对坐标的曲面积分

1、对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程z z(x y)表示的曲面分为上侧与下侧设n (cos cos cos )为曲面上的法向量 在曲面的上侧cos 0在曲面的下侧 cos 0闭曲面有内侧与外侧之分类似地如果曲面的方程为 y y(z x)则曲面分为左侧与右侧在曲面的右侧cos 0在曲面的左侧cos 0如果曲面的方程为x x(y z)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧cos 0在曲面的后侧cos 0设是有向曲面在上取一小块曲面S把S投影到xOy面上得一投影区域 这投影区域的面积记为()xy假定S上各点处的法向量与 z轴的夹角的余弦cos有相

2、同的符号(即cos都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影(S)xy 为()xycos 0(S)xy()xycos 00cos 0其中cos 0也就是()xy 0的情形 类似地可以定义 S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz 及(S)zx流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x y z) (P(x y z) Q(x y z) R(x y z)给出是速度场中的一片有向曲面函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)都在上连续 求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v又设n

3、为该平面的单位法向量 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一 个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体当(vA n) 时 这斜柱体的体积为A|v|cos Avn当(vAn) 时 显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量为零 而Av n 0,2故 Avn当(vA n)时Avn 0这时我们仍把 Avn称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量 它表示流体通过闭区域A实际上流向n所指一侧且流向n所指一侧的流量为Avn因此 不论(vAn)为何值 流体通过闭区域 A流向n所指一侧的流量均为Av n把曲面 分成n小块SiS2Sn( S同时也代表第i小块曲面的面积)在 是光滑的和v是连续的前提下只要Si的直径很

4、小我们就可以用S上任一点(i,i, i)处的流速vi v( i, i, i) P( i, i, i)i Q( i, i, i)j R( i, i, i)k代替S上其它各点处的流速以该点(i, i, i)处曲面的单位法向量ni cos i i cos i j cos i k代替S上其它各点处的单位法向量从而得到通过 S流向指定侧的流量的近似值为vi ni Si (i 1, 2,n)于是 通过 流向指定侧的流量nvi ni Sii1nP( i, i, i)cos i Q( i, i, i )cos i R( i, i, i)cos i Si i1但 cos iSi(Si)yzcos iSi(Si)

5、zxcos iSi(Si)xy因此上式可以写成nP( i,i, i)(Si)yzQ(i,i, i )(Si)zxR(i,i,i )(Si)xyi1令0取上述和的极限就得到流量 的精确值 这样的极限还会在其它问题中遇到抽去它们的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念提示 把 Si 看成是一小块平面 其法线向量为 ni 则通过 Si 流向指定侧的流量近似 地等于一个斜柱体的体积此斜柱体的斜高为 |vi| 高为 |vi|cos(vi Ani) vi ni 体积为 vi ni Si因为ni cosi i cosijcos i kvi v( i,i, i)P(i, i, i)i Q( i,i, i

6、)j R( i, i, i)kvi ni SiP(i,i,i)cos i Q( i, i,i)cos i R( i, i, i)cos i Si而cos iSi (Si)yzcos i Si ( Si)zxcos i Si ( Si)xy所以vi ni SiP( i,i,i)( Si)yz Q( i, i,i)( Si)zx R( i, i, i)( Si)xy对于 上的一个小块 显然在 t 时间内流过 的是一个弯曲的柱体 它的体积近似于以 为底 而高为(|V| t)cos(V I) V n t的柱体的体积 V n t S 这里 n (cos cos cos )是 上的单位法向量 S 表示 的

7、面积 所以单位时间内流向 指定侧的流体的质量近似于Vn S (P(x y z)cos Q(x y z)cos R(x y z)cos ) S如果把曲面分成n小块i(i 1 2 “)单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于nP(xi,yi,zi)cos i Q(xi,yi,zi)cos i R(xi,yi,zi)cos i S i1按对面积的曲面积分的定义 P(x, y, z) cosQ(x, y,z) cosR(x, y, z) cos dS V ndS舍去流体这个具体的物理内容 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念定义设为光滑的有向曲面函数R(x y z)在上有界把任意分成n块小曲面Si(

8、S同时也代表第i小块曲面的面积)在xOy面上的投影为(S)xy ( i, i, i)是S上任 意取定的一点 如果当各小块曲面的直径的最大值0时nlim0R( i, i, i)( Si)xy0i 1总存在 则称此极限为函数 R(x y z)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分：记作R(x, y,z)dxdy即nR(x,y,z)dxdy lim R( i, i, i )( Si)xy 0i 1 i i i i xy类似地有nP(x,y,z)dydz lim P( i, i, i)( Si)yz0i 1nQ(x,y,z)dzdx lim Q( i, i, i)( Si)zx0i 1定义 设 是空间内一

9、个光滑的曲面其中R(x y z)叫做被积函数叫做积分曲面n (cos cos cos )是其上的单位法向量V(x yz) (P(x y z) Q(x y z) R(x y z)是确在 上的向量场如果下列各式右端的积分存在我们定义P(x,y,z)dydz P(x,y,z)cos dSQ(x, y, z)dzdx Q(x,y,z)cos dS R(x,y,z)dxdy R(x,y,z)cos dS并称 P(x, y, z)dydz 为 P 在曲面上对坐标y、z的曲面积分Q(x, y, z)dzdx 为 Q 在5曲面 上对坐标 z、 x 的曲面积分R(x, y,z)dxdy为R在曲面上对坐标y、z的

