新版3年高考2年模拟高考数学第4章高考数学第1节三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式

1、第四章三角函数及三角恒等变换第一节三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式第一部分三年高考荟萃2010年高考题一、选择题1. (2010浙江理)(9)设函数f (x) =4sin(2 x+1) x ,则在下列区间中函数 f(x)不存在零点的是(a) 1-4, -2(b) 1-2,0(c) fo,2(d) 2,4答案 a解析：将f(x)的零点转化为函数 g(x)=4sin(2x + 1月凤*)=*的交点，数形结合可知答案选a,本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题22. (2010 浙江理)(4)设 0x-,则

2、xsin2x 1” 是 “ xsinx 1” 的2(a)充分而不必要条件(b)必要而不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件答案b解析：因为0vxv ,所以sinx v 1,故xsin 2x/l-cos280o = 71-2 .tanlotr = -tan800 = .故选b-k二、填空题41 .（2010全国卷2理）（13）已知a是第二象限的角，tan（n +2a） = ,则n a =3【命题意图】 本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的计算能力.4【斛析】由tan +2a)= -一得tan 2a = - 3又 tan 2 =1 ,、一 一 .j

3、. 一tan =-一或 1卦=,汉a是第二象限的角，所以 tanu= 一2 tan,21 - t an：1222 . （2010全国卷2文）（13）已知a是第二象限的角，tan a =1/2 ,则cos a 二2 5【解析】5:本题考查了同角三角函数的基础知识12 5tan 二二一一 cos_（= 2 , .533. （ 2010全国卷1又）（14）已知支为第二象限的角，sina=,则5tan2-：=-24答案-247【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式， 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能【解析】因为口为第二象限的角，又sinu=9,所以c

4、osu=_q, tan = s*na =- 55cos-4所 tan（2：）242tan 二2-3 二cos2a =，则 tan（ + 2口）=541 - tan -4. （2010全国卷1理）（14）已知ot为第三象限的角,分折：（本小题主要考聋角了角的象限的判断及三角捌数值符号的判断、同角三角的效关系、两角和的正切公式3幻解；a为第三赞限的角,城开十州w附+,1.4匕r-2不m2r 0,知 b0五 ac (0, 一)，cosa= 3sina又 sin 2a+ cos2a= 1, sina = 近0 , cosa= 311010由题意，cosb=-,得 sinb =10cos( a+ e)

5、= cosacosb- sinasinb =1012分故 cosc= cos兀 一(a+ b) = 一 cos( a+ b) = -105. (2010天津文)(17)(本小题满分12分)ac 在：abc中,acabcosbocosc(i )证明 b=c:(n)若 cosa=- 1,求 sin 14b 3.的值。【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、 同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.(i )证明：在 abc中，由正弦定理及已知得s_n_b= cosb .于是 si n c coscsinbcosc-cosbsinc=0 ,即 si

6、n ( b-c) =0.因为 _冗 b_c n ，从而 b-c=0.所以b=c.(n )解：由 a+b+c=1 和(i )得 a=n -2b,故 cos2b=-cos ( n -2b) =-cosa=-.3又02bn，于是sin2b= 1 - cos2 2b =2-3从而 sin4b=2sin2bcos2b=4,2922 _cos4b= cos 2b - sin 2b =用心 爱心 专心213 _ 4、5 -7、33 一 18所以 sin(4 b 一)=sin4bcos cos4 bsin 336. (2010山东理)三、解答题：本大题共e小题，共；4分.(1刁(本小题满分1二分)已知函数)=

7、:五口 2ksit二8岬-、出1倍+ j(oc其留蠹过点( 1)求o的值(口)将函软了 =/5)的图索上各点的横坐标缩短到原来的l纵坐标不变，得到函数7 =式力的圄泰占求函数名在9巨；上的最大值和最小值.【解析】(i )因为已知函数醵过点(？，)，所以有 6 2=sin2x -sinp+cos26cosp-sin62歼十(0中:开)，即有1 = sin z?+-cos -(-cosx-5inxxx+ sinx)3322223 , ； i + ar)s= /(x)-r(x) - cos2x -isin2 =.a与+?=出球乃时,献而取得出人依干.网鬣）取褥显人仇时.对隔的工傍处合为伊|工=依-j

