机械臂运动学资料

1、机械臂运动学基础1机械臂的运动学模型机械臂运动学研究的是机械臂运动，而不考虑产生运动的力。运动学研究机械臂的位置，速度和加速度。机械手的运动学的研究涉及到的几何和基于时间的内容，特别是各个关节彼此之间的关系以及随时间变化规律。典型的机器人由一些串行连接的关节和连杆组成。每个关节具有一个自由度，平移或旋转。对于具有n个关节的机械臂，关节的编号从 1到n,有n +1个连杆，编号从0到n。连杆0 是机械臂的基础，一般是固定的，连杆n上带有末端执行器。关节i连接连杆i和连杆i-1。一个连杆可以被视为一个刚体，确定与它相邻的两个关节的坐标轴之间的相对位置。一个连杆可以用两个参数描述，连杆长度和连杆扭转，

2、这两个量定义了与它相关的两个坐标轴在空 间的相对位置。而第一连杆和最后一个连杆的参数没有意义，一般选择为0。一个关节用两个参数描述，一是连杆的偏移，是指从一个连杆到下一个连杆沿的关节轴线的距离。二是关节角度，指一个关节相对于下一个关节轴的旋转角度。为了便于描述的每一个关节的位置，我们在每一个关节设置一个坐标系，对于一个关节链，Denavit和Hartenberg提出了一种用矩阵表示各个关节之间关系的系统方法。对于转动关节 i，规定它的转动平行于坐标轴zi-1，坐标轴xi-1对准从zi-1到zi的法线方向，如果 zi-1与zi相交，则xi-1取zi-1 x的方向。连杆，关节参数概括如下：连杆长度

3、ai沿着xi轴从zi-1和zi轴之间的距离；连杆扭转ai 从zi-1轴到zi轴相对xi-1轴夹角;连杆偏移di从坐标系i-1的原点沿着zi-1轴到xi轴的距离；关节角度Qi xi-1轴和xi轴之间关于zi-1轴的夹角。对于一个转动关节 Q i是关节变量，di是常数。而移动关节 di是可变的，Q i是恒定的。为 了统一，表示为乜转动关节di移动关节0T运用Denavit-Hartenberg (DH)方法，可以将相邻的两个坐标系之间的变换关系表示为一个-cosq-sinq coswsin Qsi njai cosqsinqCOS COSi-cosq sinwai sinq0sinwcostidi

4、_ 0001 一上式表示出了坐标系i相对于坐标系i-1的关系。即4x4的齐次变换矩阵*其中Tj表示坐标系i相对于世界坐标系0的位置与姿态，简称位姿。2、正向和反向运动学对于一个n-轴刚性连接的机械臂，正向运动学的解给出的是最后一个连杆坐标系的位置和 姿态。重复利用上式，得到工=人人川2人=K（q）机械臂末端位姿在笛卡尔坐标系中有6个自由度，3个平移，3个旋转。所以，一般来说具有6个自由度的机械臂可以使末端实现任意的位姿。总的机械臂变换Tn 一般简写为Tn，对6个自由度的机械臂简写为 T6。对于任意的机械臂，无论其它有多少个关节，具有什么结构，正向运动学解都是可以得到的。在机械臂的路径规划中，用

5、到的是反向运动学的解q = K J（Tn），它给出了特定的末端位姿对应的机械臂的关节角度。一般来说，反向运动学的解不是唯一的，对具有某种结构的机械臂，封闭解可能不存在。对于6自由度的机器人而言，运动学逆解非常复杂，一般没有封闭解。只有在某些特殊情况 下才可能得到封闭解。不过，大多数工业机器人都满足封闭解的两个充分条件之一（Pieper准则）（1）三个相邻关节轴交于一点（2）三个相邻关节轴相互平行如果机械臂多于6个关节，称关节为冗余的，这时解是欠定的。如果对于机械臂某个特别的 位姿，解不存在，称这个位姿为奇异位姿。机械臂的奇异性可能是由于机械臂中某些坐标轴的平行，或位置不能达到引起的。机械臂的奇

