考研高数第七章总结精品

1、微分方程(一)基本概念和一阶微分方程1、通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；有时也称为一般解但不一定是全部解。特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解。(有的是用隐函数表示！ ！)2、几阶微分方程就有几个初始条件。微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条几分曲线；而通解在几何上是 一族曲线就称为该方程的积分曲线族。3、可分离变量的微分方程：g(y)dy = f(x)dx推广形式:(1)齐次方程 C),令,则鱼二 u X包(u) dx x xdxdx巴空 C =ln|x| Cf (u) -ux2dx贝V 理=a bf (u)二；I dx二 f (ax by c)(a = 0,

2、 b = 0),令ax by c 二 u,dudx = x c a bf(u)(3) dy = f (內 x 4 y & ) dx a2 x b2 y c2.a1 b1a2 b2:1 当厶斗侍0情形，先求出Ya1x b| y c1a2x b2y c2二 0 - 的解(a,P),令u = x_a=0：2 当厶则空二dua2ub2v=|31a2 Idybib2| = 0情形，令a2 =a1 b1 f(匕)属于齐次方程情形。a2 b2 -udyb2bi则齐“；：；)：2)，令ux 5,贝卩理=6 d = a1 b1 f (dxdxaiu -c)属于可分离变量方程情 形。C24、一阶线性微分方程及其推

3、广(1) 一阶线性齐次方程：鱼，P(x)y = 0,它也是可分离变量方程,dx通解公式为y=Ce尸以：9为任意常数)一阶线性非齐次方程：鱼 P(x)Q(x),用常数变易法可求出通 解公式 dx令y = C(x)e匸宀川,代入方程求出C(x)，则得y = e *宀川(Q(x)X)dXdx C)(3)见下页(3)伯努利方程：dy P(x)y =Q(x)yn(n = 0,1),令z = y ,dx把原方程化为dz - (1 -n)P(x)z = (1 -n)Q(x),再按照一阶线性非齐次 方程求解。dx(4)方程:段可化为dx P(y)x = Qs以y为自变量，x为未知函数，再按照一阶线性非齐次方程

4、求解5、全微分方程及其推广(1) 全微分方程 P(x, y)dx Q(x, y)dy = 0,满足-Q = P excy通解:u(x, y)二 C,其中 u(x, y)满足 du(x, y)二 P(x, y)dx Q(x, y)dy求u(x, y)的常用方法:第一种：凑微分法 P(x, y)dx Q(x, y)dy = du(x, y)把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。2 2 2 2x + yx - yxdx ydy = d (); xdx _ ydy = d ();2 2ydx +xdyydx xdy =d(xy);d (ln xy);xyxdx ydyx yxdy -

5、 ydx1222ln(x -y);x2ydx - xdyx2 y2ydxxdy2 2x - y xdx ydy,2 , 2 2(x y )xdx ydy1 (x21, z 22 xdx - ydy= d：ln(xy );22x - yx ydx xdy y= d();2d();y yx=d (arctan 勺 xdpx=d (arctan 乂)；y x + yxd(1 ln x-y xdy - ydx d(1 ln x y);= d(：ln );22 d(：ln ),x y x-y2 x-y丄);o 2 2 /x - y1= d(_arctan(x _y );2x y X2 -y2d( 11)

6、； xdx - ydyd( 22 )； 2 2 2 d(2x y (x -y )122 xdx - ydy2；?=d(；arctan(xy );2 卡y )21 (x - y )第二种:特殊路径积分法(因为积分与路径无关)(x,y)u(x, y) =u(X0, y)P(x,y)dx Q(x, y)dyu(X00)xy= u(X0,y). P(x, y)dx . Q(x,y)dyx0y0u第三种：不定积分法：由一=P(x, y)得u(x, y)二P(x, y)dx C(y).x对y求导得Q(x, y) U , P(x, y)dx C (y)求出C (y)积分后求出C(y) dydy(2)全微分方

