地震偏移成像

1、地震成像原理与方法第一章偏移成像第一章三维叠前深度偏移成像理论与方法第三章共聚集点偏移第四章共反射面叠加第五章偏移速度建模第一章偏移成像 1.1偏移成像的基本原理 1.2波动方程偏移 1.3叠前偏移 1.4偏移速度分析 1.5深度偏移 1.6三维偏移 1.7二维和三维叠前深度偏移地震技术的发展趋势:1. 三维叠前深度偏移（3DPSDM）-地震成像（波动方程法3DPSDM, CRS叠加,CFP 偏移）2. 四维地震-开发地震（VSP技术，P-S 技术， 井间地震,3D_AV0技术，4D地震， 弹性波阻 抗反演，裂缝分析，岩石物理，地震相与地震属性分析，油藏描述等）Reflect on point

2、 smeari ng2(h / D)cos sinNMO_DMO_PostMigCorrecti on三大处理技术：反褶积、叠加、和偏移成像反褶积和叠加引自其它相关学科偏移成像基于古典技术偏移成像：1.具有地震勘探本身的特征。2. 计算机使其研究由地震波运动学特征过渡到地震波动力学特征3. 提高地震空间分辨率和保真度 1.1偏移成像的基本原理i. 偏移成像的概念偏移反偏移反射地震方法：1. 激发弹性波，2.记录反射波，3.研究地质岩层结构和物性特征。是一种反散 射问题。反射地震成像分做两步：1记录反射波，2.处理反射波。地震偏移技术是使反射界面最佳成像的一 种技术。1.偏移成像的基本概念地震偏

3、移：叠前或/和叠后偏移叠前偏移：使CSP道集记录或COF道集记录中的反射波归位,绕射波收敛叠后偏移：基于水平叠加剖面，米用爆炸反射面概念实现倾斜反射层归位和绕射波收敛偏移原理和偏移效果见下图仃）地质剖中的反射层面颔角总是大于时间剖向中相应反射波的倾甬偏移使反射界 面变陡；住）更射层的长度，就鬆在地质剖面中所屯的那样总足比时间制面中短.所垃冏移 使反射界面编更；偏移原理图偏移过程的定量分析图備琢使反射层往止慣方向归位w(a)W(O?5-i ca关中心点畫to剖面， 備豚剖面c）阴显鏡射渕-偏務前的Wi相轴晰J 偏移后的幽崗相闵粧便锁蛰同和昶归傥劃它的冥实他下屛制加井棲規肘涵收披郵其J倍炉.点茴堆

4、崔出了it丘 鸽选界2. 发展史1）.古典的偏移技术（60年代前）-反射点的空间位置成像；2）.早期的计算机偏移技术（6070年代） -定性和概念性地对反射波运动学 特征成像；3）.波动方程偏移技术（70年代后）定性或/和定量地对反射波运动学或/和动力学特征成像.波动方程偏移技术的发展1）.有限差分法波动方程偏移：70年 代初期，J.CIaerbout教授首先提出了 用有限差分法解单程波动方程的近似 式，用地面观测的地震数据重建地震 波在地下传播过程中的波场，从这些 传播过程的波场中提取使地震界面成 像的那些数据，组成地震偏移剖面。由于这种偏移方法在计算过程中要解 波动方程或其近似式，所以被称

5、为波 动方程法偏移技术。2(a)2341234圉弓-2 wftiii盼用曲移百（冲吉曲声时界車斗向利和青叔、尹1丁状详胡 18祝H 正文 J If0i Coupanyl2）. Kirchhoff积分法波动方程法偏移:70年代中期，French和Schneider等在绕射偏移法的基础上使用了波动方 程解的Kirchhoff积分公式，发展为地震偏移的波动方程积分法。使绕射偏移建立在可靠的波的基本原理上。因而改善了偏移剖面，取得了良好的效果。3）.富里叶变换法波动方程法偏移：70年代后期，Stolt和Gazdag等又先后提出 了在频率-波数域解波动方程，外推地震波场的方法。这种方法被称为 F-K域偏

