考研高数知识点精品

1、高等数学公式导数公式：(tgx)二 sec x(ctgx)二-csc2 x (secx) =secx tgx (cscx) - -cscx ctgx (axr-axl na1(log ax) xl na(arcsin x) =1v1-x2(arccos x)=,1P1 - x2(arctgx)1 +x(arcctgx)1 + x基本积分表:Jtgxdx = In cosx +CJctgxdx = ln sin x +CJsecxdx =ln secx+tgx +CJcscxdx = In cscx - ctgx +C dx.22a xdx-22x -a dx.22a -x十dx、r22“ a

2、-xdxJ 2cos xdxJ _2-sin xsecx tgxdx = secx C2= sec xdx = tgx C2= csc xdx = -ctgx C1丄xarctg C a a二丄In2aC1 . a x c InC2aa -x.x=arcs inCaIn712二 sinn xdx0cscx ctgxdx = - cscx Cxaxdx Cln ashxdx 二 chx Cchxdx 二 shx C2 2=In(x.x - a ) Cxdx 2 In,ni 2 iVxa In(x +Px2 十 a2) +C 2 2cos0, 2 J|x2-a2dx =xx2-a2 -bln x

3、+ Jx2 _a2 +C2 2“ a2 -x2dx 2-x2 arcsi n C2a三角函数的有理式积分:, 2dudx 21 u22u1 -u2sin x 2, cosx2,1+u1+u一些初等函数:两个重要极限:x双曲正弦：shx = e e2x_x双曲余弦：chx=e 2sinxlim1x 2 x1 xlim (1 )x=e = 2.718281828459045 J x22x_x双曲正切:thx二空二ex -e chx e +earshx =1 n(xix21)archx - _ln(xx2 -1)arthx =-In1 x1 -x三角函数公式:诱导公式：-和差角公式:函数 角A、si

4、ncostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 acos asin actg atg a90 acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 a-sin a-cos atg actg a270 a-cos a-sin actg atg a270 a-cos asin a-ctg a-tg a360 a-sin acos a-tg a-ctg a360 asin acos atg actg a-和差化积公式：sinC 丄二 I) =si ncosL二 cost sin : cos( ；二)= cos： cos ：

5、sin ： sin : a tga 土 tgPtgC - 厂Ftga tgPctg： ctg l 二 1ctgC 厂ctgP 土 ctgaR a + P a -Psin ： sin2sincos2 2 Ra + P a - Psin 匚-sin - =2 cossin2 2Ra + P a -Pcos： cos 2 coscos 2 2Ra +P a - Pcos ： - cos - - 2 sinsin倍角公式:sin2： = 2sin ： cos：2 2 2 2cos2： =2cos 二一1 =1 2sin cos :- 一sin :ctg2：2ctg ： -12ctg 二sin3： =

6、3sin： -4sin3:3cos3： =4cos ： -3cos二tg2：2tg：1 -tg 2gtg3：=3tga -tg3a21 -3tg a-半角公式:.a ：1 cosa sin 二.2 2,acos 口 1 cos。si nottg21 cos ： sin ：1 cos：正弦定理：bc 2Rsin A sinB sinCa1 cos：cos=12X 2a1 cos：1 cos：sin:ctg 二=21 - cos：sin :-1 - cos：余弦定理：c2 = a2 b2 -2abcosC-反三角函数性质:Ttarcs in x 二arccosx2Ttarctgx arcctgx2

7、高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz )公式:n(n)k (n 上)(k)(uv)Cnu vk=0= u(n)v nu(n4u 2!n(n1) (nk 1)u(n%(kjuv(n)k!中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理：f (b) - f (a)二f)(b - a) 柯西中值定理：f(b)-f(a)=4F(b)-F(a) F 徉)当F(x) =x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：d 1 y 2dx,其中y = tg ：化量；s： MM弧长。平均曲率：K =,：从M点到M点，切线斜率的倾角变M点的曲率:Kd：dsyi(1 y2)3直线：K =0;半径为a的圆：K =丄.

