复数的概念与运算-理科

1、第二节复数的概念与运算一、课标考纲要求1. 复数的概念(1) 理解复数的基本概念(2) 理解复数相等的充要条件(3 )了解复数的代数表示法及其几何意义2. 复数的四则运算(1) 会进行复数代数形式的四则运算(2) 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识梳理1. 复数的基本概念(1) .概念：形如a bi ( a, R)的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集 通常用C表示(2) .虚数单位为i :i 21.i和实数在一起，服从实数的运算律(3) 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象

2、限内的点都表示虚数.(4) .复数的几种形式： .代数形式：z=a+bi ( a, bR),其中a叫实部记作Re(z) , b叫虚部记作Im(z)； 几何形式：将(a, b)作为复平面内点的坐标，那么z与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射；因此复数可以用点来表示，点称为复数的几何形式.即z=(a,b) 将(a,b)作为向量的坐标，复数 z又对应唯一一个向量，因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式， 称为向量形式.即z=OZ(5) .复数的分类： .实数 b=0,即z = a .虚数二b = 0 .纯虚数 a=0且b = 0 ,即z = bi(

3、6) .共轭复数：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用 z表示，即 z=a bi ( a, b R),则 z 二 a -bi ( a, b R)(7) .两个复数相等的定义：a bi =c di = a =c且 b =d(其中 a, b, c, d, R);特别地 a bi =0= a =b =02. 复数的基本运算(1).复数的运算法则： 代数形式：运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意：复数的除法运算，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；即：a bi 厂ic di = a = c 厂 ib _d i; a bh t

4、c di 二(ac-bd) (ad bc)iabi _ abic -di_ (ac bd)(be - ad)icdi cdic - dic2d2 向量形式：加、减法满足平行四边形和三角形法则，若为坐标满足向量的坐标运算.(2).运算定律： 复数的加法满足交换律、结合律；即-,z2,z3 C,都有 zrz2=Z2V；2 2 Zz1 z2 z3 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律 ；即 _,z2,z3C,乙Z2=Z2匚； 乙Z2Zz1z2z3；zl-z?Z=zz3Z2N(3) 距离：模：z =Ja2 +b2 ；复平面内的两点间距离公式：d=z1z2 .3. 复数的性质(1).共轭复数的性质：2

5、2Z Z =|z| =|z|Z 二Z z 亠乙2 =Z1 亠Z2z 亠z =2a , z _z =2bi ( z =a+bi )Z1 -Z2 =Z1 -Z2 z1 z2 =z1 z2竺二m ( Z2=0 )异=(Z)nC2 丿 Z2特别地：Z R= z二Z；非零复数z是纯虚数二zZ=O注：两个共轭复数之差是纯虚数 (X)之差可能为零，此时两个复数是相等的(2).模运算的性质特别地222-2Z=Z=Z =ZZ1Z2吕(Z2式0)；=1 =(3) .复数的乘方：zn =z z z.z(n ：=N )；v*=对任何 z , Z1,Z2C 及 m, n N *有 zm zn =zm* ,(zm)n =

6、zm n, z2)nz；注：以上结论不能拓展到分数指数幕的形式，否则会得到荒谬的结果,就会得到_1 =1的错误结论.(4).绝对值不等式：设Z1, Z2是不等于零的复数，则 |引 |Z2 _Z1 -Z2 _Z1|”Z2 .左边取等号的条件是 z2二乙( R,且，0),右边取等号的条件是1 1如 i 2 - -1 ,i =1 若由 j2=(j4)2 =1 = 1Z Z1 (R,，- 0).|Z1左边取等号-Z2.Z1Z2!Z -|Z2 .举具的条件是 Zf=M1 (扎w R,九AO)右边取等号的条件是 注：Z1Z2 Z2Z3 Z3Z4Zn 二Zn =Z1Zn .Z2 Z1 (R,0).4.复数常