6、 移方法。由于该方法计算简单，效率高，因而很快得到了推广。3. 移方法分类矣论i滋度曼t的情况.时间忖移适尉于瞬加刊乘上扫绕旺海应构进中厮用*融珥于谨慶有嚴商变化曲 情配+建度的櫃向童ft车大时曳麗用加制曲“构进慟苛，連度秋闫龙化副烈时込用-代闻跺孙僞移杯俑移适用卡社加刖面舉年熠冷聲旳面相竽宵怛不适合切猜度不同帕相冲堆矗或耆是向建廈樺度鴨女旳堆X .把繭却分阳移（斜时带WMO）：通过饕加右的恨挣再列电奸的程捕* 酢郁廿忖 棒R解决耳弃不诃豊加遠廈的和沖倾用览託问楼辑*时同幅瓒输出條移剖面军产生未经怕移的申间帅剖面新U不址受壊出弩博棘人51怦週客眈陆律睦恻制曲止有怕親別曲也尤论也何述皑每 欣相亦

7、佩殆览星闫邸融严務供但.牲前部分口辖甚这种泄用方堆戟 -种倆他.用于克农严童横创還厦F羽街情抚*这忖且无适怔合适的曲处碑=址a?后时何幽移舍加刑丽上出理有来口射州半血比禅的闻針冈描抽 向n这尼鼻旨4常刖的-呻三蝶俯移粘式*-丄樂百湍度恢移川来轉臥三廈址上梅遗SW11A烈嗽向扇嵐童化呵三雅柱削时间俯蚌在件询部仆闻移下能输議何国讨；Z中包丈旁T愉銅竝带反时时*nit机时允i札并ELZ能响HJ&ii&H盖證虞戟唱这是k人乐Ftl喘的处理打港*二.基于射线理论的叠后偏移与叠前偏移?经典的偏移方法和早期的计算机偏移方法?都是基于射线理论?经典的偏移方法只研究到达时间。叠后偏移有圆弧切线法和线段移动法；叠

8、前偏移包括椭圆切线法和交会法等?早期的计算机偏移方法利用了波前、绕射等地震波传播的惠更斯原理，尽管只 是定性的、概念性的，但与手工操作法相比偏移剖面除了归位精度提高外，还考 虑了波形特征。叠后偏移有波前模糊法、绕射曲线叠加法；叠前偏移有Rockwell 偏移叠加法和Paturet-Tariel偏移叠加法等。1.叠后偏移叠后偏移：即叠加偏移，是对叠加后的地震记录做偏移。下面介绍圆弧切线法、 波前模糊法和绕射曲线（面）叠加法。1）. 圆弧切线法一次反射波NMO后,得到时间叠加剖面* 1zvto2 (1.1.1 )得到视深度剖面如果界面的倾角？ =0或者很小, 深度界面。如果界面倾角不可忽略, 实位

9、置。校正的做法是以地面各点为圆心， 以各点下至视界面的垂直距离为半 径做圆弧，其圆弧族的切线即为 校正后的反射界面（v=cont ）。例如只有1度或更小，则视深度界面就是真 则应当进行倾角校正，以求出反射界面的真当速度是深度的函数时，例如 v = v0 （ 1 + bz），B为常数时，则圆弧的圆心不 位于地面上，而位于地面点的正下方某深度上。这时，圆心的深度和圆弧的半径 由下式求出：1(1.1.2)z ch(v to) 11rsh(vo to)2）. 波前模糊法波前模糊法也可以称为波前切线法，它是对叠加后的地震剖面进行偏移的方法。这个方法是反推反射界面上的波场。以地面接收点为中心，把相当于反射