8、tczj.82009年高考题、选择题1.（2009海南宁夏理，5）.有四个关于三角函数的命题:p2:ex、 ym r, sin(x-y)=sinx-siny2 x 2p1 ：二x = r, sin + cosp3： - x 0,二 11 - cos2x=sinxp4: sinx=cosy =jtx+y=一2其中假命题的是a p1 , p4 b.p2 ，p4c.pi , p3d.p2 ， p4答案 a2. (2009辽宁理,8)已知函数f （x） =acos（ 6 x +中）的图象如图所示，f c）=iif(0)=(a.-23b.c.-d.答案c3. (2009辽宁文,8)已知tani2 . 一

9、. ._2 .=2,则 sin b+sin 9 cose _ 2cos 6a._43答案db.c._344d.54. (2009 全国i文,1)sin585的值为a 2 八. 2b.c.d.答案a5. (2009 全国i文,4)已知tana =4,cota.111答案bb.711c.1 =-，贝u tan(a+ 37_d.6. (2009 全国 ii文，4) 已知aabc中,口 )=(1371312cot a =-5贝u cosa =a. 口13b.a13c.解析：已知aabc中,“12cot a =55- d.13na (-/).121312.12故选d.137. (2009 全国 ii 文

10、，9)若将函数y = tan(6x +)侬 0)的图像向右平移4-个单位长度6jiy = tan(x + )的图像重合，则6切的最小值为(a.b.c.d.答案d18. (2009 北东又)a = 是 “ cos2a = 3” 的a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d .既不充分也不必要条件答案a解析 本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查1_1当 a =百时，cos20f =cos = 2，反之，当 cos2a =万时，n2： =2k 二一一二3ji二k二石k三z或 2a = 2kn =久=kn (k e z

11、),故应选 a. 3619. (2009北东理)“口 =+2kn(kwz)” 是 “ cos2a =” 的 62( )a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案 a解析本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查当口 =工 +2kn (k w z)时,6f ,:一1cos2: = cos i 4k： 一 = cos = 一332一 、，, 一 1反之，当cos2 =时，有22 =2kn + = =依 + (kw z ),36、冗或 2:2k ：- 二二匕3ji一一(k三z ),故应选a.610. (2009全国

12、卷n文)已知12 abc中，cota =一，则cosa =b.913c.513d.1213答案：d解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由一 12 ，一cota=知a为钝角,5cosa c均正确，故错误的是【易错提醒】 利用诱导公式时，出现符号错误。12. (2009全国卷n理)则 cosa =一， 一 ,12已知 aabc 中，cota = 513ct12d. 一 一13解析：已知aabc中,12 cot a= 5na (万,二).cos a 二,1 tan2 a12)212.故选d.13答案d13. (2009 湖北卷文)“sin1、工=-21 ,一cos 2ct =一的(2a.充分而

13、不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案解析,1 一 2由 cos2a = 可得 sin21 一21故sina = 一是sin a = 一成立的充分不必要条件, 24故选a.14. (2009重庆卷文)下列关系式中正确的是(a. sin110 cos100 sin168 b . sin1680:sin110 : cos100c. sin110 二 sin1680 二 cos100d. sin1680:二 cos100 :二 sin110答案c解析 因为 sin160 =sin(180 12)=sin12 ,cos10 =cos(90 80 )=sin80 ,由于正

14、弦函数y=sinx在区间0 ,90 上为递增函数，因此 sin11 sin12 0 ,则 cosb =53答案.35属于基础知识、基本运算的考查解析本题主要考查简单的三角函数的运算由已知，日在第三象限，cos 6 = - ji -sin28=11 1 1 =，应填3 . .55516.（2009湖北卷理）已知函数f (x) = f ()cos x +sin x,则 f ()的值为 44答案1解析 因为 f(x) = f(；) sinx+cosx 所以 f(；) =f() sin；+ cos：jteji j j=f()=j2-1故 f() = f()cos+sin二44444三、解答题44417

