[整理]excel一元及多元线性回归实例.

1、野外实习资料的数理统计分析 一元线性回归分析 一元回归处理的是两个变量之间的关系，即两个变量X和Y之间如 果存在一定的关系，则通过观测所得数据，找出两者之间的关系式。 如果两个变量的关系大致是线性的，那就是一元线性回归问题。 对两个现象X和丫进行观察或实验，得到两组数值：X1，X2,， Xn和Y1 , Y2,，Yn,假如要找出一个函数 Y=f(X),使它在 X=X1,X2,Xr时寸的数值f(X1),f(X2),与观察值Y1, Y2, Yn趋于接近。 在一个平面直角坐标XOY中找出(X1 , Y1) ,( X2 , Y2),， (Xn, Yn)各点，将其各点分布状况进行察看，即可以清楚地看出 其

2、各点分布状况接近一条直线。对于这种线性关系，可以用数学公式 表示： Y 二 a + bX 这条直线所表示的关系，叫做变量 丫对X的回归直线，也叫Y对X 的回归方程。其中a为常数，b为丫对于X的回归系数。 对于任何具有线性关系的两组变量 Y与X，只要求解出a与b的值, 即可以写出回归方程。计算a与b值的公式为： a=Y-bX 式中：匚为变量X的均值，Xi为第i个自变量的样本值，？为因变量 的均值，Yi为第i个因变量Y的样本值。n为样本数。 当前一般计算机的Microsoft Excel中都有现成的回归程序，只要将所 获得的数据录入就可自动得到回归方程。 得到的回归方程是否有意义，其相关的程度有多

3、大，可以根据相关系 数的大小来决定。通常用r来表示两个变量X和Y之间的直线相关 程度，r为X和丫的相关系数。r值的绝对值越大，两个变量之间的 相关程度就越高。当r为正值时，叫做正相关，r为负值时叫做负相 关。r的计算公式如下： 辛（尤-和叼/ rJ）吃3 叩 / V Zi.l 式中各符号的意义同上。 在求得了回归方程与两个变量之间的相关系数后，可以利用F检验 法、t检验法或r检验法来检验两个变量是否显著相关。具体的检验 方法在后面介绍。 2多元线性回归分析 一元回归研究的是一个自变量和一个因变量的各种关系。 但是客观事 物的变化往往受到多种因素的影响， 即使其中有一个因素起着主导作 用，但其它

4、因素的作用也是不可忽视的。因此，我们还需要研究多种 变量的关系，这种多个变量之间的关系就叫做多元回归问题。例如， 水稻的产量不仅与生长期内的雨量有关， 而且与温度也有关系。 所以 寻求水稻的产量不仅与生长期内的雨量之间的相互关系， 就是多元回 归问题。 如果假设自变量为X1 , X2,，Xm，因变量为Y,而且因变量与 自变量之间是线性的关系，则因变量丫与自变量为X1 , X2,，Xm 的多元线性回归方程为： Y = a+b1X1+b2X2+ +bmXm 式中： a， b1 ， b2， bm 为常数。 因此，只要能够求出a, bl, b2,，bm这些常数，就可以得到因 变量 Y 与自变量为 X1

5、 ， X2 ， ， Xm 之间的多元回归方程。具体的 算法比较简单,但很烦琐。 这里不再叙述。求解多元回归的计算机程 序很多,只要将自变量的数据以及与其相对应的因变量的数据输入计 算机程序中，立刻就可以求出 a, b1, b2,，bm各常数的值，从 而可以获得因变量丫与自变量为X1 , X2 ,，Xm的多元线性回归 方程。 例如，设已知因变量Y的自变量X1 , X2, X3，共得18组数据，并 已知 Y 对 Xi 存在着线性关系，求其回归方程。 样品 X1 X2 X3 Y 1 0.4 53 158 64 2 0.4 23 163 60 3 3.1 19 37 71 4 0.6 34 157 6

6、1 5 4.7 24 59 54 6 1.7 65 123 77 7 9.4 44 46 81 10.1 93 8 31 117 9 11.6 29 173 93 112 51 10 12.6 58 11 10.9 37 111 76 12 23.1 46 114 96 13 23.1 50 134 77 14 21.6 44 73 93 15 23.1 56 168 95 16 1.9 36 143 54 17 26.8 58 202 168 18 29.9 51 124 99 通过求解，得到 a=41.6516b1=1.7410b2=-0.0062b3=0.1553 所以，回归方程为 Y=

7、41.6516+1.7410 X1 -0.0062 X2+0.1553 X3 通常可采用单相关系数、 偏相关系数和复相关系数来说明这三个自变 量与因变量之间是否有明显的线性关系以及它们之间相关的程度如 何。单相关系数是指在不考虑其他因素影响的条件下， 所求两个变量 之间的相关系数。用 rX1X2 、rYX1 和 rYX2 分别表示 X1 和 X2、Y 和 X1 以及 Y 与 X2 之间的单相关系数。偏相关系数是指在这三个变 量中，将其中一个变量保持常数时，其他两个变量之间的相关系数。 用 rYX1X2 和 rYX2X1 分别表示 X2 为常数时， Y 与 X1 的偏相关系 数和 X1 为常数时