10、到达时间上的值送到以 vt/2=z的深度为半 径的圆弧上去。如果我们把深度z仍以双程时间表示，就把反射数值送到以t为 半径的圆弧上去（图1-4 ）。把各道上的所有反射波值都按这个原则去做，并把 送到同一点的值叠加起来，就可以组成偏移剖面。把某道上某时间t上的振tit2 412 2Xi(1.1.3)幅值送到相邻各道上的时间由下式算出：其中XiXiX0用波前振幅叠加来求反射界面发出的波前实际上就是用这种方法做切线 要求：较密的地震道和较高的信噪比，以得到满意的偏移剖面。3）.绕射曲线（面）叠加法绕射曲线或绕射曲面叠加法是把地震剖面上的波场振幅值按绕射波时距曲线进 行相加。因为绕射波时距曲线与所有反

11、射波的时距曲线形状相比较，其凸率最大,故亦可称它为最大凸率法。图$4液前偏移法的绘抵媲图S5绕射疊加法的戴据传送7L 2vt0 tan(1.1.5)具体做法是，当要得到地震剖面上某个（X0,t 0）点的偏移后的数据时，我们要计 算一条以这点为顶点的绕射双曲线。它在各道上的时间 t由下式算出：12 2tit24 XiV(1.1.4)式中XiXiXo在进行偏移时我们把各道上等于上式时间t的波场值取出来叠加在（xo,t 0）点的波场值上，这就算完成了（ xo,t 0）点的偏移处理，如图1-5所示。无论是波前模糊法还是绕射 叠加法，其基本原理都是根 据惠更斯原理提出来的。 波前模糊法是把一个道上的 波

12、场值送到各个道上去叠加 输出道法；而绕射叠加 法是把各道上的相应值取来 在一道上叠加输入道法 两者都符合反射波归位和绕 射波收敛的要求，而且它们 的叠加值也相等。波前弧或绕射曲线在x方向上的范围L称为偏移孔径。L的范围是由最大实际倾 角来决定的。倾角越大，L越大；有效波越深，L也越大。L的大小可用下式来 估算：2 叠前偏移叠前偏移：即偏移叠加，是对叠加前的多次覆盖的地震记录先偏移，再叠加。下面介绍椭圆切线法、孔径的中心，原则上应当位于 X。处，但也可以是不对称的图1-7是用绕射 叠加偏移法处理 前后的地震剖面c 从对比中可以看 出，偏移后剖面 上的地层层位关 系得到了正确的 反映。有利于地 质

13、解释。11偏移叠加法。1）椭圆切线法当给定CSP记录时, 可用椭圆切线法（图1-8）。 反射点（2D）位于以炮点和接 收点为焦点的椭圆上， 这个椭圆的方程可表示为：2X2.2v t4Rockwell 偏移叠加法和 Paturet-Tarielv2t2 l2(1.1.6)对每个炮检距的记录上的反射波画好椭圆弧。做椭圆弧族的切线即为偏移后的剖面。2）Rockwell偏移叠加法Rockwell偏移叠加法实际上是叠后偏移所使用的波前模糊法的一个扩展。具体做法：把每个记录道上任一 t时刻的采样值，在以炮检距中点的地面点为原 点的直角坐标系中送到以vt/2为长轴，（Jv2t2）/2为短轴的椭圆与各个地震记

14、录道垂直线相交的各个点上去，并且与其它地震道送至该交点上的采样振幅值相加，即得偏移叠加剖面。偏移叠加实质上是用振幅叠加来做切线的。3） Paturet-Tariel偏移叠加法1971 年Paturet-Tariel用相同炮检距的剖面进行叠前偏移，把所有相同炮检距的偏移后的剖面叠加得到偏移叠加剖面。叠前偏移的原理如图1-9所绕射点M所产生的绕射波到达时曲线为:t212 2x h 2vto12 2x h 2v(1.1.7)当炮检距h=0时，上式表现为:式中t0为从M点到A点的双倍旅 行时间。t x和tx0的曲线表示在 图1-9的右图中。为了进行偏移，我们应当把 tx的曲线上的地震能量（即采样 点振