15、. (2009 江苏，15)设向量 a = (4cosa,sin a), b = (sin p, 4cos p ), c = (cosp,-4sin p)*44口(1)若a与b -2c垂直，求tan(a + p)的值；4 4(2)求|b+c|的最大值;ii(3)若 tana tan p =16 ,求证：a / b.分析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正 弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。什）由律与 d-2f 垂直，2r） =ar = 0 ,即4slmtz+ p) 8cos(o:+ py = 0, tan( a+ p = 1 ：| &

16、 + r |2 = sin2 / + 2 sin/? cos /? +。口 / #+16 cq一尸 一 32 q吊尸就n 炉 +16 就 1/ p=r-30sil)邛=r -15曲12/，最大值为32,所以|ci的最大值为4ji. 由 tmiutiu/； = 16 得 sin c? si n / = 16 cost/ cos： ft .即acoaa -lcos/?-sinizsiiix7 = 0f 所网 口疗力18.（2009 广东卷理）（本小题满分12分）tfji已知向量a = （sin32）与b =（1,cos）互相垂直，其中 日三（0,）.2（1）求sin日和cos9的值；i- 若sin

17、（h -中）=,0 华 二,求cos中的值.102解：（1） a与b互相垂直，则a，b=sin日_2cose=0,即sin日=2cos8，代入五，又一0,万）,.22.2.5.5sin 6 +cos h=1sin6=,cos8= sini二，cos 一史(2)0邛 0,. sin a = 233（n）如图，由正弦定理得 上c =-bc sin b sin abcac sin asin b,6 .立 _1- =3 2 ,又 sinc3sin( a b) = sin acosb cos asin b一s.abc-1 ac *bc *sinc -1 6 3-2置二3、2 320.(2009 天津卷文

18、)在 mbc 中，bc = m5, ac = 3, sinc = 2sin a(i )求ab的值。(n)求 sin(2a-)的值。ab bc工曰=,丁 7 sinc sin a4(1)解：在aabc中，根据正弦定理,-bc -ab =sinc=2bc -2 5sin a(2)解：在 mbc中，根据余弦定理，得_ 2_ 2 2a ab ac - bccos a =2ab , ac于是 sin a = 1 - cos2 a =, 5从而 sin2a = 2sin acosa =223,cos2a = cos a - sin a =-55.，、.2sin(2a -一)= sin 2acos cos2

19、asin =44410【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和 余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。21.(2009四川卷文)在 aabc中，a、b为锐角，角 a、b、c所对的边分别为 a b、c,且 sina 二立 sinb .四510(i )求a + b的值；(ii )若 a b = v21,求a b c的值。解(i) a b为锐角,sin a、5 . -10=,sin b =510：tt2、5-cos a = 1 -sin a =,cos b5二10cos(a b) = cos a cos b - sin asin b2.5 3 /10

20、.5102=x -x=5105102巴，sinc=及 42-0 二 a b :二二ji.a b -4(ii )由(i )知 c =,a由c-得sin a sin b sinc.5a =、. 10b =、2c,即二、2b, c = 5b又a -b =、/2 -1b =112分22. (2009 湖南卷文)已知向量a =(sin &cos日2sin 6),b =(1,2).(i)若a / /b ,求 tan0 的值;(n)若| a |=| b |,0 0 年求8 的值。解：(i)因为 a/ /b ,所以 2sin 0 = cose _ 2sin 于是 4sin 日=cosh ,故 tan9 =1.

21、4(n)由 |arb| 知，sin2 8+(cosh2sin 日)2 = 5,所以 1 -2sin 21 4sin 2 1-5.从而-2sin 28 +2(1 -cos28) = 4 ,即 sin20 +cos282-9三 只 9二于 sin(2 +)=.又由 06兀知，一2日 +一 , . 二5 二, 二7二所以2日+ =,或2日+ =.4444一，. 二 .3二因此8 =或8 =.2423. (2009 天津卷理)在abc中,bc=v5 , ac=3 sinc=2sina(i) 求ab的值：( n )(ii)求 sin 2a i的值4本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系