8、定积分的近似计算:b矩形法：f(x)ab - a(y。 ynj)nb梯形法：f (x)aba-(yo yn) yin 2ynb抛物线法：f (x)ab a(yo yn) 2(y2 y4yn)4(y- y3yn)3n定积分应用相关公式：功：W =F s 水压力：F = p A引力：为引力系数rf(x)dxa均方根：1b；b-aaf2(t)dt函数的平均值:y 二b - a空间解析几何和向量代数:空间 2 点的距离：d =|M1M2 = J(X2 xj2 +(y2 如)2 +(Z2 乙)2 向量在轴上的投影：PrjuA - |ab| cos ;:,是AB与u轴的夹角。Pr ju(a1 a?) +

9、ja1 Pr ja2a b = a b cos =axbx +ayby +azbz,是一个数量两向量之间的夹角：axbx+ayby+azbz cost 2 2 2 - 2 2 2 .axayazbxbybz-i j c =a 5 = ax ay bxbykaz, c = a b sin 8.例：线速度: bzax ayK.K.向量的混合积：aLc =(a“)bx byCx Cyazbz = a 沃 b c cos 5为锐角时,Cz代表平行六面体的体积平面的方程：1 点法式:A(x -X。)B(y -y) C(z -zo) =0,其中 n =A, B,C, Mo(x, y,Zo)2、一般方程：A

10、x By Cz 03、截距世方程：-a b c平面外任意一点到该平 面的距离：门=lAXo +Byo+Czo十D JA2 + B2 +C2x = x0 mt空间直线的方程：_ = 一 = _ =t，其中s = m, n, p;参数方程：y = y0 + nt mnp、z= z + pt二次曲面：2 2 21、椭球面:笃.与刍=1a b c2 22、抛物面：红=z, (p,q同号)2p 2q3、双曲面：2 2 2单叶双曲面：务占-务=1a b c2 2 2双叶双曲面：二生二=1(马鞍面)a2 b2 c2多元函数微分法及应用du = U dxdydz x : y z全微分：dz = 二 dx 三

11、dyx:y全微分的近似计算：z dz二fx(x, y) ：x fy(x,y) ：y多元复合函数的求导法：dz: z : u : z : v 1 T 1dt: u X: v ；:tLLL,LZ: Z: u:z:v L、L、L、L、L、x: u: X: V: Xz = fu(t),v(t)z 二 fu(x,y),v(x,y)v vdv dx dy3当u 二 u(x,y), v 二 v(x, y)时，u u .du dx dy&dy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y) =0,隐函数 F(x,y,z) =0,矽一巳, dxFyN = _FxFz ,2z:yFzd2ydx2隐函数方程组:F(x，y，u，

12、v)=o(G(x,y,u,v) =0:u1j(F,G).v1= * = :xJ.:(x, v).xJ.:u1.:(F,G):v1= = :yJ.:(y,v).yJ微分法在几何上的应用：cFcF,(F,G)莎evFuFvc(u,v)cGcGGuGvcucv次f,g)-:(u,x)：(F,G)：:(u,y)、=(t)空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z()处的切线方程:z - -(t)X - Xoy -y。(to)Z-Zo (to)3、过此点的法线方程:fyy (x0 , y0)= CAC -B2 0时,则：AC B2 0时,A0,(x0,y0)为极小值无极值在点M处的法平面方程：(t0)(x-

13、X0)宀(t)(y -y)，(t)(z-Z0)=0若空间曲线方程为：F(x，y，z)=0则切向量T=FyFz,FzFx,FxFyG(X, y,Z)=0Gy Gz Gz Gx Gx Gy曲面 F(x, y,z)=0上一点 M(x,y0,Z0),则:1、 过此点的法向量:n =Fx(x, y,Z0), Fy(x, y, z0), Fz(x, y,z)2、 过此点的切平面方程：Fx(X0,y,Z0)(x-X0) Fy(X0,y,Z0)(y-y0) Fz(X0,y,Z0)(z-Z0)=0x -X0y - yz - Z0Fx(X0,y,Z0) Fy(X0,y,Z0) Fz(x,y0,Z0)方向导数与梯度

14、：函数z=f(x, y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向导数为： 丄cos s in， clexcy其中为x轴到方向I的转角。f: f 函数 z=f(x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x, y) i jexcy它与方向导数的关系是：丄二grad f (x,y) e，其中e=cos，i，sinj，为I方向上的单位向量。-f是gradf(x,y)在l上的投影。-l多元函数的极值及其求法：设 fx(x0,y) = fy (x, y) = 0,令：fxx(x0,y)=A, fxy(x, y) = B,重积分及其应用:11 f (x, y)dxdy 二f(rcosv,rsin