15、幅）送到零炮检距绕射双曲 线的顶点M上去叠加。这样，把 各个相同炮检距的剖面偏移后叠 加在一起即得偏移叠加剖面。 图1-10.偏移叠加剖面与叠后偏1.2 2 t t24x_1冷L02v(1.1.8)83移剖面对比图(a).水平叠加剖面(b).叠后偏移剖面；(c). 偏移叠加剖面三.基于波动方程的波场外推与地震成像原理使用波动方程进行偏移，首先就是要 重建反射波的原来波场。反射界面上 刚刚产生的反射波，就认为是该反射面的像。为进行波场外推，把波动方程分解为上行波方程和下行波方程。1.上行波和下行波 波动方程有两个解，一般表示为exp i (t r/v)/r在地震勘探中一般 取深度方向向下为正z的

16、方向。向正z方向传播的地震波称 为下行波，即用exp i (t r / v) / r向负z方向传播的波为上行波，即用exp i (t r / v) / r代表的波。下行波即入射波，上行波为反射波。分离过只有在均匀各向同性完全弹性介质的情况下上行波和下行波才是分离的 程如下：二维波动方程为：2 2,2_u_uJu2 22, 2x z v t对(1.1.9)式相对x和t做二维付里叶正变换，并进行算子分解得到:d2dz2kx2)d2dz2kz2(ikz)( ikz)i0dz dz(1.1.10 )9其中利用了波散关系:2 2kx kz 2V由(1.1.10 )式得出：(1.1.11 )d2i,v2

17、k；dz(1.1.13)其中，正号代表上行波方程，负号代表下行波方程。2 波场外推正向外推就是根据波在当前位置上的振动情况向波的自然传播方向用 计算手段预测出波场。反向外推是向波的自然传播方向的反方向上重建原来的波 场。对一个波场应是进行正向外推还是反向外推均有物理问题决定。1）上行波的外推du2(1.1.13)积分结果为:u（z z） i v2 kX z（1.1.14 ）e （z）（1）上行波正向外推公式上行波的正向外推式就是向负z方向的外推公式。从（1.1.14 ）式可求出为：i ： kX z（z） u（z z）e v（1.1.15）根据这个公式可以计算模拟反射波的地震记录（地震图）。（2

18、） 上行波反向外推公式上行波的反向外推式就是向正z方向的外推公式。从（1.1.14 ）式可得出为：2M- kX z（ 1.1.16）（z z） （z）e v根据这个公式可以进行地震记录的向下半空间延拓，求出地下任何一点的波场, 实现地震波偏移的目的。2）下行波的外推(1.1.17)(1.1.18)一2积分结果为：d(z z) i V2 kx2 ze d(z)据此可以得出下行波的正、反向外推公式（1）下行波正向外推公式 推式为：下行波的正向外推式是指沿正z方向的外推。其外d(zz)(z)ez(1.1.19)2）下行波反向外推公式 式为：下行波的反向外推是指沿负z方向的外推。其外推r 2这个方程可

19、用来模拟下行波的地震记录(z) (zz)ebkXz(1.1.20)上式可用来从下行波场进行反向求源的计算工作 下面分析波场本身的条件对外推结果的影响kz(1.1.21)当kkx时，kz为正或负的实数，这时所有外推公式中存在虚指数。 说明在外推过 程中波场发生相位变化。一般都能得出正确的结果。当kx k 时，kz值为虚数:kz i.k；k2( 1.1.22)(zz)(z)e2 2 kx k波场外推时只有振幅变化，而无相位变化（1.1.23）当指数项取负号时，外推的波场迅速衰减，称这种波为 倏逝波。当指数项取正号时，外推波场迅速增大，这是一种实 际不存在的波，只是进行波场计算时发生， 我们称它为耗