8、， Y 与 X2 的偏相关系数。偏相关系数可以用单相 关系数求得。 当这三个变量中， 同时考虑两个变量对另一个变量相关 系数时，叫做复相关系数。用r (X1X2) 丫表示X1和X2、两个自 变量对于 Y 的复相关系数。 3. 方差分析 方差分析法是分析多组平均数之间差异显著性时常用的一种统计方 法。方差（或均方）是一个表示变异程度的量，它是离均差的平方和 与自由度之商。在一项实验或调查中往往存在着许多造成生物形状变 异的因素，这些因素有比较重要的，也有较次要的。分析时主要是把 平方和与自由度按不同的变异起因分解为若干部分， 从而构成来自不 同起因的方差。 利用它来检验各组平均数之间差异的显著性

9、。 在正态 总体及方差相同的基本假定下， 我们将利用方差比给出 F 分布的检验 统计量。因此这种方法称为方差分析法。 方差分析是分析和处理试验或观测数据的主要方法之一。 它首先被应 用于农业试验，目前它在农业、工业、生物、医学等各部门有着广泛 的应用。方差分析的方法往往与试验设计的方式紧密地联系在一起。 对于从不同试验设计中得出观测资料， 进行方差分析时将有不同的计 算方法，类型繁多，但其基本原理却大同小异。在这里将结合一个较 简单的例子介绍方差分析的数学模型和基本方法， 以便于读者对方差 分析的方法有一个大致的了解。 在实验设计的基础上，分组试验，如分为 a组，每组作b个水平的试 验，共得到

10、ab个数据。然后，算出组平均值和总平均值，组内和组 间的离差平方和，组内和组间方差，作 F 检验。 F=组间方差/组内方差 假设HO:1 =卩2=p b,表示各水平的均值相等。当 F F出寸，HO:假。 试验中必不可少地会产生误差。误差有两种：条件误差和试验误差。 前者是由试验条件不同而引起的系统性误差， 后者是在相同试验条件 下引起的随机误差。 例如，把四种不同的饲料分别喂给 4 组小鸡，每组 5只，它们的增重 情况如下: 组别增重( Xij ) 1 5549422152 2 61112308963 3 4297819592 4 16913716885153 试问四组小鸡在平均增重量方面有没

11、有明显的差别？ 通过计算，得到组内和组间方差分别为719.2和 8706.3，因此， F=8706.3/719.2=12.1 对于给定的显著性水平 a将有临界值Fa ，当a =0.01时， F0.01(3,16)=5.3,其中3与16是自由度。 所以 F=12.15.3= F0.01(3,16) 故，否定各种饲料效果一致的假设，可以认为四种饲料的效果有极明 显的差别。 目前现成的计算机方差分析计算程序很多，如 SPASS、SAS软件等, 将数据输入后，都可以直接计算，并按要求输出结果。 上述例子是单因素的方差分析，比较简单。对于多因素的方差分析， 由于比较复杂，这里就不再叙述了。 4. T检验

12、 生物学中所遇到的绝大多数问题，总体标准差 C都是未知的。在(T 未知时，平均数的显著性检验有两种解决方法。 其一是根据以往的经 验或从类似的工作中估计出一个。值，用这个。做卩检验。使用估计 的C做检验并不是很可靠的。因此在实际工作中，一般不用这种方法 而广泛使用t检验。 对于一个正态分布总体，若 。未知则二服从n-1自由度的t分布，因 此，在未知时可以用t检验做平均数的显著性检验。 t检验的零假设H0为：卩=0 备择假设有以下三种情况：(1) HA :卩 卩,0若已知不可能小于卩0 (2) HA :卩 卩,0若已知 卩不可能大于 卩0 (3) HA :卩工卩0包括 卩 卩和卩 卩0 三种备择

13、假设的拒绝域为: (1) tt a； ( 2) t t ，或表示为 t t a双侧)。 其中a为给定的显著性水平。 t检验的统计量为： t =(X十0 / (s/n1/2) 例如，已知玉米单交种群单105的平均穗重卩0=30(克，喷药后，随 机抽取9个果穗，其穗重为分别：308、305、311、298、315、300、 321、294、320克。问喷药后与喷药前的果穗重差异是否显著？ 根据上面介绍的基本程序： -已知玉米穗重是服从正态分布的随机变量，未知。 (2) 假设：H0 :卩二卩0=300HA卩工卩0=300 由于问题要求检验的是 果穗重差异是否显著”，并没有明确穗重一定 增加或一定减少

14、，所以备择假设为 HA :卩工卩0 (3) 显著性水平：根据实验的要求(差异是否 显著”)规定a =0.05 (4) 统计量的值：由于 。未知需使用t检验。 t = (X-/ (s/n1/2) t =(308-3000) / (9.62/91 =2.49 11（5）建立的拒绝域H0:因HA :卩工厨以是双侧检验。当t t0.05 （双 侧）时拒绝H0, a =0.05寸，经查表t8, 0.05 （双侧）=2.306。 I（6）结论：因t =2.49 t8, 0.05 （双侧）=2.306，所以结论是拒绝 H0,接受HA。即喷药前后果穗重的差异是显著的。 5. F检验 t检验属于单个样本的显著性检验，即在样本统计量与零假设所提出 的总体参量之间做比较。这种检验需要我们事先能够提出合理的参量 假设值和对参量有某种意义的备择值。然而，在实际工作中，很难提 出这样的假设值及备择值。因此，限制了这种方法在实际工作中的应 用。 为了避免上述问题的出现，在实际应用时，常常选择两个样本，一个 作为处理，一个作为对照。在这两个样本之间做比较。判断它们之间 是否存在足够显著的差异。当它们之间的差异不能用偶然性解释时， 则认为它们之间存在足够显著的差异，这两个样本来自两个不同的总 体。而F检验是关于两个方