6、异位姿分为两类：（1）边界奇异位姿，当机械臂的关节全部展开或折起时，使得末端处于操作空间的边界或边界附近，雅克比矩阵奇异，机械臂的运动受到物理结构的约束，这时机械臂的奇异位置称为边界奇异位姿。（2） 内部奇异位姿，两个或两个以上的关节轴线重合时，机械臂各个关节的运动相互抵消， 不产生操作运动，这时机械臂的奇异位姿称为内部奇异位姿。械臂臂运动学逆解的方法可以分为两类：封闭解和数值解、在进行逆解时总是力求得到封闭解。因为封闭解的计算速度快，效率高，便于实时控制。而数值法不具有些特点。械臂运动 学的封闭逆解可通过两种途径得到：代数法和几何法。一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多，即运

7、动学逆解的数目也越多。在从多重解中选择解时，应根据具体情况，在避免碰撞的前提下通常按 最短行程”准则来选 择。同时还应当兼顾 多移动小关节，少移动大关节 ”的原则。n个自由度的机械臂的末端位姿由n个关节变量所决定， 这n个关节变量统称为n维关节矢量，记为q所有的关节矢量构成的空间称为 关节空间。机械臂末端的位姿 x是在直角坐标空 间中描述的，因此，称该空间为 操作空间或作业定向空间。机器人各关节驱动器的位置统称 为驱动矢量s，由这些矢量组成的空间称为 驱动空间。正向运动学3、Jacobian 矩阵机械臂的Jacobian矩阵表示机械臂的操作空间与关节空间之间速度的线性映射关系，对于个n-轴的机

8、械臂，笛卡尔坐标系中的基座速度是0Xn 二 0jq末端速度是其中x是6个元素的向量。对于6个关节机械臂Jacobian矩阵是方阵，如果它是可逆的，则可以由机械臂的末端速度求出各个关节的速度。Jacobian矩阵在运动的奇异点的位置是不可逆的。在实际应用中，当机械臂的末端位置接近奇异位置时，Jacobian矩阵是病态的，可能导致关节速度不能准确地得到。雅可比矩阵可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。首先来看一个两自由度的平面机械手，容易求得X =h G +I2 ci2 G =COS（d）,G2 =COS + 日2） y T1S1+I2S12 s

9、=sin但 1）,S2 =sin +玄）两边微分后写成矩阵形式r exCX 1严1-rdc02严J!dyj胡 1溯2 一Tl S|2 S12dx|l_l1 cil2 ci2_l2 SI2ZI2C12 g，简写成dx=Jd B,式中J就称为机械手的雅可比(Jacobian)矩阵，它由函数 x, y的偏微分组成，反映了关节微小位移d B与机械臂末端微小运动dx之间的关系。dx/dt=Jd B/dt,因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度 与关节空间速度的线性变换。dx/dt称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度， dB/dt为关节速度。可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一

10、关节以单位速度运动产生的端点速度。h S1 I2 S12IU1 G I2 G2I 2 S12 I即B和B2的改2 12可以看出，J阵的值随末端位置的不同而不同, I2 c|2变会导致J的变化。对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称 为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：det（J） icosd）,当0=0。或02=180。时，机械手的雅可比行列式为0,矩阵的秩为1,因此处于奇异状态。比J是满秩的方阵,在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。如果机械手的雅可相应的关节速度即可求出，即扌=JJx，上例平面2R机械手的逆雅可，显然，当02趋于0

11、（或180 ）时，机械l2Cl2l2si2Ihl2s2 hG 1$ 丨2$2手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏T为:t11t21t3141t12t22t32t42t13 t23 t33 t43t14t24t34t44导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。例如给定变换若它的元素是变量x的函数，则变换 T的微分为：dT 二dxexdxexFt 212252324dxexdx

12、ex“3132醴33醴34dxexdx&总41我4243醴44一 exexexex戲14爲2氏1dx下面讨论机械臂的微分运动， 设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为 该杆件相对基坐标系的位姿变为 T+dT ,若这个微运动是相对于基坐标系 乘），总可以用微小的平移和旋转来表示，即T,经过微运动后 （静系）进行的（左T dT =Tran s(dx,dy, dz)Rot(k,dRT所以有dT = Trans(dx,dy,dz)Rot(k,昶)一 1做ti （动系）进行的（右乘），则T+dT根据齐次变换的对称性，若微运动是相对某个杆件坐标系 可以表示为T dT=T Trans(dx,dy,dz)Ro

