因式分解难题解析

1、因式分解难题解析詹码论坛站长在因式分解时，有时会用到以下两个公式：an -bn =(a-b)(an* +an2b+ +abn2 +bn-*)an, +b,n =(a+b)(an,1-am-2b+ -bm-2a+bnvl )(m 为奇数)下面精选了十个实例进行讲解。01 x Jy+xz - xz-2xyz+yz+yz分析：一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。3宀 cc ccx _xy+xz_xz_2xyz+yz+yz二 x _xy_xz+yz +xz_2xyz+yz=x (x2-y2) -z2 (x-y) +z (x:-2xy+

2、y:)=x (x-y) (x+y) -z (x-y) +z (x-y)2=(x-y) (x+xy-z+zx-zy)此题若不进行科学分组会很困难。02 x2 +2xy-8y2 +2x + 14y-3分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。解：Xy常数项14-11-23x2 + 2xy - Sy2 +2x + 14y - 3 = (x+4y-l) (x2y+3)注意：先看前三项，是否与x、y两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后 再看X、常数项是否与X的系数相配，最后看y、常数项是否与y的系数相配。作业： a5b-ab3 + a2 +b2 +提示：先分组再变形最后用十字相乘法。原式=ab(a

3、2 -Z?2) + (R + /?2) +1 = ah(a + b)(a-b) + (a2 +/?2) + 1= (a -dZ?)(oZ?+ )+ ( +Z?2) + 1 =(a2 -ab + )(ab + b2 +1)难度较大。 xy + y2 +x-y-2提示：x?的系数看成0,然后再用双十字相乘法。y原式=(x+y2) (y+1)也可用分组法，以X为主元。03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)分析：这个题目一看，映入眼帘的就是3个括号。瞧瞧括号里的b+c 、c-a 、a+b,看看这3项是否有某种联系前两项相加得不出第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1项。所以，这个题中

4、的笫1项如果分成两部分，一部分配给笫2项，一部分配给 第3项会是不坏的注意。解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)作业： x3 -35x-6 x4 -5 lx2 +1 + 2 丈 + 3提示：需要拆分分组。04 2x4 +7x3 -2x2 -13x + 6分析：拿到这道题，一看便知，这是高次，且包含多项的多项式。另外，还看到7、-13. 6有着某种关系，所以不妨把它们按此发现分组。这样

5、就有(2x42x2) + (7x3-13x+6)不难把13x分成7x和6x,配给7x3和6。这样，接着 2x2(x2-1)+7x(x2-1)-6(x-1)至此对后的分解就不在话下了。对于这道题，细心的人也会发现，各项系数和为0,这意味着是它的根，根 据因式定理，就知道x-1是多项式的一个因子，然后，怎么分组都行，只要按照 x-1的思路。作业：X3 +2x2 -5x-6提示：当偶次项的系数和(2+ (-6) =-4)等于奇次项系数和(1+ (-5) =-4)时, 就有-1这个根。也就是说，x+1是多项式的一个因式。os 2x x3 6x2 x + 2分析：拿到这个题看就觉得有某种对称关系：2/与

6、2, -X，与-X,系数分别相等。显然，应该把它们分别结合，然后再考察。解：2x4 -x3 -6x2 -x + 2二(2x4 + 2) + (-x3 -x) + 6x2二 2(x4 +1) - x(x2 + 1)- 6x2到了这里，似乎走进了死胡同。不用急，你再仔细看看，就会发现昭+1与X2+1 长得挺像，一定有某种因缘。令y =+1,所以有 x+l二ySx这里采用换元法，x2+1看成y。原 =2y2-xy-10x2=(2y -5x)(y + 2x) =(2x2 -5x + 2)(x2 + 2x +1)=(2x - l)(x - 2)(x +1)2对于这种对称式多项式，为了看起来更明显，也可以