7、程的推广(约当因子法)假设P(x, y)dx Q(x, y)dy = 0不是全微分方程。不满 足Q-,dxdy但是存在 R(x,y)使得 R(x, y)P(x, y)dx - R(x, y)Q(x, y)dy=0为全微分方程, 也即满足RQI二RP,则R(x, y)称为约当因子，dxdy按全微分方程解法仍可 求出R(x, y)P(x, y)dx R(x, y)Q(x, y)dy =du(x, y) 通解u(x, y) =C，也是原来方程的通健种情形，求约当是关键 例题：1、可分离变量方程及其推广2Eg1：- (x 4y 1) dx解:令 x 4y 1du4u21dudx C1x =arctan

8、2u C 二丄 arctan2(x 4y 1) C2 2eg2:求微分方程- y = x2 y2的通解.dxx 业 一 yd C)解：方程两边除以x2，则得一1 C)2即卩=1 (-)2xx dxx(注：不要和齐次方程 凹=f(3)混淆)dx dx令u晋=1 u2,x dx1 udu2 = dx,arcta nu = x C贝 U arctanx Cx(注：两个函数相除的导数公式，运算法则一定要门清！!)昭求微分方程齐X_ / 2 + 2解:鱼= x- x y 仝 1 (x)2(y 0取负号，y v 0取正号) dyyy yxdxdu2 dudy令u,贝Uu y u _ -1 u ,ydy d

9、y. 1 u2ln(u1 u2) = In | y | G,u 1 u2 二 Ce 呵仝.1 (x)2 = Ce ln|yl,y Y y当y 0时x . x2 y2 二 Cey 二 C,当y ： 0时x - . x2 y2 二 Ce ln( - -Cy2eg4:求微分方程 少二2(y)y二f(x)型的微分方程通解为 y 二 f(x)(dx)(n) C1xn4 C2xn -Cn4x Cn y f (x, y )型的微分方程令y = p,则y =如=p；原方程= p = f (x, p)一阶微分方程，dx设其解为p =(xQ),即y p二(x,C1)则原方程的通解为y二.p = ：:(x,C1)d

10、x C2 y - f (y, y )型的微分方程令yp,则y、如二亚凹二p並代入原方程，= f(y, p) 一一阶微分方程，dx dy dx dydydx x + y 1解：先解方程组y 2 得解X。=3, y。= -2,令u = x3,v二y乜x + y 1=0方程变为dv二2(dzu -du、)2是齐次方程，再令z =-，则z +du u vu2z2-z(1+z)2-z(1 + z2) J 丄 2 )dz r(1 Z)2(1 z)2 z 1Z2uy半C2 arctan =-,(y 2)e 心=C u(1 z)2In |z| 2arctanz = -In |u| C,ze2arctanzu存

11、2(冷du2、一阶线性微分方程及其推广eg : (x -s i ry)dy t a rydx 二 0解：此题把x看作未知函数，y看作自变量所得微分方程为(c oy：)x = c o 第 P(y)二 c o y,Q(y)二 c o y dy_ c o ydyc o ydy=e c o ye1 1 2Cf2siny C设其通解为二p = (y,C1)，则原方程的通(二)特殊的高阶微分方程1、可降阶的高阶微分方程2、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结构很容易地推广到更高阶的线性微分 方程。二阶齐次线性方程y P(x)y Q(x)y = 0二阶非齐次线性方程 J P

12、(x)y，Q(x)y二f (x)1 .若y,(x), y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特解，贝V它们的线 性组合Ciyi(x) C2y2(x)(C,C2为任意常数)仍为同方程的解，特别 地，当yi(x)= y2(x)为常数)，也即yx)与y2(x)线性无关时，则方程的通解为y = Gyx) C2y2(x):2 .若y1 (x), y2(x)为二阶非齐次线性方程的两个特解，则yx) - y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。:3 .若y*(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，若y(x)为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则y*(x) y(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解。：4 若y*

