考研讲义[1]精品

1、高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（ 7）洛必达法则与 Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，

2、数列与级数的性质）arcta nxx1. lixln（1 2x3）m0竺加二二（等价小量与洛必达）2x32已知 limsin6x 3xf(x)求 lim6 f(x)x 孚xX#x3x2lim 解:x0sin6x xf (x)6cos6x f(x) xy3x2-36 si n6x +2y+xy=limx _ 0-2163y(0)0. y(0)=726x-216cos6x 3y xy6 f (x)2xy2（洛必达）2x2x )71x 1)（重要极限）4已知a、b为正常数， 求!im（ax +bx -3解：令 t =(-)x,lnt = Jln(ax2xbx) -1 n23lim lnt = lim

3、 x -(axln a bx x0x=0 ax bx3/2-t = (ab)3响弓吋（变量替换）5. li叫(cosx)ln(1 x)1解：令 t = (cosx)ln(1 %),lnt =2 ln(cos x) ln(1 x )lim lnt -lim 皿x 一 0x 一 0 2x1 e4/22（变量替换）6设 f(x)连续，f (0) =0, f(0) = 0，求liXx20 f(t)dt , m x二 1_0x2. f(t)dt（洛必达与微积分性质）7已知 f（X）二2ln(cosx)x ,x00的极限有：f(1)=0C.导数应用问题D.幕级数展开问题lim f(1+sinx)_3f(1

4、_sinx)X70sinxsin jimf(1 t)_f(1)3f(1-t) f(1)- tt =4f(1) =8 f(1) =2 y =2(x-6)6已知 y = f (X)对一切 X 满足 Xf(X)2x f(x)2 =1 -e.若f(X0)=0(X0 = 0)，求(Xo, yo)点的性质。eX0解：令 X = x0 代入，f (x0)=x0e X00, Xo0，故为极小值点。0, X0 : 0X37. 6，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域(-*,1)(1,:：)y = 0=驻点 X = 0及 X = 3y = 0=拐点x=0; x=1:铅垂；y = x2:斜8求函数y

5、 =(x -1)e% arctanx的单调性与极值、渐进线。2解： 沪 e72arctan-驻点 x=0 与 x=1，渐：y = e 二(x-2 )与 y = x-21 + xd x9. sin(xt) dt 二 sinx dx 01(x_t)2(2n)sin(x-t)2 = (x-t)2 (x-t)6-(T)n-3!(2n 1)!4n V(x-t)1 1 .sin(x-t)2d3(x-t)33!7(x-t)7(1)n1(4n_1)(2n1)!4n-1Xsin(x-t)2=x31 x7 爲爲(一1)-033!7(4n-1)(2 n 1)!d x1x2(22)si n(xt)2dt=x2(T)n

6、si nx2dx 03!(2n 1)!或:x _t = u = sinu 2(-du) d sin u2du=s inx2 dx *dx 010.求 f (x)二 x2 In(1 x)在x = 0处的 n阶导f(n) (0)23n _2解：。严匕2)E.不等式的证明F.中值定理问题43 X =X2n(71 111.设 x (0,1),求证(1x) In2(1 x) ： x2,1 :-ln 2In(1+x)11-0 时(x2 -1)ln x _ (x -1)2证：令 g(x) =(x2 -1)lnx-(x-1)2,g(x),g(x),g(x)二 2(x 彳一1)xg(1) =g(1) =0, g

7、(1) =20n g0n *(OTOg 0W：),g 0 Jx (0,1),g：0,g 2x (1, ：),g 0,g 2第三讲不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不疋积分（基本公式、线性、凑微分、换兀技巧、分部）2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算fdx.dxx 2 丄1. arcsinC.x(4_x)4_(x_2)222. . e2x(tan x 1)2dx 二 e2x

8、sec2 xdx 2 e2x tan xd = e2x ta x C上八、In(1 + x)3.设 f (In x)，求 f (x)dxx解： f(x)dx 二 ln(1 xe )dxex=e 公 ln(1ex). (1 -exxx)dx = x -(1 e ) ln(1 e ) C1 eB.积分性质4. ：arCtanxjib .1 x1 | c2)dxln 2:1 x2421g.2 dx arcta nx lim(-x2xb：1 X1f (x)(x)f (xt)dt，且 limA，求:(x)并讨论(x)在 x = 0 的连10x5. f(x)连续，:续性。解：f (0)x：(0) =0,

9、y =xt= - (x 0 f(y)dy(x)二xf (x) - 0 f (y)dy A(0-00(0) = A/2= (0)2xd x2dx -6. tf (x2 -t2)dt =dx 0dx220 f(y)d(y)二xf(x )0 f(x2 t2)d(t2 -x2)c.积分的应用3a 27.设 f (x)在0，1连续，在(0，1)上 f (x)0，且 xf(x f (x) x，又 f (x)与x=1,y=0所围面积S=2。求f (x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。1幣f (x) dx = 2 二 c = 4 一 a的 d / f (x)、 3a 一、 3a 2 i 丄 解： ()f (