22、、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。(i )解：在 abc中，根据正弦定理，-ab- b sinc sin a于是 ab=sin c bc =2bc =2 . 5sin a222(n)解：在 abc中，根据余弦定理，得 cosa= ab ac -bd =2_2ab.ac 5于是 sina= . 1 cos2 a = 5从而 sin2a=2sinacosa= 4 ,cos2a=cos 2a-sin 2a=-551-所以 sin(2a 尸sin2acos -cos2asin = _22008年高考题、选择题1. (2008山东)已知a, b, c为 abc的

23、三个内角 a, b, c的对边，向量m =(百,一1), n =(cos a,sin a).若 m _l n ,且 acosb+bcosa =csin c ,则角 a, b的大小分别为（）a. b,红 j6 33 6答案cc.36冗冗d-，一3 3解析 本小题主要考查解三角形问题.；j3cos a - sin a = 0 ,2a = ;= sin acosb sin b cos a = sin c,32sin acosb +sin bcosa =sin( a + b) =sinc =sin c ,一 几 _ 冗c =一.二b =.选c.本题在求角b时,也可用验证法262. （2008 海南、宁

24、夏） 3 tin 70 =（）2 -cos2101 b. 2c. 2d.答案c解析3 -sin 70c 3-cos20 :3 -(2cos220，: -1)2 c =2 c =2,=2 ,选 c2 -cos 102 -cos 102 -cos 10、填空题3. （2008山东）已知a, b, c为abc勺三个内角 a b, c的对边，向量 mr （ 3-1）, n=(cosasin a .若 ml n,且 acosb +bcosa=csin c,则角 b=答案6解析本题考查解三角形用心 爱心 专心冗v3 cosa -sin a = 0 , a = , sin acosb + sin b cos

25、a = sinc sinc , 3c = .二 b 二一。2-sin acosb +sin bcosa =sin( a + b) =sinc =sin c ,(2007湖南)在 abc中，角a, b, c所对的边分别为 a, b, c,若a = 1, b=j7 ,答案6三、解答题1. (2008北京)已知函数1 - . 2sin(2x-) f(x)4cosx(1)求f (x)的定义域;(2)设a是第四象限的角，且解：(1)依题意，有cosx划,即f (x)的定义域为 x|x rr,4tana =,求 f (a)的值.3解得x# n+ ,n且 x#nd, kz1- ,2sin(2x- f(x):

26、n4)= 2sinx + 2cosx,. f (a ) = 2sin a+ 2cosacosx44由口是第四象限的角，且 tan = 可得sin ot=,3一、14，二 f (口)= 2sin c(+ 2cosa=53cos 0(=-52. (2008江苏)如图，在平面直角坐标系 xoy中，以ox轴为始边做两个锐角 a, p ,它们的终边分别与单位圆相交于 a, b两点，已知 a, b的横坐标分别为0且 sin a =7-。同理可得 sin p一 1因此tan a =7, tan p =一。2(1)tan 工+tan： tan(： - p)=1 - tan 二 tan :=-3。用心 爱心 专

27、心40(2)+ 3x - 9 ,已知 f (x)在 x = -3时取得极值，则a =(a) 4(b)答案 c.解：f (x) = x3由已知x = 3时,(c) 5ax2 3x -9= f (x) =3x2 2ax 3f (x) =0= 3 9-2a 3 3 = 0=(d) 2故选c2.(成都市玉林中学 20102011学年度)cos(20 二、) =3(a) 12 答案c.(b) 3b b)2(d)色22-3 (成都市玉林中学20102011学年度)函数f(x) = x3+ax2tan(a +2p) =tan(a +p) +p =2- =-1 ,1-(-3) 2-,0 +2p -,从而 a

28、+ 2p22第二部分两年模拟汇编2010年模拟题题组一f(x)在(8,+资)上为减函数,. f (6)f (9)d. f f (10)3(成都市玉林中学 2010-2011学年度)已知定义域为 r的函数且y = f (x+8)函数为偶函数，则a f(6)f(7)c.f(7)f(9)答案d.4.（成都市玉林中学2010-2011 学年度)y = 2sin 1 2x+ i 的图象是3（a）关于原点成中心对称（c）关于点.1,0 i成中心对称12（b）关于y轴成轴对称关于直线x=12成轴对称答案d. 4 .解：因为y =2sin |2x - 3若是关于中心对称：则 2x 二3一3k 二=kn = x