20、损波。在计算中要避免 发生这种情况。当kx k 时，上行波的外推式可写为:U （z z）vkX k2 z（ 1.1.24）e此时反向外推遇到倏逝波，正向外推发生耗损波。分别表示为:.2 . 2(1.1.25)u(z z) (z)e kx k zkX k2 z( 1.1.26)u(z) u(z z)e由此可见，用上行波方程进行向下波场外推永远是计算稳定的。 而用上行波方程 进行正向外推就可能遇到耗损波，因此有可能是不稳定的。除非在计算中不断地 把kxk的波场滤除掉。同理可求出kxk时下行波的外推式为：(z Zz( 1.1.27)(z)此时也是反向外推遇到倏逝波，正向外推遇到耗损波3) 波场外推的

21、Kirchhoff积分法Kirchhoff积分法并不直接解波动方程，而是用数学方法来描述关于波的传 播的惠更斯原理，从而求出空间上任一点波场值的。Kirchhoff早在1883年就证明了，从扰动区向外某点M(x1,y1,z1)传播的波 的t时刻的波场u(x1,y1,z1)可以从扰动区封闭表面上的u(x,y,z,t-r/c) 波场 以及该波场对时间和表面法线方向的导数通过积分式求出来。因此要假定 u(x,y,z,t)在圭寸闭面上和圭寸闭面内有直至二阶导数的连续性。Kirchhoff利用了格林定理：(u 2v v 2u)dVVu v dS(1.1.28)1 9u取为波场函数,1V RR2 (x x

22、j2 (y yj2 (z 乙)2当把观测点用包含有波前面在内的封闭曲面包围起来，如图1-11 (a) , (b)那样的封闭时，这样的封闭面 S和它所包围的体积V作为(1.1.28 )式的积分限， 经过一定的推导后得出M(x,y,z)点的正向外推波场为：(1.1.29)这里n的方向取封闭表面的外法线方向。如果把观测点M移至封闭面外，则有:(1.1.30)(1.1.29)式中u(x, y, z,tR)是推迟场(1.1.29 )式就是著名的Kirchhoff积分。它描述了物理波场传播的过程，也满 足奇次波动方程，是它的积分形式解。对我们来说，也可以称它为正向外推公式。 注意：Kirchhoff积分只

23、满足均匀介质的情况。下面讨论用Kirchhoff积分进行波场反向外推问题(地震偏移)。这时，所取的封 闭体积V应在波前传播方向的反方向，计算点M (x1 ,y2 ,z3 )就在这个封 闭体内。根据格林定理同样可求出形式上相同的反向外推的Kirchhoff积分式：u(x,yi,z,t)11_R4 S vR ndS(1.1.31)式中的u不再是推迟场，而是超前场u(x, y,乙 tR)(1.1.31)式为用于波场反向外推的 Kirchhoff积分式。它可用于上行波的 反向外推，也可用于下行波的反向外推。当然，这种外推与正向外推不同，它 不 代表一个物理过程，而只是一种重建波场的计算过程。3 地震反

24、射波场成像从波动场的观点叙述反射波成像的一般原理。地震成像 地震偏移反射系数值反映该反射点反射系数相对值的反射波振幅反射成像实际上就是把地面上观测到的反射波归位到产生它的反射点上去。地震偏移与地震成像在现阶段可以视为同一概念。地震偏移成像：一是上行波场的反向外推；二是在外推波场中提取成像值。Claerbout提出下述反射波成像原则： 反射面位于这些点上，其入射波的初至与反射波的产生时间相同如图1-12所示反射波成像的基本公式可写为:Map(x,z) u(x, z,td) d (x, z, td)(1.1.32)(1.1.32 )式没有考虑反射系数随着入射角变化的情况， 它实质上是相位信 息的公

25、式。或者说，它对接近法线入射的情况时基本是正确的， 能够反映反射系 数在各点上的变化情况。应用(1.1.32)式涉及到要选择下行波的初始时间。 这是一个困难问题。 我们通过假设下行波是最小相位而避开这个问题。我们把作为初始时间，可推出如下的反射图象公式：Map(x,z) u(x,z,t)d(x,z,t)dt( 1.1.38)当下行波是脉冲波时,(1.1.38)式很精确。但是，如果d(x,z,t) 是一个短延续长度的子波时，它只是一个很好的近似成像公式。 1.2 波动方程偏移地震偏移成像技术发展到今天已经产生了各种形式的在各种域实现的方法。历史上曾经起过作用的根据几何光学原理的成像方法已经被淘汰