7、用的结论:n4n 114n24n 34nnn 1n 2n 0，故 a = V3i【答案】：B例8 （20XX江苏卷）设复数z满足z（2 -3i） =6 +4i （其中i为虚数单位），则z的模为.6+4i,【解析】考查复数运算、模的性质；法1 ：先求z二乂=2i ,故z = 2法2：由复数模的性质由2-3iz（2 3i）=2（3+2i）, 2 3i 与3+2i 的模相等，得 z=2.【答案】：2方法总结：复数的模，常伴随着复数的运算，即常规方法是先求出所求复数的代数形式，然后利用复数模 计算公式求解也可以利用复数模的性质，抓不变量，找等量关系进行求解过关测试7. （20XX-广东）已知0cac2

8、，复数z的实部为a，虚部为1，贝U z的取值范围是A. （1,5）B. （1,3）C. （1 八 5）D （1 八 3）8. （20XX山东质检）设复数 z满足关系式z |Z = 2 i，则z等于A. -3 iB. 3 -iC.3 i D3-i4 44题型五、复数的运算例9 （20XX高考真题四川理2)2iA. 1 B. -1 C. i D. -i【解析】直接化简为代数形式:(1)22i1 -2i - i2-2i1.2i2i【答案】B例10 （20XX高考真题山东理1)若复数z满足z(2 -i) =11 7i（i为虚数单位），则z为A. 3 5i B. 3 5i C. -3 5i D. -3

9、5i【解析】z11 7i (117i)(2 i) 1525i2 _i (2 _i)(2 i)-3 5i .故选A.【答案】A 例11 （20XX年高考湖北卷理科 1） i为虚数单位，则A. i B. -1C. i D.11+i2【解析】因为=i,法1：利用i21-i1，即2011Hi丿=i2011505i2-i ；法2 :利用in是以4为周期的，则有#*2011Mii.4 502 3 =i【答案】A方法总结：复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：加减法按合并同类项 法则进行；乘法展开、除法须分母实数化.乘方运算时，若次数较低可以直接计算，若次数较高时常常隐含着周期，利用

10、周期进行转化.如：in的周期为4.运算结果都必须为复数的代数形式，因此，一些复数问题只需设 a bi （ a,b R）代入原式后，就 可以将复数问题化归为实数问题来解决.过关测试9. （20XX高考真题安徽理1）复数z满足：（z-i）（2-i）=5 ;则z =A. -2 -2i B. -22i C. 一i D.l Hi10. （ 20XX天津理数）i是虚数单位，复数 二1 +2iA. 1 i B. 5 5i c. _5 _5i D. _1 _i11. （20XX 广东理2）设z是复数，a（z）表示满足zn =1的最小正整数n,则对虚数单位i , a（i）=A. 8B. 6C. 4D.2题型六：

11、共轭复数例12（20XX浙江卷理科2）把复数z的共轭复数记作z，若1 i , i为虚数单位，则（1 z）z =A. 3 _i B. 3 T C. 1 _3i D. 3【解析】(1 z)?二 2 z2 =1 i (1 i)(1 i) =1 i 2 = 3 i 故选 a【答案】Az例13 （20XX山东）设z的共轭复数是z，且z+z =4,z z = 8，则兰等于zA. 1B. -i C. _1 D_iz (2_2i)2丁 8 一 8【解析】本题考查共轭复数的概念、复数的运算，可设出复数的代数形式，由z+z =4则 z=2，bi,z=2bi，由 zz=8 得 4，b2=8，则 b = 2 , 【答

12、案】D方法总结：法1：利用共轭复数的定义，常先计算出z=abi的形式，再用定义得到ka-bi,最后直接计算相关问题，法2:共轭复数的性质解题过关测试2 +i12. （20XX年高考全国新课标卷理科1）复数 三丄 的共轭复数是1 -2iA. 3i b 3i C. -i D. i5 5I -：- i13. （20XX年高考江西卷理科 1）若z，则复数z =iA.B. ic.二一i D.二 i题型七、复数与其它知识的综合2例14（20XX高考真题新课标理3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为P1: z =2 P2: z2 =2i P3 : z的共轭复数为1 +i P4 : z的虚部为 TA.