10、x) x cxdx x3a 21 2f (x) x2(4-1)x V=(二 o y2dx)= 0 a = -58.曲线y =吋x -1，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与 x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。2/-解：切线y =x/2绕x轴旋转的表面积为 o 2二yds二-5二 .2; 曲线y=*x1绕x轴旋转的表面积为2兀yds = (5&5-1)总表面积为6(115-1)三、补充习题(作业)ln sin x1. 2dx 二-cotxln sin2x-cotx-x Csin xx +5,2. rdxx2 -6x 13 arcsi n3. dx0内任意光滑有向闭曲面 S，导数，! ! xf (x)

11、dydz-xyf (x)dzdx-e2xzdxdy = 0，且 f(x)在 x0 有连续一阶Sf(X)=1，求 f (x)。解：0 F dSFdVii.(f(x) xf(x)-xf(x)-e2x)dVs1y (1)yx=ex = y = (ex -1)x第六讲常微分方程一、理论要求1.一阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2高阶方程3二阶线性常系数二、题型与解法A.微分方程求解会求 y(n)= f(x), y= f(x,y)(y= p(x),y= f (y,y)(y= p( y)2y py q = 0=丄 p q = 0 人式九2 t yi =Cie” +C2e*x叔(齐次

12、)n 入r =2t yr = (“+c2x)e#-扎=a 士 *t yr =6(“ cos Bx+ c2 sin Bx)a 式丸 t y2 = Qn (x)e密f (x) = Pn (x)e 二 心=入io仏2 t y2 = Qn (x)xe“(非齐次)a =打 and2 t y =Qn(x)x2ef (x) =e：x(p (x)cos x Pj(x)sin ：x)&土iB 式kT y2 =e”(qn(x)cos0x + rn(x)sinBx(非齐次)ot 土iP=kT y2 =xex(qn(x)cos5rn(x)sinBx(n = max(, j)2222231. 求(3x2xyy )dx

13、(x2xy)dy 二 0 通解。(xyx yx 二 c)ux2. 利用代换y化简ycosx -2ysin x 3y cosx = e 并求通解。cosx/xcos2xex(u 4u = e , y = Ci2c2 sin xcosx5 cosx13设y二y(x)是上凸连续曲线， (X, y)处曲率为 ，且过(0,1)处切线方程为屮+ y2y=x+i，求y = y(x)及其极值。解:2y y21 =0 =兀1冋匸一 x)| 1 J2*三、补充习题(作业)1已知函数y=y(x)在任意点处的增量 勺二上片 o(.x), y(0)=叭求y(1)。(:e4)1 + x2.求 y-4y 二 e2x 的通解

14、。-2xy 二 Ge2xc2exe2x)3求(y. x2 y2)dx -xdy =0(x 0), y(1) =0 的通解。(y =?&2 -1)1 14求 y-2y-e2x =0,y(0) =y(0) =1 的特解。(y(3 2x)e2x44第七讲无穷级数一、理论要求1收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2幕级数幕级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幕级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor 与 Maclaulin 展开3.Fourier 级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定

15、理 会求，丨的Fourier级数与0,1正余弦级数第八讲线性代数一、理论要求1.行列式2矩阵会用按行（列）展开计算行列式几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幕、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示 掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解

16、基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合冋矩阵与合冋变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1随机事件与概率2随机变量与分布3二维随机变量4数字特征5.大数定理6数理统计概念7. 参数估计8. 假设检验第十讲总结1.极限求解了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件

17、的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理理解总体

18、、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩2了解 分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验变量替换（1 -作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价 小量替换）1a2a（n 1）aa1im （x） （x ） . （x）= x（几何级数）nf：nnnn22. Iim（2arccosx）1/x = e-2（对数替换）tan3.lim(2-x) 2x14

19、.n nn 1(x -a ) na (x a) 5. Iim厂x-a(x- a)26. f (x)二1cos2x,x2x* 4, x = 0xcostdt(x0)I x，求 Iim f (x)X_02导数与微分x=et cost决定函数 y =e sin ty 二 y(x)，求 dy隐函数、参数方程求导复合函数、1. (f)x(b)a(-)bb x ay、2. arctanx -sin(x -y) = 0，求 dy/dx x2 2验证 4xy (2x y -1)y，= 05. y = e2u, u = 11n v, v = x3 sin bx，求 yx33元函数积分1求函数I (x)二x 3t 1二dt在区间0,1上的最小值。(0)t -t 12.Jx-1|3.(1-x2)3/2dx4.1dx、x(1 x)t dt5 仁 t2 -16. . -1力2 dx. 1 -4x24.多元函数微分2x1.Z = f (,exy)，求 zx,zyy2.z 二 z(x, y)由 F (x ： y Z)二。给出，求证：xzx yzy = y xz -xy2