26、。现在正在流行的是建立在波动方程基础上的三种方法，即Kirchhoff积分法，有限差分法和F-K法及其各种变形。这三种方法由于有相同的数理基础，因此它们的原理相同。 同时，因计算方法不同，它们之间又有许多不同之处。下面讨论三种方法对水平 叠加地震剖面的偏移。一.频率-波数域波动方程偏移采用爆炸反射面的理论。为了成像，要求向地面以下反向外推地震波场。假 定z轴垂直向下为正，测线沿x轴，则u(x,z,0)表示偏移后的真实剖面，而 u(x,0,t)是未偏移的叠加剖面。在均匀各向同性完全弹性介质中，用半速度代替地震波传播速度，则标量波 动方程变为：2 2 22-2) 0z(1.2.1)u(x, z,t

27、)(kx,kz,2u2u2x2u2 z2 u2 kx u2kz u(1.2.2)对(1.2.1 )式进行傅里叶变换并利用(1.2.2 )式有22沙2kz2)0(1.2.3)其中正号代表上行波，负号是下行波1. Stolt偏移法设u(kx,kz,t)为u(x,z,t)的二维傅里叶变换，对(1.2.1)式进行上述变换得到:y(kx24kz2)将(1.2.3)式代入上式有2 0QUJt2按上行波求解，即取正值得i tu(kx,kz,t) A(kx,kz)e其中A与t无关。令t=0,上式变为：u(kx,kz,0) A(kx,kz)从而，A(kx,kz)是待求的偏移剖面U(x，z，0)的傅里叶变换A(k

28、x,kz)。对F面讨论用水平叠加剖面u(x，0，t)如何求出u(kx,kz,t)做傅里叶逆变换得:u(x,z,t) $ dkx A(kx,kz)ei t e i(kxx kzz)dkz4令z=0,上式变为：u(x,0,t) 丄 dkx A(kx,kz)ei(t kdkz( 2*4)4(125)设水平叠加剖面u(x,0,t)的二维傅里叶变换为B(kx,)，则B(kx, ) dx u(x,0,t)e i( t kxx)dt其逆变换为：u(x,0,t) A dkx B(kx, )ei( t kxx)d(1.2.6)4比较(1.2.4 )与(1.2.6 )有A(kx,kz)dkz B(kx, )d-J

29、这样A(kx,kz) B(kx,)-dkz按上行波取正号并对kz微分得A(kx,kz) B(kx,2kzI122J kx /kz )v2 Jkx2/kz2(127)对A(kx,kz)做二维傅里叶逆变换得到:u(x, z,0)A(kx,kz)e i(kxX kzz)dkxdkz(128)u（x,乙0）就是要求取的偏移剖面（J的肘鏡肛？农示 仃P 回中的一宦斜反射,ft）停移后，放附烫陽史了 +卫稻至5 p 郎平玻数在遍移口不更；丸比鐵把鳴移酊的严店 痊彖宜金在俯移后的用）丰-丰圈引用 ChunJ acewit19： 1：图1-16均速Stolt偏移流程上述偏移原理见图1-15。由图1-15和（1

30、.2.7 ）式可看出，在每个频率=vk/2移向新的频率=vkz/2时，要乘上一个振幅比例kz/k。通过这个频率移动，把 视倾角？转换为真倾角？ 一。其流程见图1-16。上述频率一波数域的偏移方法称为Stolt偏移方法Stolt法的偏移效果见图1-17，1-18和S-S5-17交晞疫斡的判丘谓善威見團如丁星大働甬匪制的十7 梯算番脈沖响应 聶卷勰評和弧杷朝就林应車建冬宀咆0）取t=0时的波场值，即可实现三维偏移成像。 此时，(1.2.31)1 u(x0,y,O,t -)( 1.2.32)丄 dA J2 z AR 利用（1.2.24 ）式将单程的上行波剖面u（x,y,0,t） 向下延拓，得到深度为