29、 =(kwz),故 x00,x6*所以不关于指定的点成中心对称;若是关于轴对称：则 2x二二七：二一,k=0时，对称轴为k 二 ,、x =一(k z)212ji x = 12故选d5、（江西省2011届高三文）直角梯形abcd如图1,动点p从b点出发，由沿边运动，设动点 p运动的路程为aabp面积为f（x）,已知f（x）图象如图2,贝u a abca.面积为（图2c.18d.32答案b.6.（江西省2011届高三理）若函数p p .f(x) = x- -+ 2 在(1 x 2+ 8）上是增函数，则实数p的取值范围是a. - 1, +)b.1 , +)c. ( 一00, 一 1d.(巴 1答案a

30、.7.（四川省成都市玉林中学2011届高三理）y=2sin ：2x十一用勺图象是,3a.关于原点成中心对称c.关于点,0 |成中心对称12b.关于y轴成轴对称d.关于直线x石成轴对称答案7 .解：因为y =f n2sin i 2x -331若是关于中心对称：则 2x 一 = k： 二 x=33k 二-31冗(kwz),故 x#0,x#一,所以12不关于指定的点成中心对称;若是关于轴对称：则c 二,二k 二2x , 一 二 k 二 一 一x 二一(k - z)32212故选d,k=0时，对称轴为x =128.(浙江省桐乡一中 2011届高三理)要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=cos

31、(2x- 3)的图象(a)向右平移3个单位兀(b)向左平移3个单位n(c)向右平移 答案d.6个单位(d)向左平移6个单位9.(四川省成都外国语学校201110月文)同时具有性质：“对任意x w r ,f (x +耳)=f (x)恒成立;图象关于直线对称；在-三，四上是增函数”的函数 6 3可以是()a. f (x) =sin(2x )冗c. f(x) = cos(2x ) 3b.d._ 冗、f (x) =sin(2x -)6jtf (x) = cos(2x 一一)6答案b.10.(四川省成都外国语学校a(1, f(1)处的切线的斜率为4,2011届高三10月文).已知函数f (x) =x3+

32、bx的图象在点则函数g(x) = j3sin 2x+bcos2x的最大值是(a. 1b. 2c.d.答案b.填空题1.(江苏泰兴市重点中学 2011届理)函数f(x)=2sin 3x 十二的最小正周期t=1 , f (2) =2a 3 ,则a的取值范围是. a 1-2答案 一1 a 0时，2x+之2v2x =2中2,当且仅当2x=-, xxx2 .一 .一.即x =时取等号（ 10分）2当 x 2j（-2x） =2石,二 2x +1 -272-x- xx1.2（13分）（12 分）当且仅当(2x)=，即x =时取等号-x2综上可知函数f (x)的值域为(-o,-22 l 20时，f(x)是增函

33、数；当x0时，f(x)是减函数;f(x)的最小值是lg 2 ；f(x)在区间(一1, 0)、.(2,+ 8 )上是增函数;f(x)无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是答案(2-3 2三，简答题1.(江苏泰兴市重点中学 2011届)(14分)已知a=(1,cosx)b =一,sin x ,xw (0尸)3j(1)sin x cosx 的若a b ,求的值;sin x - cosx(2)若 a _l b ,求 sin x -cosx 的值。答案5.(本题满分14分)解:11(1) *a/b= sinx cosx= tanx = 231 1tanx+1=j_=2tanx -11 13sin x cosxsin x - cosx11一 sin x cosx =0= sin xcosx = 一一3310分,.、25(sin x - cosx) = 1 -2sin xcosx =-又 * xe (0,立)且sinxcosx 012 分214分,15 sin x -cos x =3三、解答题(本大题共 6个小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1. (2011湖南嘉禾一中)(本小题满分12分)tttt已知函数 f (x) =