2013年高考数学全解全析-江苏卷

1、 第5贞共16页 2013江苏卷 1 fl一一 1 II1 样本数据小 畑 ，心的方差其中戈=丄为野棱锥的体积公式：V=|s/b其中S是锥 体的底而积，力为高.棱柱的体积公式：V=Sh,S是柱体的底而枳，为髙. 一填空题 1. 函数y=3sin(2x+寻)的最小正周期为 . 答案兀 解析 co = 2 , T=n. 2. 设z=(2-i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为 答案5 解析 z=(2-i)2 = 3-4i, lzl= 32 + (-4)2 = 5. 3. 双曲线土_看=1的两条渐近线的方程为. 解析 二1的渐近线方程为召- 4. 集合一 1.0,1共有个子集. 答案8 解析 C9

2、+ C“Q + C = 23 = r27+ 1 W12. 二、解答题 15. 已知向量 a=(cosa, sin a), b=(cosfi9 sin0), Opvav兀 (1) 若kz1=边，求证：丄b； (2) 设 c = (OJ),若 d+b=c,求 a, 8 的值. (1 )证明 由S b 二逗.即(cos a - cos 十(sin a - sin fi)2 = 2 r 整理得 cos acos B 十 sin asin 0 二 0 即a b = 0 r因此a丄b. cos a + cos 二 0 sin a + sin B 二 I 又 0a - 2(a - 2)2= 1. 设点, y

3、),因为MA - 2MO ,所以寸工十( _ 3尸二2 yjx2 + y2，化简得x2 + y2 + 2y - 3 = 0 ,即x2十(y十1尸 二4 ,所以点M在以D(0, - 1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意，点M(x , y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，贝!112 - 1IWCDW2十1 , 即1冬乜/十(23)运3 由50- 1加十820,得“WR； 12 由 5a2 - 12/0 ,得 OWgW丁 所以点C的横坐标“的取值范围为o, 18. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是 先从A沿索逍乘缆车到B,然后从B沿直线步行到

4、C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行, 速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设 193 缆车匀速直线运动的速度为BOnVmin,山路AC长为1 260m,经测McosA=, cos C=g (1) 求索道AB的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范国内？ 第9贞共16页 第13页共16页 1235 解(1)在 ZVIBC 中，因为 cos A = f cos C二 g ,所以 sin A 二舌, AB A

5、C 从而 sin B = sin;r - (A + C) = sin(A + C) = sin Acos C + cos Asin C =+= 由正弦走理微二鈴，得皿二篇Xsin C二罟X#二1 040(m). 65 所以索道AB的长为1 040 m. (2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d ,此时，甲行走了( 100 + 50/)m r乙距离A处130/ in ,所以 由余弦走理得 0 二(100 + 50/)2 十(130, -2X 130/X(100十50/)X胃二 200(372 70/+50) r 因 0W心晋 r 即0WrW8 r故当f二齐(min)时f甲、乙两游客距离最短

6、 由正弦走理鳥二紿，得M二爺XsinA二詈X*500(m). 65 乙从B出发时r甲已走了 50X(2 + 8+l) = 550(m) #还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为 nVmin ,由题意得-3W乎-尊W3 ,解得罟GW皆，所以为使两位游客在C处 互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在詈筈(单位：n”min)范围内 19. 设是首项为 公差为的等差数列(疋0), %是其前料项的和.记加#WNS其中c为 实数. 若c=0,且加 加，加成等比数列，证明：S戚=届上伙，nEN4)； 若几是等差数列，证明：c=0. n(n - 1) 证明 由题设/ Sn = nu + d

7、(1)由c二0 ,得b”二严二十一d.又因为hl , b2 , bA成等t鐵列，所以bi= = bg ,即+甥二十詢, 化简得cl2 - 2nd二0因为H0 r所以d二加. .m(m - 1) 因此,对于戶斤有的m丘N .有Sm = ma + z，加=nra. 从而对于所有的 k t ziGN* f 有 Snk = (nk)2a = n2k2a = n2Sk. 设数列九的公差是山r则bn = b + (n - lWi ,即今二/刀十1)山，代入2的表达式f整理 rr + c 得，对于所有的neN + cdn = c(d - b) 令A二山靭 B = h - d- “十如z D = cd - b

8、i) t则对于所有的nGN4 #有An3十Bn2十cdn = 0.(*) 在式中分别取h =1,23,4 ,得 A 十 B + cd 二-aOt故应)在(0 , + 8 )上是单调増函数,所以兀)只有 个零点 (iii) 当 OcdWc时，令 f(X)二丄二0 ,解得 x二 “ J 当 0 x0 f xa -1 时.f (x)0 ,即0/e -1时，金)有两个零点. 实际上,对于0/e -1 ,由于金-1)二-1 - we - *0 ,且函数/U)在c -1 , )时，f (x)二 “0 ,故.心)在(0 , “ -1)上是单调增函数，所以沧)在(0 , -*)只有 个零点 下面考虑几丫)在(