31、 z的面上的波场值。sin zkxk：coszk：izk；kykxkyizkxky(1.2.33)kyKirchhoff 积分法的偏移效果见图1-23三.有限差分法波动方程偏移下面讨论使用有限差分法对水平叠加地震剖面的偏移问题。为了把上行 波方程表示为空间-时间域的表达式，需要把上行波方程表示为某种近似式。然 后在空间-时间域研究其差分方程及求解问题。最后讨论一些计算方法和效果。1.上行波的空间-时间域方程为了适应介质速度的空间变化，我们要在空间-时间域中进行偏移成像或地 震图的模拟工作。首先就要把上行波方程表示在空间 -时间域中，这需要用到某种根式展开。1）二项式展开 下面我们将用到1（1

32、X）2这样的二项式展开， 在这里我们介绍几种 展开式。图5-狂 丸希里去悍牡菲淖度淒幷说验为充仔新幵ET好帆蛉左工门咱伯农明了讥怖衽，它見爭所目逹度呱于哥It辱度（昨雨 殖度】迪戒的(1) Taylor 展开这是一个众所周知的显式展开式，它一般表达为：（1 x执語討詁即5(1234 )展开条件I XI 1。如果把这种展开式用于微分算子，在不进行辅助处理时将找不到稳定的有限差分 方程来解相应的微分方程。因此我们在使用二级近似以上的展开式时不能用这种 展开式。2）连续分式展开，或称为 Pade展开这个展开式表示为如下形式（I X I 1）:2 11这是一种隐式展开式。其各级展开式如下一级展开式:(

33、1 X)21 2X二级展开式：(1 X)；1-1 -4二级展开式：(1 x)7(1235 )(1.2.36a)(1.2.36b)(1.2.36c)(1237)高级展开式可依此类推。(3)迭代展开这种隐式展开法，是把前一级的展开结果代入下一级的展开式中。设丄R (1 X)则逐次迭代展开式可表示为一级展开式：1冬2X二级展开式：R21 X 1 二2 1 24用这种展开方法得到的各级展开式如下。来代替1/R，则可以达到目的。上式中:(1.2.38a)(1.2.38b)盼1市Ro 1三级展开式:R3(1.2.38c)高级近似式可依此类推出来从（1.2.36）和（1.2.38）公式组可以看出，后两种展开

34、是等价的2） 上行波的空间-时间域方程在第一节已经求出了频率-波数域的上行波方程（1.1.12）式:u z用迭代展开法展开上行波方程:i 1v2 2kxVi 1v2 2kxV1Rn(1.2.39)I, 22/2式中尺1 U ，R0 1由(1.2.39)式求出各级近似式如下。u .“2 2kxVi1,2一级近似式:zV2(1.2.40a)u .彳i12 22 kxV2 2.2 2 u二级近似式:zVkxV4 2(1.2.40b)(1.2.40c)二级近似式:2 21 kxV4 41 kxVi 1v2 21 kxV高级近似式可依次类推。现在，我们把（ 时间域，求出一级近似方程。1.2.40a）式转

35、换到空间-上行波方程（1.2.40a）式可改写为:(1.2.41)对（1.2.41 ）式进行傅里叶反变换:i (kx, z, )ei( t kxX)d dkx12 v2i( t kxx)u(kx, z, )ed dkx(1.2.42)Vkx(kx, z, )ei( t kxx)d dkx 04根据傅里叶变换的微分性质:u(x,乙 t)1t22u(x, z,t)1t222u(x,z,t)1x22i (kx,z,)ei(t kxx*dkx(1.2.43a)2 (kx，z.)ei(t kxX)ddkx(1.2.43b)k：(kx,z,)ei(tkxX)ddkx(1.2.43c)2 13(1.2.51

