含绝对值的不等式知识点

1、含绝对值的不等式1绝对值的意义是：Xx(x 0)2.1 x lv a(a0)的解集是x 丨一 av xv a . I x I a( a0)的解集是x 丨 xv a 或 x a.【思考导学】1. I ax+ b| v b(b 0)转化成一 bv ax+ bv b的根据是什么答：含绝对值的不等式I ax+ b| vb转化一 bv ax+ bv b的根据是由绝对值的意义确定.2. 解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而 后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同.【典例剖析】例1解不等式2vl 2X -

2、 5 I W7.I2x 5I 2解法一：原不等式等价于I I|2x 5| 72x 5|2 或 2x 57 2x5| 7(I)(n)37原不等式的解集为 x I - K xv或一v xw 622解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集05702x 72 2x2x 5不等式组(I)的解集为 X I - vx W62不等式组(n)的解集是 x I- iwxv - 237原不等式的解集是 x I- 1W xv 一或一v xw 622解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集(I )2 v 2X 5W 7(n )2 v 5一 2xw 7不等式(I)的解集为 Xl-vx W623不等式(n

3、 )的解集是 x I- iwxv237原不等式的解集是 XI 1 W XV或一V XW 6 22点评：含绝对值的双向不等式的解法，尖键是去绝对值号其方法一是转化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三.例2解矢于X的不等式:(1) I 2x + 3 I 一 iv a(a R);（2） I 2X+ 1 | X+ 1 .解：原不等式可化为丨2X+ 3 | 1时，由原不等式得一（a+ 1） 2x+ 3a+ 1a 4 a 2 x -22当a+ K 0,即a 0不等式组（n）的解为x - 23二原不等式的解集 |2或0f3点评：由于无论X取何值，矢于x的代数式的绝对值均大于或等于0

4、,即不可能小于0,故I f （x） | 1.解：由 |X-|2X+ 1| 1 等价于（X |2X+ 11）1 或 X |2X+ 1| 1 得 |2 X+ 1| X 1gr2xio2xi)xi11即2或2均无解x 2 x 0（2）由 X |2 X+ 1| 1 得|2X+ 1|X+ 12x 1 0 2x 1 02x 1 x 1（2x 1） x 112 x0 或 x 0.3点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”方，反复应用解答绝对值基本不等式类型的法，去掉绝对值的符号，逐次化解.【随堂训练】1不等式|8 3X| 0的解集是（）A.c. x| x 半、F D 33 32下列不等式中，

5、解集为R的是（）A. IX + 2 | 1 BX+ 2 I + 1 /C.(X 78) 2- 1 D .(X+ 78) 2 1 0 答案：C3.在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是（）A.X I一 2vxv 2B.X I Ov x 2C.X I一 22D. x I xv 1 或 x2）解析： 由原不等式得丨ax b lv a,一 av ax bv解析：由 I 1 2X I v 3 得一 3 v 2X 1 v 3，二一 1 v XV 2答案：B5.不等式I解析：X+ 4 I 9的解集是由原不等式得 x+49X+4v 9 , X5 或 X v一 13答案：X I X 5 或 XV一 136

6、 .当a0时，尖于x的不等式I b- ax I v a的解集是 xlb .1 v xv +1答案：X I b 一 1 V XV - + 1 aa【强化训练】1.不等式I X+ a I V1的解集是()A. X I 一 1 + av xv 1 + aB. x I 一1一 av xv 1一 aC. x I 一 1 一I a lv x v 1 一laiD. x I xv 1 | alg 1 I a I解析：由丨x+ a lv 1得一 1 v x+ av 1答案：B2 .不等式1wl X- 3 lw 6的解集是（）A.B.C.D.X 1 一 3w xw 2 或 4w xw 9X 1 一 3w X w

7、9X 1 一 1w X w 2X I 4w xw 9解析：x 3 0x 3 0不等式等价于或解 4 w xw 9 或一 3w X w 2. 答 A3.卜列不等式中，解集为 x I XV 1或X3的不等式是()A.IX 2 I 5B.I2X 431X1C 11 -1 lX722D. 11-1 lv122解A由丨X一 2 15 得 X 25 或 X 2 vx 7 或 xv-35同理 B的解集为 x I x7或xv 12c的解集为 X I XV 1或X3D的解集为 X I XV 1或x 3答案：D4. 已知集合 A二x|x- 1| v2 , B二x| X- 1| 1 贝 U AnB等于()A. x|

8、 1 v xv 3B. x| x v 0 或 x3C. x| 一 1 v xv 0D. X| 1 v xv 0 或 2v xv 3解析:I X 1| V2的解为一 1vxv3, |X 1|1的解为XV0或X2 An B= x| 1 v xv 0 或 2v xv 3.答案：D5. 已知不等式I x- 2lv a(a0)的解集是 x I 1 V xv b，贝 U a+ 2b=.解析：不等式| x - 2 lv a的解集为 x I 2- avxv2+ a由题意知:X I 2 avxv 2+ a二 x I 1 v xv b 2a1 a32 a c c 5- a+ 2b = 3+ 2 x 5 = 13答

9、案：136 .不等式|X+ 2| X4- 2的解集是.解析：当 X+ 2 0 时，|X + 2| 二 X + 2, X+ 2X+ 2 无解.当 X+ 2V 0 时,|X+ 2| 二一(X+ 2) 0 X+ 2当 xv一 2 时,丨 X + 2 l X+ 2答案：XI XV 27 解下列不等式：(1) |2 - 3X|2.4解：由原不等式得一2v 2 3X 2，各加上一2得一4W 3x 0,各除以一3得一X0，解集为x|03 x2,解得XV0或X，故解集为X| XV 0或X.33&解下列不等式:3v |X 2| V9;|3 X- 4| 1 + 2X.解：(1)原不等式等价于不等式组由得X- 1或X5;由得一 7v xv 11，把、的解表示在数轴上(如图厂原不等式的解集为X| 7v xw 1或5 5.59设A= XI I 2X- 1 | 3, B= X I |x+ 2lv1,求集合M使其同时满足下列三个条件：(1) M (AU B n 乙；(2) M中有三个元素；(3) MA BM解： / A二 X I I 2X 1 |212!I,9：,【学后反思】解绝对值不等式，矢键在于“转化” 根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)I xlva与| x | a(a。)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集.不等式I XI v a(a 。)的解集是 x