15、rdrd jDD 曲面z二f(x,y)的面积A二、江“讦3丿3丿dxdy.x?(x,y)dcD平面薄片的重心：乂二匹M ff P(x, y)daD-Myy=My(x,y)d二_ ffp(x, y)d仃 D平面薄片的转动惯量：对于x轴lx二y2，(x,y)d；，对于y轴I y = x2，(x,y)d；DD(x,y)xd 二Fx - f . .3，D/ 222 2(x y a )2柱面坐标和球面坐标：平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a), (a 0)的引力：F =Fx,Fy,Fz，其中:L “ P(x, y)ydbL H P(x, y)xdTFy = f3，Fz fa3柱面坐

16、标：*D (x2 + y2 +a2fD (x2 + y2 +a2)2hi f (x, y,z)dxdydz 二 F(r,z)rdrd dz, QQ球面坐标：dv = rdrsin :dr =r2sin drd其中：F (r,r,z) = f (r cos 亠 r sinz) (x 二 r sin cos y = r sin sin v z = r cos2兀 JTr(申B.f (x,y,z)dxdydz 二 F(r, ，“r2sin drd d = dd. F(r, ：)r2sin dr 00 01 1y;?dv,胃.zdv,MM门z2)dv,I in (x2 - z2)dv,Q1重心：x =

17、 一 x ;?dv,M五转动惯量：lx二(y2QIz其中 M = x =;?dvQ=.(x2 y2)dvQ曲线积分:第一类曲线积分(对弧设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：长的曲线积分)：x=(t)R 小(G Et 兰 B )则: 厂屮(t)(),P.f (x,y)ds = . f (t)(t). : 2(t)宀 2(t)dt C 厂) 特殊情况:L,x = tjN(t)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为丿x=(t)，则：片屮P(x,y)dx Q(x,y)dy = .P(t)(t)(t) Q (t), - - (t)dtL、两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy二(P

18、cosh geos Jds其中：和分别为LLL上积分起止点处切向量 的方向角。PP格林公式：I I( )dxdy = ： Pdx Qdy格林公式：()dxdy 二 Pdx QdyD Ex点yLD Fx FyL当P = -y,Q=x，即：卫-兰=2时，得到D的面积：A= dxdy =丄 xdy - ydx 泳纲D 2 L平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、 P(x,y), Q(x, y)在 G内具有一阶连续偏导数，且-Q = P。注意奇点，如(0,0)，应孜cy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：:Q: P在一=一时，Pdx Qdy才是二元函数u(x,

19、y)的全微分，其中：.x:y(x,y)u(x,y)二 P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x = y = C。(勺必)曲面积分：对面积的曲面积分：f (x,y,z)ds= ff fx, y,z(x,y)1 + z；(x,y)(x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分:iiP(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z) dxdy,其中：ZR(x, y, z)dxdy 二 Rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；丈Dxy.P(x, y, z)dydz - _Px(y,z), y,zdyd乙 取曲面的前侧时取正 号；壬Dyz.Q(x,y,

20、 z)dzdx 二Qx, y(z,x),zdzdx 取曲面的右侧时取正 号。二：Dzx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy二(Pcos： Qcos： Rcos )dsZZ高斯公式:-p ：Q .： R11 i()dv 二 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos一：Qcos ： Rcos )ds討：z-高斯公式的物理意义通量与散度：div ： 0,则为消失散度：div.二兰卫,即：单位体积内所产生的流体质量，若dxycz通量：Il A nds 二 Ands ： 11 (Pcos二怦 Q cos ： Rcos )ds，z z z因此，高斯公式又可写成： div Adv二.AndsQZ斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：RP, :Q()dydz (y :z:z :x: xQ cP)dzdx ( ) dxdy 二-Pdx Qdy Rdzex dyydydzdzdxdxdycosotcosPcos?二.dxcz_ J JSdxPQRPQR-y上式左端又可写成：“Z空间曲线积分与路径无关的条件:.：p:z；x:Q:xk旋度：rotA二-；z R向量场A沿有向闭曲线-的环流量：Pdx Qdy Rdz二A tdsfr常数项级数