对数概念及其运算

1、对数概念及其运算知识点1对数1对数的定义如果a a . 0,a = 1的b次幕等于N ,那么数b叫做以a为底N的对数，记作loga N = b,其 中a叫做对数的底数，N叫做真数。在对数函数logaN=：b中，a的取值范围是 a 0,且a=1 , N的取值范围是N，0 , b的取值范围是b R。【注意】根据对数的定义可知（1） 零和负数没有对数，真数为正数，即N .0（2 ）在对数中必须强调底数 a .0且a =12常用对数（1 ）定义：以10为底的对数叫做常用对数，log10 N记做|g N 。（2 ）常用对数的性质10的整数指数幕的对数就是幕的指数，即lg10“二n n是整数3自然对数（1

2、 ）定义：以e =2.71828 为底的对数叫做自然对数，loge N通常记为InN 。（2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关系：InN 二型，即 InN -2.303lg N 。lg e 0.43434指数式与对数式的互化（1） 符号loga N既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幕，求其 指数的算式。对数式loga N =b的a、N、b在指数式ab =N中分别是底数、指数和幕。（2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则： 在loga N =b中，必须N0，这是由于在实数范围内，正数任何次幕都是正数，因而 ab二N中

3、的N总是正数，须强调零和负数没有对数。 因为a =1，所以loga 1 = 0。 因为a1 =a,所以loga a =1。 因为ab = N，所以loga N = b，所以玄问小=N。【例1】下列说法错误的是（）（A）负数和零没有对数（B）任何一个指数式都可以化为对数式（C）以10为底的对数叫做常用对数（D）以e为底的对数叫做自然对数【例2】（1）把下列指数式写成对数式13x-;27H;52丿16（2）把下列对数式写成指数式:1 log3 9=2; lg 0.001 二-3; log 2 32知识点2对数的运算对数的运算性质如果a 0且a =1，M 0，N0 ,那么,（1）loga MN =l

4、ogaM logaN;(2) loga =loga Mlogb N;N(3) loga M n = n logn M n 二 R ；(4) log a M n = nloga M m, n R,m=0。m用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的n次方的对数，等于这个正数的对数的 n倍。_ab【例3】下列各式与|g相等的是()C(A)lg ab lg c B Iga Igb -Igc C Iga Igb Igc D lg ab-lgc【例4】计算:1 Ig0.012; 2 Iog4 42 3.4;353 Iog2 3

5、 Iog2 5; 4 logs logs log 5 2 .2 4知识点3换底公式1换底公式loga Nlogb Na a 0,a=1,b 0,b=1,N 0logab2换底公式的推论 1 1 log a ba 0, a = 1,b0,b 胡log ba2logab=logambma 0,a = 1,b 03 logam b logab a 0,a = 1,b0,m = 0m【例5】计算：1 Iog8 32; 2 Iog25 4 Iog85; 3 Iog4 3 Iog8 3 Iog3 2 Iogg2 ；4 log 21 ,1 ,1 log 2 Iog7 9251og381og59;5I 1l

6、34 log 5 3 log 7 4【例6】(1)已知Ig2二a, Ig3二b,用a,b表示l 45的值; (2)已知 log189 =a,18b =5,用 a,b表示 log36 45 的值。反函数的概念知识点反函数1定义对函数y二f x xD，设它的值域为 A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一 确定的x值与它对应，且满足 y二f x，这样得到的x关于y的函数叫做y二f x的反函 数，记作 f 4 y，习惯上，自变量常用 x来表示，而函数用 y表示，所以把它改写为： y =f J x x A .2反函数存在的条件函数y二f x存在反函数的充要条件是函数y二f x是定义域到值域上的一一映

7、射所确定的函数。注意：单调函数必有反函数。3反函数与原函数的关系(1)反函数和原函数互为反函数：如果函数y = f x有反函数 y = f x，那么函数1 1y = f x的反函数是y = f x，贝U y = f x与y=f_x互为反函数；(2 )反函数和原函数的定义域与值域互换函数y = f (x )反函数y = f，(x )定义域AC值域CA(3) 互为反函数的函数的图像间的关系函数y = f x的图像和它的反函数 y = f J x的图像关于直线y = x对称。函数y = f x 的图像与x二fy的图像是同一个函数图像。4求反函数的步骤(1) 求函数y = f x的值域(若值域显然，解

8、题时常略去不写)。(2) 反解：由y =： f X写出x关于y的关系式；(3 )改写：在x二f二y中，将x , y互换得到y二fx ；(4) 标明反函数的定义域，即(1)中求出的值域。【例1】下列函数没有反函数的是： y =3 -,/x2 - 5; 2 y =3/2x-1 +2; y =x -3g0) I 3x( X 0 )(A)(B)(C)(D) 【例2】求下列函数的反函数：2x +1(1) y：2)；x 2(2) y = X2 4x 1 -5 _ X _ -2 ；(3) y = x2 x x _1 ；s.X2 -1(0X1)(4) y =2X2(1 X0)【例3】求函数y = -x2 1

9、x岂1的反函数对数概念及运算与反函数总结1、对数的运算法则(将高一级运算向低级运算转化)(1)log a MN = loga M loga N ( 2) log a M = log a M - log a N N(3) loga M nloga M (4) log a n M = log a Mn2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的3、几个常用的对数结论logal =0 loga a =1 loga a1 =n a9ablogam an二log m bm叭loga b loga b logba =1 m4、换底公式:logablogcblogcalg blga5、常用对数与自然对数6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原