构造全等三角形的方法

1、全等三角形的构造方法全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。 判断三角形全等公理有SAS ASA AAS SSS和HL,如果能够直接证明三角形的 全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要 根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证 明。一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起 来，再进行等量代换，就可以化难为易了。构造方法有：1 .截长补短法。2平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线, 对Rt,有时可作出斜边的中线。3. 旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，

2、可试用旋转方法构造全等三角形。4. 倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。5. 翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。下面举例说明几种常见的构造方法，供 同学们参考.1. 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段 与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法.“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与 较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然E后证明加长的那部

3、分与另一较短的线段相等.例 1.如图所示，在 Rt ABC中，/ C=90，BC=AC AD平分/ BAC交 BC于 D,求证：AB=AC+CD例2 已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且 BE=CFEF 交 BC于点 D.求证：DE=DF（2）已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D,且D为EF的中点.求证：BE=CF例3（北京市数学竞赛试题， 天津市数学竞赛试题）如图所示，JABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的.MDN，点M、N分别在AB、AC上，求JAMN的周长.1.如图

4、已知：正方形 ABCD,Z BAC的平分线交BC于E,求证：AB+BE=AC2.（ 06年北京中考题）已知.ABC中，/A =60 , BD、CE分别平分ZABC和上ACB , BD、 CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.1 / 5AA3.已知：如图，ABCD是正方形，/ FAD=/ FAE 求证：BBDFAEC说明：本题也可以在 AB截取AD=AQ连0D构造全等三角形，即“截长补短法本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2）,过0作OD BC交AC于。，则厶AD3AABO来解决. 如图（3）,过O作DE/ BC交AB于D,交AC于 E,则厶ADO AQO A

5、BOA AEO来 解决. 如图（4）,过P作PD/ BQ交AB的延长线于。，则厶APDA APC 来解决.3 / 5 如图（5）,过P作PD/ BQ交AC于。，则厶ABPA ADP来解决.（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）3.旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形例.已知：如图（6）, PABC内一点，且 PA=3 PB=4 PC=5求/ APB的度数.分析：直接求/ APB的度数，不易求，由PA=3 PB=4 PC=5联想到构造直角三角形.4.倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在 个三角形内。例1 .如图（7）人。是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于 F,且AE=BE求证：AC=BF若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以