9、“-* , + 8)上的情况.先证人出-1)二/(/ - 2 - L j)e时，.设h(x) = e则於(X)二出-2、，再设/(x)(X)二e-2x,则厂(X) = ev-2. 当xl时，厂(x) = er - 2c - 20 ,所以/(a) = h (乂)在(1 , + 8)上是单调增函数.故当,v2时，(x) = 3 -2xh二e2 - 40 ,从而(、)在(2 , + 8)上是单调增函数.进而当e时， h(x) = eT - x2力(e)二 - c20.即当.e 时，ev.2. 当 0ue -即 “ -、c 时，_/(en J)二“ -1 - t/en-1 = a(a-2 - ea-

10、*)0 ,且函数 /U)在,efl-! 上的图象不间断，所以用)在(J U上存在零点又当x-】时，f二 - ，故.心)在，+ 8）上是单调减函数,所以/U）在（“I , + 8）上只有一个零点- 综合（i ） , （ii） , （iii），当“WO或二c丨时，用）的零点个数为1，当0/cLO1 -1 0 1 ，所以A-叨二 0 2 0 -1丿二0丄二0八/二苏从而A的逆矩阵为A丨= 故二 41 2_ 1 _06一 2J -1 -2 -03 _ X二f 十 1 , C解 因为直线/的参数方程为(/为参数儿由x = t+得心1，代入y = 2tr得到直线/ v 二 2/ 的普通方程为2,)一 2二

11、0.同理得到曲线C的普通方程为y2二2x. 联立方程组一 2(A 解得公共点的坐标为(2,2),讣，-1 丿二， D 证明 - Z?3 - (2xib2 - a2b) = 2a(a2 - b2) + b(a2 - b2) = (a2 - b2)(2a + b) = (a - b)(a + b)(2ci + b). 因为 ab0 ,所以 a - bO f a + bQ92a + b0 r 从而(“ -b)(a + b)(2a + /?)0 ,即 2/3 - b32ab2 - a2b. 必做题I第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写岀文字说 明、证明过程或

12、演算步骤. 22. 如图，在直三棱柱ABC-ABC中.AB丄AC. AB=AC=2, AiA=4,点D是BC的中点. 第14页共16页 (1) 求异而直线AiB与CQ所成角的余弦值： (2) 求平面ADC与平而ABM所成二而角的正眩值. MBCD 18 丽I昂I回X帧 解 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -粧r则A(OOO), B(2.00), C(0.20) Q( 1丄0), A】(0Q4) 6(024)，所以届二(2,0 , - 4) fGD = ( f - 1 r - 4) 因为 cos丽 fCU)二 二噜,所以异面直线旳B与CQ所成角的余弦值为晋. (2)设平面 ADC

13、i 的法向呈为 ni=(x , y , z),因为Ab = (1,1,0),疋二(0,2,4),所以 MiAD = 0 , nvACi=Q , 即x +y = 0且y十2z二0 ,取z二1，得x = 2 , y= - 2 ,所以,ii= (2 , - 2,1)是平面ADC的一个法向呈取 平面AAiB的一个法向星为“2二(0,1.0),设平面ADG与平面ABAi所成二面角的大小为6. 由2肛|艦|二晟斤二?得sin&二零 因此，平面ADCi与平面ABA所成二面角的正弦值为芈. (R 1 23. 设数列“小 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4 4, 4,，(一1)*(一1)* %,，即当- /

14、伙尹伙WNJ时，血=(一 1)5,记Sn=m+“2+“gN*).对于ZGN*,定义集合P/=nlSn是 冷的整数倍,nSN且1W/. (1) 求集合Pii中元素的个数； (2) 求集合Booo中元素的个数. 解 由数列計的走义得5 = 1 2二-2 3二2 2=3 5 = 3八心二3八仃二-4,6/8= - 4 r 6/9 = - 4 , 5()= - 4 , UU = 5 # 所以 Si = 1 , S2 二-1 f 53= -3 r S4 = 0 , S5 = 3 t Se = 6 t Sy = 2 t Sg = - 2 , Sv = - 6 x Sio =-10 r Sn = - 5 r从而S二5 f S4 = 0Xt/4 r S5 = a5 , S6 = 2= - i(2i + 1).于是 S 1(2 1)二 Sg+1)+ + I)2 二-i(2i + 1) + (2/ + 1)2 二十 1)(/ 十 1) 由上可知Si+1是2/+ 1的倍数,而伽+1)+丿二2?十1(/= 1,2 ,2i+ 1),所以Si+ 1)+丿二Si+1)十丿十1) 是(/二 1,2 ,r 2i+ 1)的倍数又 iw2(+1)= (/+ 1)+ 1)不是 2i 十 2 的倍数 f 而 a(j*ix2f + i)*y=- (2/+ 2)(/= 1,2 ,2/ + 2),