10、曲面积分其中P、Q、R叫做被积函数叫做积分曲面以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分 对坐标的曲面积分的存在性 对坐标的曲面积分的简记形式在应用上出现较多的是P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdyP(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy流向 指定侧的流量 可表示为P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy一个规定 如果 是分片光滑的有向曲面 我们规定函数在 上对坐标的曲面积分 等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和对坐标的曲面积分的性质 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一

11、些性质例如(1)如果把 分成 1 和 2 则Pdydz Qdzdx RdxdyPdydz Qdzdx RdxdyPdydz Qdzdx Rdxdy(2) 设 是有向曲面 表示与 取相反侧的有向曲面 则Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy这是因为如果 n (cos cos cos )是 的单位法向量 则 上的单位法向量是 n ( cos cos cos)Pdydz Qdzdx RdxdyP(x,y,z)cos Q(x,y,z)cosR( x, y, z) cos dSPdydz Qdzdx Rdxdy二、对坐标的曲面积分的计算法将曲面积分化为二重积分设积分曲面

12、由方程z z(x y)给出的在xOy面上的投影区域为Dxy函数z z(x y)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(x y z)在上连续则有其中当R(x, y,z)dxdyR x, y, z(x, y) dxdyxy取上侧时 积分前取“ ” 当取下侧时 积分前取这是因为 按对坐标的曲面积分的定义 有nR(x,y,z)dxdy lim0 i 1R( i, i, i)( Si)xy当 取上侧时 cos 0 所以 ( Si)xy (i)xy又因(i, i, i)是上的一点故i z( i, i)从而有nnR( i, i , i)( Si )xyR i, i,z( i, i )(i)xyi1i 1令

13、0 取上式两端的极限 就得到R(x,y,z)dxdy Rx,y,z(x,y)dxdyDxy同理当 取下侧时 有R(x,y,z)dxdy R x, y,z(x,y)dxdyDxy因为当 取上侧时COS 0 ( S)xy (i)xy当(i, i, i)时i z( i, i)从而有nR(x, y,z)dxdy lim R( , , ,)( S)xy0i 1ynlim。R i, i,z( i, i)( i)xyRx, y,z(x,y)dxdyi 1Dxy同理当取下侧时有R(x, y,z)dxdyRx, y,z(x,y)dxdyDxy这是因为 n (cos cos cos )Tm zx, zy,1 co

14、s1Ji zX iy66dS 1 z2 zy dxdyR(x, y,z)dxdy R(x, y,z)cos dS Rx, y, z(x, y)dxdyDxy类似地 如果 由x x(y z)给出 则有P(x, y,z)dydzPx(y,z), y, zdydzDyz如果 由y y(z x)给出则有Q(x, y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdxDzx应注意的问题应注意符号的确定例1计算曲面积分x2dydz y2dzdx z2dxdy其中是长方体的整个表面的外侧 (x y z) |0 x a 0 y b 0 z c )解把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和1 z

15、 c (0 x a 0 y b)的上侧2z0 (OxaOy b)的下侧3 x a (OybOzc)的前侧4x0 (OybOz c)的后侧5y0 (OxaOz c)的左侧6 y b (OxaOz c)的右侧除3、 4外 其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此x2dydzy2dydzx2dyda2dydz Odydz a2bc34DyzD yz类似地可得y2dzdx b2acz2dxdy c2ab于是所求曲面积分为(a b c)abc例2计算曲面积分 xyzdxdy其中 是球面x2 y2 z2 1夕卜侧在x O y O的部分解把有向曲面分成以下两部分1 z . 1 x2 y2 (x O y O)的

16、上侧2 z ,1 x2 y2 (x O y O)的下侧i和2在xOy面上的投影区域都是Dxy x2 y2 1(x O y O)于是 xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy8xy、1 x2 y2dxdyDxyxy( .1 x2 y2)dxdyDxy2 xy J x2 y2dxdy2O2dAsincos 1 r2rdr215xy三、两类曲面积分之间的联系Dxy 函数 z z(x y)设积分曲面 由方程z z(x y)给出的 在xOy面上的投影区域为 在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(x y z)在上连续如果取上侧则有R(x, y, z)dxdy Rx, y, z(x, y)dxdyD

17、xy另一方面 因上述有向曲面的法向量的方向余弦为coscoscos1J zX zy故由对面积的曲面积分计算公式有R(x, y, z) cos dSRx,y,z(x, y)dxdyDxy9由此可见如果R(x, y,z)dxdy取下侧则有R(x, y,z)dxdyR(x,y,z)cos dSRx, y,z(x,y)dxdyDxy但这时cos因此仍有R(x, y,z)dxdyR(x, y, z) cosdS类似地可推得P(x, y,z)dydzP(x,y,z)cosdSQ(x, y,z)dzdxP(x, y,z)cosdS综合起来有Pdydz QdzdxRdxdy (Pcos QcosRcos )d

18、S其中cos 、cos、cos 是有向曲面上点(x y z)处的法向量的方向余弦两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式A dS AndS 或 A dSAndS其中A (P Q R) n (cos cos cos )是有向曲面 上点(x y z)处的单位法向量 dS ndS (dydz dzdx dxdy)称为有向曲面元An为向量 A在向量n上的投影例3计算曲面积分(z2 x)dydz zdxdy其中 是2204411曲面z2 (x2 y2)介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧由两类曲面积分之间的关系可得(z2 x)dydz (z2x) cos dS(z2x)codxdy cos在曲面提示曲面上向下的法向量为(X y 1)co