13、(x)为二阶非齐次线性方程 的一个特解，而Y(x) Gyx) C2y2(x)为 对应的二阶齐次线性方程的通解(C1,C2为独立的任意常数) 则y =y*(x)，y(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。：5 设yi (x)与目2 (x)分别是 y P(x)y Q(x)y 二 fi(x)与yP(x)y Q(x)y 二 f2(x)的特解，贝V yi*(x) y2*(x)是y p(x)yq(x)y 二 fi(x)f2(x)的特解.3、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程(1) 二阶常系数齐次线性方程y P(x)y： Q(x)y = 0其中p, q为常数，特征方程r2 pr 0特征方程根的三种不同情形对应方程

14、通解的三种形式：i 当盘-p2 -4q0,特征方程有两个不同的实根ri,r2，则方程的通解为y二Gerix C2e护。：2 当厶=p2 -4q =0，特征方程有二重根” =r2，则方程的通解为y =(& C2x)erix。:3 当厶二p2 -4q : 0，特征方程有共轭复根：； ,则方程的通解为y二e：x(G cos Px +C2 sin Px)。(2) n阶常系数齐次线性方程y(n) PiygP2ynPnyPny = 0,其中 Pi(i=1,2，；n)为常数。相应的特征方程rn p订n - p2rna宀pnr pn 0 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。：1 若特征方程有n个不同的实根

15、P|,r2,；rn 则方程通解为 y =C1erix C2er2 - Cnernx :2若r0为特征方程的k重实根(k乞n) 则方程通解中含有(Ci C2X CkXk)er0x3 若:-i1为特征方程的k重共轭复根(2k岂n),贝昉程通解中含有+C2x + +Ckxk4)cosPx + (D1 + D2x+ + DkxkJ)sin x由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。4、二阶常系数非齐次线性方程方程：y ” py： qy = f(x)其中p,q为常数

16、，通解为：y = y* (x) C1 y1 (x) C2y2(x)，其中 C1y1(x) C2y2(x)为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次 线性方程的一个特解y* (x)如何求？我们根据f(x)的形式，先确定特解y*(x)的形式，其中包含一些 待定的系数， 然后代入方程确定这些 系数就得到特解y*(x)，常见的f(x)的形式和相对应地 y* (x)的形式如下：(1) f(X)二Pn(x),其中Pn(X)为n次多项式:1 .若 0不是特征根，则令 y * (x) = Rn (x) = a0xn a1xnJ亠 anx an其中ai =0,12n)为待定系

17、数。:2 若0是特征方程的单根，则令y*(x)二xRn(x)：3 若0是特征方程的重根，则令y*(x) = x2Rn(x)(2) f (x)二Pn(x)ej其中Pn(x)为n次多项式，为实常数：1 若，不是特征根，则令y * (x)二Rn (x)e:2 若是特征方程的单根，则 令y * (x) = xRn (x)e:3 若是特征方程的重根，则令y* (x) =x2Rn(x)ex(3) f (x) = Pn(x)e牀sinmx或f (x) = Pn (x)ecosox,其中Pn (x)为n次多项式，九皆为实常数 ：1 .若二二 i不是特征根，则令 y * (x) = e* P (x) cos x Pn (x)sin x其中 P (x) = a0xn - a1xn J an 4x - an,其中 ai (i = 0,1,2，；n)为待定系数。Pn(x)=b0xn b1 xn 4bnJx bn,其中 bj(i= 0,1,2,n)为待定系数。：2 若-i -是特征根，则令 y * (x) = xe x P (x)cos，x Pn(x)sinx5、欧拉方程xny(n) - p1xnJy(n pnxypny 二 0,其中 pi (i 二 1,2, , n)为常数称为 n阶欧拉方程。令代入方程，变为t是自变量，y是