13、t(k,)所以有dT =T Trans(dx,dy,dz)Rot(k, d日)一144令:-Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dr)-打4为微分算子，则相对基系有 dT= 0T,相对i系有dT=T i。这里的下标不同是由于微运动相对不同坐标系进行的。在机械臂运动学中 微分变换分为微分平移和微分旋转两类。微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵为：10 0 dx0 10dyTrans(dx,dy,dz)=0 01dz卫 0 0 1 一由于微分旋转 0 0，所以sin 0 d, cos将它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式：-1-kzd 日kyd601Rot(k,dT)=kzd日1_k

14、xd 日0-kydOkxdQ100001于是得微分算子也二Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dB) 1収4，即0-kzdvkyd vdxkzd 日 0kxd 日 dyA =kyd 日kxd 日0dz.0 000 一微分旋转的无序性，当0时，有sind,0 cos 01若令 S x=d 0, S y=d 0,y S z=d 0,则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为-10001-106y01I1-bz001Rot(xx)=01-5x0Rot(y,6y)=0100Rot(z,5z)=5z1000dx10-5y0100010I00010001L0001略去2次项，得到-10&y0-10紬01y

15、1-5x001-6 x0二 Rot(x,6x)Rot(y, 6y)=J10-6 y6x100 001_-0001 一-1y6y01-106y00 1001一帝x0Rot(y, Oy)Rot(xx)=-y莎 x100 y6x10L0 001 一-0001 一两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。结论：微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动(一般旋转)的一个重要区别。同理可得-1-6z6y 0Rot（xJ5x） Rot（ y,芬 y） Rot（z, 6 z）=6z1一右x06 ydx100001若Rot(3x谷y SZ和Rot (3 x, S y, S z)表示两个不同的微分旋转，则两次连续

16、转动的结果为：1_(6z + 6z)6z+6z1Rot(6x,6y,6z)Rotx,6y,6z)=丄_(6y+5y)6x+6x- 0 0上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，:.y 、y 0 _x + dxl) 0 1001_即微分旋转是可加的。合称为微分运动矢量由等效转轴和等效转角与Rot(x,、；x)Rot(yy)Rot(zz)等效，有-1-kzdkyd日01-1d z0kzd91-kxd06z1o x0-kyd 日kxd106 y100001一.0001一kyd 0 =S , kzd 0=S,将它们代入得1_ 0z0dx=0-氏dyy0dz000 0Rot（k,d

17、R 二 Rot（x,、x）Rot（y,、y）Rot（z,、z）d微分平移矢量所以有kxd 0 = S,可见微分变换由两个部分组成S微分转动矢量可表示为 D =(dx，dy ,dz，、X，、y，、z)T例：已知一个坐标系 A二105，相对固定系的微分平移矢量d=10 0.5，微-0-冠zydx 1-000.11 1dz0-冠xdy0000-dyQ0dz-0.1000.50000 一10000 一求微分变换dA。分旋转矢量3=00.10 ,-000.110 0 1 10100.101 1000010050000-0.1000.5010000-0.1-0.53000 _0001 _10000 一dA

18、 = . A =第二个坐标系为i系，j系不失一般OxaxPx0T =nyOyayPyi 1nzOzazPz0001 _- 0o z6ydx-0_zyidx 1因为A0 =6z0o xdyA0心xdy0-5y6x0dz-冠yi6 Xi0dz0000 _0000 一j系就是固定的0系。下面讨论两坐标系之间的微分关系，设第一个坐标系为 性，假定所以也oOT=0TAi，舟二0T血0T，整理得到dix = n(C P) d) diy =oK( P) d)diz =a(eP) d)ix = n_；iy =0_iz =adxidyi d乙 hi貝0ny0yaynz0zaz000(P n)x (p n)y(P

19、 o)x (p 0)y (P a)x (P a)ynxny0x0yaxay(pxndx(P8)zdy。(P3)zdz0nzgOzaz工z0 一对于任何三维矢量P=Px, Py, Pz，其反对称矩阵S(p)定义为:0-PzPyS(P)= I Pz 0-Px-PyPx0 一h 0x ax0 ci R ny Oy 3yJiz 0z az _上式简写成；0rt-0RTs(0pi0)l00rt一A和B之间广义速度的坐标变换为:类似地，任意两坐标系bvLBr -：rs(aPb)avvLQr -BArsCPa。)BJ0:RAJ %0 bR例：已知一个坐标系 A105，相对固定系的微分平移矢量d=100.5，