13、p2, P3B. 口，P2C. P、p :D. P P：【解析】因为z =1+i2(-17 )(T i)(1i )2 2z = (-1 - i) = 2i，共轭复数为-1 i, z的虚部为 T，所以证明题为p2, p4，故选C.【答案】C 例15（2OXX高考真题陕西理3）设a,bR , i是虚数单位，则“ ab=O ”是“复数a -为纯虚数”的iA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】：ab二0：= a =0或b =0，而复数a = a _bi是纯虚数=a = 0且b = 0，ab = 0.二a ii是纯虚数，故选B.【答案】B.关键在于知方法总

14、结：复数与其它知识的综合问题在于抓住复数为背景，利用其它章节的知识来来解决 识的综合性和关联性过关测试14. （20XX年山东）若z = cos二 i si nr （ i为虚数单位），则使z2 - -1的二值可能是JlHHHA. B.C.D.6 432m和n,则复数（m，ni）（ nmi）为实数的概率15. （20XX湖北理）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 为1A. B.31c.1d.14612四、重庆9年咼考1. （20XX重庆理11）若（1 i ）（2 i） = a bi ,其中a,b三R,i为虚数单位，则a b =2.341+l+|2. （20XX重庆理1）复数 1 -i-八111

15、 11 1 1 1A.i B._ +i C.i D. +2 22 22 2 2 223. （20XX重庆理数11）已知复数z=1+i，则一z=z5i4. （20XX重庆理数2）已知复数z的实部为-1，虚部为2,则乞=zA. 2 i B. 2 i C. 2 i D. -2 i25. （20XX重庆理数1）复数1+彳=3iA. 1 2i B. 1 2i C. -1 D. 36. （20XX重庆理数11）复数的虚部为 2+i31 +2i7. （20XX重庆11）复数 i的值是.3+i38. （20XX 重庆卷 1） （L_i） 2005 二1 -iA. i B.- i C. 22005 D. - 2

16、 20059. （20XX 重庆卷）设复数 Z = V ,2i ,则 Z2 -2Z =（）A. -3B. 3C. 3iD.3i五、20XX权威预测复数的重点是复数的概念及代数形式的运算难点是复数的复数的四则运算，复数的概念及其运算是高考命题热点；复数的概念，要搞清楚实部与虚部，i .1，共轭复数等概念，及复数的运算.从近几年高考试题来看，主要考查复数的概念及其运算，难度不大，常以选择、填空题出现，分值为5分，在高考试卷中属于必考题，应引起注意六、挑战高考满分1. （20XX辽宁理）复数11丄的虚部是-2i 1 -2iA.B.C.D.2. （20XX全国卷I ）如果复数2（m - i）（1 mi

17、）是实数，则实数a. 1b. -1c. J2d.-3. （20XX四川理）复数（1 一 二2iA. 1 B. -1 C. i D. -i1 + ai4. （20XX安徽理）设i是虚数单位，复数 二巴为纯虚数，则实数 a为2 -i1 1A. 2B.-2C.- D.-2 2a + 2i5. （20XX山东理）已知b i（a,b R），则 a b =iA. -1B. 1C. 2D. 33 +i一6. （20XX海南文）复数z3 的共轭复数是2 +iA. 2 i B. 2 -i C. -1 iD. -1 -iiL 27. （20XX浙江卷）在复平面内，复数+ （1 +3i ）对应的点位于1 +iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8. （20XX北京理3）设a,b R , “ a = 0 ”是“复数a bi是纯虚数”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9. （20XX浙江理数）对任意复数 z=x yi x, r R , i