 右xsx2)(j1 + ta nx + J1 +si nx)tan xs inx1sinX| cosx-limlimcosx )0 x(ln 1 x - x)LJ2 x 10 2 x ln 1 x - x1 r 1 - cosx 1(1 x)si n

14、x 1lim洛一 lim2 x)0 ln 1 x 乜2xT-x21 ta nx-”1 si nxtan x-si nx【方法2】lim2 lim1 - cosxln 1 x -x1=2T xl n(1+x)-x2xTx(l n( 1+x)-x)j2tan x(1cosx)x(1cosx) 1=limlimlimx )0 2x(ln 1 x - x) 2x(ln 1 x - x) 2x 01 x 21x 11lim洛一 lim=lim2 x)01 n 1 x - x 2 x 刃x (1 x) 2 x Q 1 x四【详解】采用分部积分法be1arctan xd()=-1xx:2)dx =1 + x

15、24:x-二1:arctanx ,1 2 dx 1 x: : 1 (-41 x-arcta nxx1 2 - n xTn(1 +x )2-beIIn|1In 24& +x2 d 4 f !+ 2五【详解】将原方程化简翌二J荃y dxx令=u，贝U dy = u - ，代入上式，xdxdx化简并移项，得莘鼻=虫，(1+u2X由积分公式得 In(u 1 u2) =1 n(Cx)，1(duu x udx其中C是常数,(y)2xI . 1 u2，因为x 0,所以C去掉根号，得u1 72二Cx ,=Cx，即”x把y x# = 0代入并化简，得yx2-,x 0六【详解】建立坐标轴如图所示，解法1:将抓起污

16、泥的抓斗提升至井口需做功 w =W W2 W3，斗自重所作的功；W是克服缆绳重力作的功；W3为提出污泥所作的功.由题意知w =400N 30m=12000J.将抓斗由x处提升到x dx处，克服缆绳重力所作的功为dW2 =缆绳每米重x缆绳长x提升高度=50(30 -x)dx,30从而50(30-x)dx = 22500J.在时间间隔t,t dt内提升污泥需做功为d% =(原始污泥重一漏掉污泥重)提升高度(3dt)= (2000 -20t)3dt将污泥从井底提升至井口共需时间 戲巴=10$,3m /s10所以 W4 二 0 3(2000 - 20t)dt =57000J.因此，共需做功W =W W

17、2 W3 (12000 22500 57000)J 二 91500J解法2 :将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W，当抓斗运动到x处时，作用力f (x)包括抓斗的自重400N ,缆绳的重力50(30 -x)N，污泥的重力x(2000 - 20) N,20170即 f(x) =400 50(30 -x) 2000 x =3900 x,30 (17085 23900 -x Cx = 3900x x 13丿3于是W二-330 =117000-24500 =91500J七【详解】函数的定义域为(-=1)U(1,=)，对函数求导，得2* x (x3)“ 6xy厂，y4(x-1)(x-1)令y0得驻点

18、x =0,x =3 ;令/ = 0得X =0.因此，需以0,1,3为分界点来讨论,列表讨论如下:x(W)0(0,1)(1,3)3(3严)0+0+0+v凸，增拐点凹，增凹，减极小值凹，增由此可知,函数的单调增区间为(Y，,1)U (3,7 ,单调减区间为(1,3),极小值为27函数图形在区间(-=0)内是向上凸的，在区间(0,1),(1,)内是向上凹的,拐点为(0,0)点.x3(3) 由lim 2 =，:,可知x=1是函数图形的铅直渐近线. X1(x-1)2 3Vx又因为lim lim2 =1= lim J】 *(X_1)2 一Fx Fx(x-1)- 32,lim( yxriimd-xriim

19、x ；1) xx(x -1)2x ：FL (x -1)2故V = x，2是函数的斜渐近线.八、(本题满分8分)设函数f x在闭区间1-1,11上具有三阶连续导数，且f -1 =0，f 1 =1，f 0 =0,证明：在开区间-1,1内至少存在一点，使=3.【详解】解法1:由麦克劳林公式得1 2 1 3f(x) = f(0) f (0)x - f (0)x J ( )x，其中 介于 0 与 x 之间， 2!3!X -1, 1分别令x - -1,X =1并结合已知条件得11f(T)二 f() ； f () 一； f ( 1)=0, T 1 ： 02611f(1)= f(0)匚 f (0)匚 f (

20、2) =1,0 ： 2 ：126两式相减，得f (2) f (1) =6由f (x)的连续性，知(x)在区间1, 2上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有1 m 乞 f ( 2) f (M再由连续函数的介值定理知，至少存在一点1,2(-1,1)，使1ff ( 2) f ( J I - 32解法2 :构造函数(x)，使得x-1,1时(x)有三个0点，(x)有两个0点,从而使用罗尔定理证明必然存在.1a = -2-一1c = 0d=-f(0) 由罗尔定理可知，存在1 (-1,0), 2(0,1)，使n d设具有三阶连续导数C(x) = 0(x)+ax +bx +cx + dIf (-1 )=

21、0l(0) = f (0) +d =0./ )()，将f(1)=1 代入得b = f(0)-二f(1)=f(1) + a+b+c+d=0f；0)=0代入：()得f (00 f0)X3 (f(0) - 2)x2 - f(0)2 2f -1令又因为4(0尸0再由罗尔定理可知，存在 牡(3,0),2(02)，使得:(J =0( 2) =0再由罗尔定理知，存在 (1, 2)(1, 2)(-1,1)，使(r f()-3 = 0即 f ( )=3.九【详解】如图，曲线y二y(x)上点P(x, y)处的切线方程为丫- y(x)二y (x)(X - x)/ 所以切线与x轴的交点为X-t,。 y丿由于 y(x)0,y(0) =1,因此 y(x) 10 (x 0)1 f y 1 y2于是 S=yx_ x-=.23X3 V4X4 =卜1,：2,3,4X = 0 只有零解向量能否由向量组1,2,3,4线性表出=以:=1,2,3,4为列向量组成的线性非齐次方程组必上：护2，-：必乜二:-是否有解【详解】作方程组mX :-2X2 -1 3X33 4Xt2：4，并对增广矩