专题：应用性问题

1、2011届文科数学专题复习资料 应用性问题 一、数学建模分析的步骤： 1. 读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。 “整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象； “局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义； “分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系； “领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型。 2. 建立数学模型。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中 找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。 3. 求解数学模型。根据所建立的数学模型，选择合适的数

2、学方法，设计合理简捷的运算途径，求出 数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件。 4. 检验。既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而 对原问题作出合乎实际意义的回答。 二、解题指导： 1 要注意应用性总是的实际意义； 2 解决函数应用题的基本方法是先建立函数关系式，再利用二次函数、基本不等式、换元法、导数法 或函数的单调性等方法求函数的最值； 3. 解决不等式应用题，主要是利用基本不等式或线性规划知识，借助不等式与方程的相互关系求解会 使问题化难为易； 4. 解答数列应用题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立有关等差数列、等

3、比数列或递推数列 等模型来解决问题； 5. 解决立体几何应用题，重在对空间想象能力和阅读能力的考查； 6. 解决解析几何应用题，就是将实际问题的数量关系转化为平面上的代数关系，然后用数学的方法求 解代数问题，圆锥曲线的定义对解题的作用是不可忽视的； 7. 解答三角应用题，应充分运用正弦定理和余弦定理。其主要题型有测量问题和航海问题等，根据题 意正确画出示意图是解题的关键。 三、例题: 第一讲函数与不等式类型 例1 （09佛山）.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农 业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一 块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养

4、鱼 ，挖出的泥土 堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为 2米，如图所示，池塘所占面积为 S平方米，其中a:b 1: 2.（I ）试用 x, y表示S ；（ n）若要使S最大，则x，y的值各为多少？ 例2 某公司是一家志做产品 A的销售企业，第一批产品A上市销售后40天内全部售完，该公司对第 一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，发现：市场的每天销售量（单位：百件）与上市 时间t （单位：天）的关系是一条折线（如图一），每件产品A的销售利润（单位：元/件）与上市时间 t （单位：天）的关系也是一条折线（如图二）。 （1） 写出市场每天的销售量 f（t）与产品

5、A上市时间t的关系式（不需求解过程）； （2） 第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过30万元？ 利润（单位：元/件） t （天） 例3 上海某玩具厂生产x套2008年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为P元，且 12X P 1000 5x x，而每套售出的价格为 Q元，其中Q二a+ - a , b R , 10b （I）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？ （n）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a , b 的值.（利润=销售收入一成本） 例4 （2010广东文数）（本题满分12分）某营养师要求为某

6、个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的 午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和 6个单位的维生素 C; 一个单位的晚餐含 8个单位 的碳水化合物，6个单位的蛋白质和 10个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和 42个单位的蛋白质和 54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用 分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单 位的午餐和晚餐？ 练习: 1 某上市股票在30天内每股的交易价格 P （元）与时间t （天）组成有序 数对（t , P）,点（t , P）落在下图中的两条线段上，该股票在3

7、0天内（包 第t天 4 10 16 22 Q （万股） 36 30 24 18 （1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格 P （元）与 括30天）的日交易量 Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示。 时间t （天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交 易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（3）在（2）的结论下，用y （万元）表示该股票日 交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这 30天中第几日交易额最大，最大值为多少？ 2某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一年产品免税，某外资厂该年A型产品出厂价为每件 60 元，年销售量为11.8万件.第二年，当地政

8、府开始对该商品征收税率为 p% （0 p 100 ,即销售100 元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件800元，预计年销售量将减少 p万件 100 p （I ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域； （n）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？ （川）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？ 8 3某旅馆有相同标准的床铺 100张，根据经验，当旅馆的床价(即每床每天的租金)不超过 10元时， 床位可以全部租出，当床价高于 10元，每提高1元，将有3张床空置。旅馆定价条件是：床

9、价为 1 元的整数倍；该旅馆每天支出为 575元，床位出租收入必须高于支出。若用 X表示床价，y表示每 天出租床位的净收入(即除去每天支出后的收入)把y表示成x的函数，并求出其定义域； 如何定价，该旅馆每天净收入最多？ 4.甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的x 0,当甲公司投入 X万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险， 否则没有失败的风险；当乙公司投入 x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公 司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险(I)试解释f(0)=10,g(

10、0)=20的实际意 1 义；(H)设f(x)=-x+10,g(x)= x 20,甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均 4 无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？ 5、(2009汕头)某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂 一年内共生产该品牌服装 x万件并全部销售完，每万件的销售收入为R (x)万元. 1 2 108x （0 x 10） 3 且R（x）3（1）写出年利润y （万元）关于年产量 x （万件）的函数关系式; 1080 10000 / （x 10） x 3x （2）年产量为多少万件时，服装厂在

11、这一品牌的生产中所获年利润最大？ 第二讲数列、解几、立几类型 例1 .（ 10佛山二模）国家助学贷款是由财政贴息 的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学 生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费每一年度申请总额不超过6000元.某大学2 010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月 计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资 比前一个月增加 5%直到4000元.凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500,第13个月开始， 每月还款额比前一月多x元.（I）若凌霄恰好在第 36个月（即毕业后三年）还清贷

12、款，求x的值； （n）当x 50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月 3000元的基本生活费？（参考数据：1.0518 2.406,1.0519 2.526,1.0520 2.653,1.0521 2.786） 例2.某学校在高中二年级每周开设A,B两种选修课各一节，要求全年级所有 500名学生每人每周必选 且只选其中的一种选修。调查资料表明，第一周选修A课程的人数比选修 B课程的人数多128人，以后凡是在本周选 A课程的人,下周会有25%改选B课程;而本周选B课程的人,下星期会有25%改选A课 程用an，bn分别表示在第n周选A课程的人数和选 B课程的人数

13、设到第K周选修A课程的人数为整 数且达到最小值，则从第 K+1周起所有学生固定选修科目，不再进行科目调整。 （I）求证数列a n-b n为等比数列，（n ）求数列a n 的通项公式和K的值。 （川）在前K周内参加A课程选修的共有多少人次？ 要求长方体的长与宽之比为2: 例3. （07重庆文20）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架, 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少? 例4 .某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到 一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.设确

14、定巨 y J 39 A I 25. 1 59 d o B x 图 响发生的位置。（假定声音传播的速度为 340m/s，各观测点均在同一平面上） 例5在广铁一中的东南方有一块如图所的地，其中两面是不能动的围墙， 其 余各边界是不能动的一些体育设施.现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面 为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大? 第三讲 三角函数类型、图表型； 例1如图，甲船以每小时 30. 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位 于几处时，乙船位于甲船的北偏西 105o方向的Bi处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达 A2处时

15、，乙船航行到甲船的北偏西 多少海里？ 120o方向的B2处，此时两船相距 io-一 2海里 A A 例2. (10福建) 某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇岀发时 轮船位于港口 O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向 t小时与轮船相遇。 匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度 的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

16、 例3“根据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度 在 20 80 mg/100ml 属醉酒驾车” 2009年8月15日晚8时开始某市交警 驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这 （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时， 队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，共查出酒后 60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出 的频率分布直方图.（1）求这60名酒后驾车者中 属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不 包括右端点）（2）统计方法中，同一组数据常用 该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是 对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的 统计，求出图乙输出的 S值，并说明S的统计意 义；（图乙中数据 m与fi分别表示图甲中各组的 组中值及频率） 70- 80 mg /100 ml 的范围，但 （3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于 他俩坚称没喝那么多， 交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70- 80mg /100ml范围 的酒后驾车者中随机抽出 2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率