36、)把(1.2.43a) (1.2.43b)和(1.2.43c)式代入(1242)式，得到:2 x212uv t2(1.2.44)上式就是空间-时间域的一级近似的上行波方程，常常被称为15方程同理可求出空间-时间域的二级及二级以上近似的上行波方程。经推导, 空间-时间域的二级近似的上行波方程为：3233u v u 1 u7223t z4 x zv t3v3u4 x2 t(1.2.45)上式常常被称为 45波动方3）浮动坐标系中的单程波方程上行波方程在一定的浮动坐标系中可以简化我们对二维波动方程：2 2 2u u 1 u22272x z v t(1.2.46)进行如下的坐标转换：x xz zt t

37、 z v坐标变换前后波场本身是不变的，因此存在:(1.2.47)u(x, z,t) u(x,z,t)(1.2.48)从（1.2.47）和（1.2.48）导出下列导数等式:22uu2,2xx222212uuuu2.2z t2zzvvt22uu,2,.2tt(1.2.49a)(1.2.49b)(1.2.49c)2 152uz2将（1.2.49）各式代入（1.2.46）式中得到新坐标系中的波动方程为:2 2u 2 u2x v z t上式变换到频率-波数域为：22I 2 2 u ukxu i20v z z(1251)式可改写为：2 2(1.2.52) 2 i u kx u z vv从上式得到下列关系式

38、：i z v z它表示坐标变换前后的算子关系2一i u ipz vv因此，上行波方程可表示为：1k；（1.2.53）（1.2.53）式的右端项可展开为各级近似式，便得到上行波各级近似方程。一级近似式uz(1.2.54)二级近似式vk；ZK u4(1.2.55)uI 234vkx v kxi43三级近似式z24u2 q v2 k：1 22 2(1.2.56)高级近似式可依次类推。由以上各式用前述方法可求出空间-时间域的各级近似方程。下面给出一级和二级近似方程。一级近似方程用推导（1.2.44）式那样的方法可以求出一级近似方程为:2uz t2ux2(1.2.57)与（1244）式相比，减少了一项。

39、从而也 减少了计算时间和差分时的时 间层（少了一层）。另外，保持了计算的稳定性。二级近似方程用推导（1.2.45）式那样的方法可以求出二级近似方程为：3uv23uv 3u0t2 z4x2 z2x2 t0（1.2.58）这个方程与（1.2.45）式相比也是少了一项。这也会减少计算工作量。2 有限差分法地震偏移技术如前所述，水平叠加地震剖面 可以看做是自激自收地震剖面；又可以 看做是所有反射面同时爆炸产生波源向地面传播，被地面的接收器记录的 上行波剖面。对于这种观测结果，为了成像，要求 向地面以下反向外推地震波场。 在外推过程中假设地震剖面上无任何多次波，也不存在任何规则干扰波，如折 射波等。如果

40、在剖面上存在这些波，在外推过程中也都按反射一次波处理，但 它们是不能正确归位的，只能造成偏移成像剖面的干扰。因此，如果存在这些 波，应当在偏移处理前把它们滤掉。1）浮动坐标下的有限差分法地震偏移v/2速度代替v。这样,（1.2.59）采用浮动坐标系，只讨论一级近似的上行波二阶偏微分方程（1.2.57）的有限差分偏移问题。考虑到爆炸反射面的概念，用（1.2.57）式可重新写成：2 2u v u c2 0 t z 4 x而变。(1.2.60a)(1.2.60b)(1.2.60c)(1.2.60d)这里的速度，假设它是常数，在实用中它可以随x和z（ x ,0 t T,0 z Z）u（x,乙T） 0u（x, z,T） 0tu（x,z 0,t）（x,t）u(x, Z,t) 0目的：通过解上述微分方程求出地面以下任何点（x,z 0）上的式中 u(x,z 0,t)（x,t）即为在地面所观测的地震波场曾经在该点出现过的上行波的波场值（位移或压力场振幅）u（X,z,t