7、用倒数换元法，即直接提取 一个最高项的次方的一半：2x4 -x3 -6x2 -x + 2二 x2(2x2 -x-6- + 纟)X XT21= x2(2x2+)-(x + -)-6XX然后令x + = y,那么/ +丄亍=y 2 _ 2=x2(2y2 -y-10)=x2(2y-5)(y + 2)? 2 1=x2(2x + 5)(x + + 2)XX=(2x2 -5x + 2)(x2 + 2x +1) =(2x - l)(x - 2)(x +1)2作业： (a2 + a + l)(a2 - 6a +1) + 12a2提示：看这个多项式有什么特点，然后利用这个特点就可找到路径。 (x? - 5x +

8、 4)(x2 - x-2)-72提示：以上要先进行适当变形后，才能进行换元。 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1 )(xy-1)提示：一看便知，这是一个很有特色的式子。除了常数项，就只剩下x+y和xy很容易想到，对它们工作应该有效。06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc分析：这是一个轮换对称式，将a换成b, b换成c, c换成a,结果一样。 这样的题目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不确定。可以用a+b=0代入多项式中，如果等于0,则有这个因式。令 a+b=O, (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)

9、c-abc=O,因此 a+b=O 是其一个因式。.同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次数也正好是3次，不会有其他因式了。解：a+b=O, (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=O.由此可见，a+b是多项式的一个因式。同理可知，b+c、c+a都是它的一个因式。令(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令 a=0, b=l, c=2,则得 k=l这道题也可以用主元法，一堆字母组成的多项式，一般都可以用。以某一个字母为主，其他为辅，按主字母的降序重新排列多项式。(ab+bc+ca)(a+b+

10、c)-abc(假设以 a 为主元)=a(b+c)+bc a+(b+c)-abc=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c) (以 a 的降序排列)=(b+c)(a2+(b+c)a+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)作业： x4+(x+y)4+y4提示：这种轮换对称，一般与x+y、xy有关。因此可以分组成x4+(x+y)4+y4=(x4+y4)+(x+y)4 ,又 x+y#(x2+y2) 2-2 xY= (x+y) 2-2xy2-2 x2)ro 16y+2x2(y+1) 2+(y-1) 2x4 (1 +y)2-2x2(l +y2)+x4 (1 -y)2 6y3+15z3-37y2z+32

11、yz2提示：按主元降序排列成6y3-37y2z+32yz2+15z就遇到了如何处理37y2z的问 题，如何把它拆开，使它一部分同6y3,另一部分同15z3+32yz2在一起这是要研 究的。假设是KyS、Ly2zo现在考察Ly2z+32yz2+15z不妨假设L分解成m、n,并提 取负号，根据+字相乘法的原理，则有Ly2z+32yz2+15z3=z(my-5z)(ny+3z), -5n+3m=-32,n=(32+3m)/5=6+(2+3m)/5,显然，m=l 或 6 或 11, n 才有整数解， 假设m=l,则n=7, L=-mn=-7,也就是将-37y?z拆成-7y?z和-30y2z两部分，分成

12、两组，前后 都可以分解，然后提取公因式。这里用了待定系数法。拆项时的以上运算可以在稿纸中进行，无需写入试卷。答案是(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。此题为竞赛级别的题目。 2a2-6b2-12c2-5d2+ab-2ac-3ad+17bc- 13bd+19cd-3a+22b-31 c+25d-20主元法是数学竞赛中常用的方法。该题为竞赛题目。答案是：(2a-3b+4c-5d+5)(a+2b-3c+d-4)。07 a2(b-c) + b2(c-a) + c2(a-b)分析：不难发现，当a=b时，原式=0,故可断定a-b是原式的一个因式，同理，b c、ca也是原式的因式。可设原式=k(a-b)

13、(b-c)(c-a)再令 a=0, b=1, c= 1 代入上式，得-2=2k, Ak= 1故原式=-(a-b)(b-c)(c-a)。此题用拆项法或 主元法也都很方便。作业：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)提示：还有一个因式是(a+b+c),如果不知道，用拆项法也方便。os x3 + 9x2 + 23x + 15分析：一看就知道有-1根，因为F与23x,9x?与15,它们的系数和等于24,必含有(X+1)32的因式，因此很容易把X )+9xz + 23x + 15 分组为(x3 +x2)+ (8x2 +23x + 15).当然，本题也可以用待定系数法确定9x2如何拆。09 x4