20、微分旋转矢量3=0解：将d=10卫0.1 0 ,0.5和同00.10 代入dix =nkcP)d)diyP)d)diz 二aL(GP)d)求A系中等价的微分平移矢量dA和微分旋转矢量&ixdiydiz=n_：=o_二 a_、得到 dA - 100 5.1 T - 10.10 0 T o3、 robotics 工具箱中的运动学求解函数使用 函数 fkine 的调用格式tr =fkine (ROBOT, Q)ROBOT 表示机械臂对象， Q 机械臂关节坐标值。函数 ikine 的调用格式 q = ikine(ROBOT, T) q = ikine(ROBOT, T, Q) q = ikine(RO

21、BOT, T, Q, M) 输入变量ROBOT 表示机械臂对象， T 机械臂末端变换矩阵。 输出变量 q 机械臂关节的角度 (单位是弧度 )，一般来说逆运动学的解不是唯一的，取决于初 始值Q,缺省时是0向量。如果机械臂的自由度 (DOF)小于6，此方法无效。由于解空间的 维数大于机械臂的自由度， 这时需要第 4 个输入量 M 来确定笛卡尔坐标 (手腕对应的坐标系 ) 中的哪些量在求解中被忽略。 M 中有 6 个元素，分别表示沿着 x,y,z 方向的平移和相对于 x 轴，y轴，z轴的旋转，值是0(忽略)或1。非零元素的个数应该等于机械臂的自由度。例如， 对典型的有 5个自由度的机械臂，一般是忽略

22、相对手腕坐标的转动，这时 M = 1 1 1 1 1 0 。 另外一种用法是 qt = ikine(ROBOT, TG) qt = ikine (ROBOT, TG , Q) qt = ikine (ROBOT, TG , Q, M)输入变量 ROBOT 表示机械臂对象， TG 是 4x4xN 机械臂末端变换矩阵。输出变量qt是一组(N个)TG对应的关节坐标。一行对应一个输入变换，每一步的初始值取上一步的 值。求解使用机械臂 Jacobian矩阵的伪逆，这是数值求解方法，对于特定机械臂逆运动学解 (如果可能 )应该尽量使用解析解。但是这种方法可以得到奇异点上的解，零空间中的关节角 度可以任取。

23、函数 transl 的调用格式tr= transl (X, Y , Z)tr= transl( X Y Z ) 返回机械臂末端坐标 X, Y, Z 对应的齐次表换表示X Y Z = transl(T) 返回齐次表换表示中的平移值，作为一个 3 元素的列向量X Y Z = TRANSL(TG)从笛卡尔坐标系的轨迹 TG 中得到 X, Y 和 Z 的值。函数 ctraj 的调用格式tc= ctraj(T0, T1, N)tc = ctraj(T0, T1, R)返回从 T0 到 T1 笛卡尔坐标系的轨迹 TC N 表示轨迹中的点数。 在第 1 中情况下， 轨迹中 的点在 T0 到 T1 中等距离分

24、配。在第 2 中情况下，向量 R 给出轨迹中每个点的距离， R 中 的元素取值为 0 1 。一个轨迹是 4x4xN 矩阵，最后一个下标表示点索引。函数 trinterp 的调用格式tr = trinterp (T0, T1, R)返回从 T0 到 T1 齐次变换的插值矩阵。 R 中的元素取值为 0 1 。旋转变换使用 4 元素球坐 标线性插值。puma560qr=0 pi/2 -pi/2 0 0 0x=fkine(p560,qr)xyz=transl(x) q=ikine(p560,x)q=-0.0000 1.5238 -1.4768 -0.0000 -0.0470 0.0000 %注意逆解不唯一 transl(fkine(p560,q) %验证末端位置ans= 0.0203 -0.1500 0.8636 x0=0.3 0.2 0.5x1=0.3 0.2 -0.5 tc=ctraj(transl(x0),transl(x1),5) qc=ikine(p560,tc) qc=mod(qc,2*pi) %验证末端位置 transl(fkine(p560,qc(1,:) transl(fkin