2017年全国高中数学联赛福建赛区预赛

1、2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：0011：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1已知集合，若，则实数的取值范围为 。【答案】 【解答】由，得，。由，得，。若，则或，或。 时，的取值范围为。2已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，则 。【答案】 【解答】由函数为偶函数，知。又为奇函数， ，。 。3已知为等比数列，且，若，则 。【答案】 【解答】由知，。 为等比数列，且， 。 。 。 。4将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每

2、班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为 。【答案】 【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有种。（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。）其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有种。（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。）所以，所求的概率为。5三棱锥中，是边长为的等边三角形，且二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 。【答案】 【解答】如图，取中点，连，。由是边长为的等边三角形，知，。 为二面角的平面角，。作于，则。 ，为的外心，三棱锥为正三棱锥

3、。设三棱锥外接球的球心为，半径为。则在直线上，且。 ，三棱锥的外接球的表面积为。6已知为双曲线：上一点，、为双曲线的左、右焦点，、分别为的重心、内心，若轴，则内切圆的半径为 。【答案】 【解答】如图，不妨设点在第一象限，、分别为与三边相切的切点。则由切线长定理以及双曲线定义，得 ，。设，由为重心，知，。 ，。设内切圆半径为，则。另一方面，。 ，。7在中，内角、所对的边分别是、，且，则的面积为 。【答案】 【解答】由，知。 ，。 ，。 ，即。又，。 ，即，解得或。 ，或。 的面积。8若关于的方程（，）在区间上有实根，则的最小值为 。【答案】 【解答】由知，。 。 ， ，当，时，等号成立。 的最小

4、值为2。9函数的最大值为 。【答案】 【解答】由柯西不等式知，。当且仅当，即，时等号成立。 的最大值为11。10.、为圆上不同的三点，且，点在劣弧内（点与、不重合），若（，），则的取值范围为 。【答案】 【解答】如图，连结交于点。设，则由，得。 、三点共线， ，。不妨设圆的半径为1，作于，由，知。 ，且点在劣弧内（点与、不重合）， 。于是，。 的取值范围为。另解：如图，以为原点，线段的垂直平分线所在直线为轴建立直角坐标系。不妨设圆半径为2，则由，知，。设。则由，得。 。 点在劣弧内（点与、不重合）， 。 ，。 的取值范围为。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）1

5、1若数列中的相邻两项、是关于的方程（1，2，3，）的两个实根，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式及的前项的和。（必要时，可以利用：）【解答】（1）依题意，由韦达定理，得，。 ，即。 5分 ，；和，都是公差为1的等差数列。又，。 对，。即。 10分（2）由（1）知，。 15分 。 20分12已知椭圆：（）过点，且离心率为。过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点（、与点不重合）。求证：直线过定点，并求该定点的坐标。【解答】依题意，有，且。解得，。 椭圆的方程为。 5分易知直线斜率存在，设方程为。由，得 设，则，。 10分由知，。 ，即 。 。 。 15分 。由直线不过点，知

6、。 ，直线方程化为。 直线过定点。 20分13如图，、分别是圆的切线和割线，其中为切点，为切线的中点，弦、相交于点，弦延长线上的点，满足。求证：、三点共线的充分必要条件是、三点共线。 【解答一】由为圆的切线知，。又， 。 。 5分（1）若、三点共线。（第13题）设直线，交于点。则由塞瓦定理知，。 10分 ， ，。又点、均在直线上，因此、重合。 、三点共线。 15分（2）若、三点共线。设直线、相交于点。则由塞瓦定理知，。 ， ，为的中点、重合。 、三点共线。由（1）、（2）可得，、三点共线的充分必要条件是、三点共线。 20分【解答二】由知，、四点共圆。 。由为圆的切线知，。 。 。 5分（1）若

7、、三点共线。连结、。由为切线的中点知，即。 10分 。 。又由、四点共圆以及知，。 。 、三点共线。 15分（2）若、三点共线。设直线、相交于点，则。又， 。 。又， ，。因此，为的中点，、重合。 、三点共线。由（1）、（2）可得，、三点共线的充分必要条件是、三点共线。 20分14已知，。（1）当时，求的最大值；（2）判断函数零点的个数，并说明理由。【解答】（1）当时，。 时， 在上为减函数。又， 时，；时，。 在区间上为增函数，在上为减函数。 时，的最大值为。 5分（2），当，且时，。 在上为减函数。 时，；时，。 存在唯一实根，设此根为。则 时，；时，。 在区间上为增函数，在上为减函数。有

8、最大值。 10分 当时，由（1）知，有唯一零点。 当时，由知，。 。又时，；时，。 在区间，内各有一个零点。 当时，有两个零点。 15分 当时，由，知。由，知。 ，（）。设。 时， 在区间上为增函数。 时，。于是，。 时，不存在零点。综合得，当时，有两个零点；当时，只有1个零点；当时，不存在零点。 20分15设，是5个正实数（可以相等）。证明：一定存在4个互不相同的下标，使得。【解答】不妨设，考虑以下5个分数：， 它们都属于区间。 5分把区间分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含中的3个数（记这3个数依次为，）。 10分将中的5个数依次围成一个圆圈，则中任意三个数中都有两个数是相邻的