14、- x3 - 5x2 - 6x - 4分析：尝试一下1、2都不是该多项式的根，这时我们会想到，它可能没有一次因式。 这时可用待定系数法，按两次因式两次因式的方式来求系数，即使每个两次因 式还能继续分解为一次因式，也没有关系。我们一眼看上去就知道，-5x2联系着前后两个组，能够把它分解好了，往后就迎 刃而解了。分组法也是可行的。解一：令 x4-x3-5x2-6x-4= x4-x3-Kx2-L x2-6x-4= x4-x3-Kx2-(L x2+6x+4)= x4-x3-Kx2-(mx+4)(nx+1)根据十字相乘法的原理：4n+m=6, n=(6-m)/4=1+(2-m)/4, m可取2、6、10

15、等。 假如m=2,则n=1, L=mn=2, K=-3o我们可以试试是否成功。x4-x3-5x2-6x-4= x4-x3-3x2-2x2-6x-4=x4-(x3-3x2)-(2x2+6x+4)= x4-(x+3)x2-(2x+4)(x+1)=x2-(2x+4)x2+(x+1)(十字相乘法)=(x2-2x-4)(x2+x+1)这种方法，有点运气在里面，如果把常数项4分解为2P则达不到LI的。再回头 用1*4表示时会浪费了不少时间。解二：设原式= (x2 +ax + b)(x2 +cx + d)432整理后得=* + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x +

16、bd所以 有 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4,解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4o43222则x -x - 5x - 6x - 4 = (x + x 4- l)(x - 2x - 4)这道题难度较大。10x,2+x9+x6+x3+l分析：对于类似这样的多项式的分解，可利用乘法公式，将之乘以一个因式，同时除以 一个因式，然后，借助乘法公式来解决问题。巧用除法法，这是一种特殊方法, 引用了高中的等比数列求和，在初中的考试中一般不会出现，但在竞赛中则有可 能。x15-l(x5 - l)(x10 + X5 + 1)仲式二= x3-l (x-l)(x2 + X +

17、1)43287543=(X+ X + X + X + 1)(X- X + X - X + X - X + 1)把/看成y就变成了 y4+y3+y2+y+l,这就预示着可能含有x4+x3+x2+x+l因式。 需要指出的是，并不是一定含有这个式子，如xJxbl并没有X2+X+1的因式， 事实上，它不能分解。这道题理论上也可以用拆项添项法，但实际上很费事，不易想到该怎么拆。综合作业:In Ci + Cl + 12、_ 13. / + “ +14x (i + 6/ - 1以上4题，看起来简单，其实有点难度，项数越少，次方越高，越容易让人 觉得无从着手，是学生们疑问较多的习题。5、6x4 + 7x3 -

18、 36x2 -7x + 6提示：(6x4 +6) + (7疋一 7%) 一 36x2 = 6(x4 +1) + 7(十 一 l)x 一 36x2 =6(x2 -1)2 + 7(x2- 1)a -24x2 = 2(x2 -1)-3x3(x2-1) + 8x)=(3x - l)(2x + l)(x + 3)(x- 2)难度较大。6、(x2 + xy + y2)2 -4xy(x2 + y2)2 2提示：令X +那么原式=(a+b)2 -4ba = (a-b)2 =(x2 +y2-xy)2 b = xy7、(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2提示:用十字相乘法，先调整一下顺序，x4(1-y)2-2x2(1+y2)+ (1+y)28、2x2 +xy-15y2 -5x + 29y-12用两种方法分解。9、4x4 +4x3 -9x2 -x + 2此题容易看出各项系数和为0,可按此思路分组，将-9x2进行拆分。10、a3 + b3+c3 3abc2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13xyz提示：该题为竞赛题LI,难度很大。根据前面的提示，难度很大时，通常都釆用 主元法。引用前面练习中的结果：6/+15zi-31y2z+32yz2=(2y-3z)(y-5z)(